Despre binomul lui Newton

Până să ajungem la tema din titlul subiectului, îi rog, firește pe cei care consideră că ar putea fi ceva important, să se gândească cum ar demonstra că în egalitatea:



dacă p este un număr prim, atunci

sunt prime între ele,

fie singurul divizor comun al lor este p (sau/și 2), dacă (a,b)=1

După care vom trece la binomul lui Newton, unde apare o legătură interesantă cu distribuția numerelor prime.
Scuze dacă ceea ce spun sunt aberații.
Gândiți-vă că poate totuși, pentru cineva pot fi lucruri interesante și importante.

Asa la prima citire fara sa pun efectiv pixul pe el si daca nu am gresit undeva doar atat pot sa-ti spun
Cele doua expresii sunt prime intre ele exceptie cazurile:
1-p este un multiplu de a-b
2-b^(p-1) sau a^(p-1) sunt multipli de a-b
In mare cam asa ceva pot sa obtin daca nu am interpretat ceva gresit

Mezei Geza a scris:Asa la prima citire fara sa pun efectiv pixul pe el si daca nu am gresit undeva doar atat pot sa-ti spun
Cele doua expresii sunt prime intre ele exceptie cazurile:
1-p este un multiplu de a-b
2-b^(p-1) sau a^(p-1) sunt multipli de a-b
In mare cam asa ceva pot sa obtin daca nu am interpretat ceva gresit

Eu zic ca este corecta observatia mea
Daca te ajuta pot sa -ti fac demonstratia

Da Mezei, este corect.
Dacă a,b sunt prime între ele, singurul factor care poate divide cele două paranteze este doar p la puterea întâi.
Ele nu pot avea alți divizori comuni cu excepția pui p.
Mi-aș dori să văd modul în care demonstrezi asta, sau observația ta.
Mulțumesc.

Am gandit-o in felul urmator
si nu sunt prime intre ele daca
se divide cu
Fie si notez aceasta variabila cu x.
Cu aceasta notatie problema se poate reduce la impartirea a doua polinoame.calculam restul impartirii

Restul impartirii unui polinom cu un polinom de gradul intai este un polinom de gradul zero (numar)
Rescriem impartirea sub forma:

pentru obtinem valoarea restului

care este compusa din p-1+1=p termeni. In concluzie are valorea :
Revenim la forma initiala a impartirii:

si revenim si la notaia initiala x=a rezulta:

Pentru a si b intreg este un numar intreg, deasemenea in al doilea termen din partea dreapta pentru a si b intreg putem obtine tot un numar intreg doar in cazurile in care:
1- divide pe p
2- divide pe
O demonstratie similara facem si in cazul in care notam b=x si impartirea o facem cu (a-x) in acest caz restul va fi de unde rezulta un numar intreg si in cazul:
3- divide pe

In cazul in care a si b sunt prime ramanem doar cu cazul 1
Sper ca este corect si nu am dat de terra nimic

Hai să le luăm la rând.
Să înțeleg că G(x) este un polinom arbitrar iar R(x) este un polinom care se divide cu x-b, astfel încât suma lor este termenul reprezentat de paranteza mare, nu ?

De fapt se înțelege că G(x) este restul împărțirii.

Forma algebrica a lui G(x) nu ma intereseaza ca dispare in cazul in care (x-b) este zero
R(x) este restul care nu se divide cu x-b
Este o teorema in acest sens stai ca o caut si iti trimit linkul

curiosul a scris:De fapt se înțelege că G(x) este restul împărțirii.

G(x) este catul
R(x) este restul

Ok.
Am înțeles acum.
Ceea ce cred pentru moment că este o greșeală, este faptul că ai considerat a=b (x=b) la un moment dat, însă (a,b)=1, deci distincte nenule prime între ele.
Dar s-ar putea să mă înșel și o să te rog să mă corectezi dacă mă înșel.
O să-ți arăt ulterior și o altă modalitate.
Oricum, felicitări pentru răbdarea avută să scrii în LaTex.
Ne înțelegem mult mai bine așa.

Nu este o greseala.Cred! Este o modalitate generala de a afla restul.
Defapt este o teorema in acest sens care spune ca restul inpartirii unui polinom F(x) cu x-a este exact F(a)
Restul este acelasi pentru orice x . deci si pentru x diferit de a Respectiv a diferit de b

Mezei Geza a scris:... doar in cazurile in care:
1- divide pe p
2- divide pe
O demonstratie similara facem si in cazul in care notam b=x si impartirea o facem cu (a-x) in acest caz restul va fi de unde rezulta un numar intreg si in cazul:
3- divide pe

In cazul in care a si b sunt prime ramanem doar cu cazul 1
Sper ca este corect si nu am dat de terra nimic

A și b nu sunt neapărat prime, ci satisfac condiția că sunt prime între ele.

La cazul 1, dacă p este considerat un număr prim, atunci a-b nu poate divide p, ci invers p divide a-b.
Nu luăm în calcul cazul a-b=1, evident sunt prime între ele.
Dar probabil că aceasta este doar o greșeală de exprimare.
Celelalte două condiții sunt corecte. De fapt, dacă cele două paranteze au un factor prim comun, atunci ele sunt adevărate doar dacă a-b este o putere de p, caz în care condițiile 2 și 3 sunt corecte.
Dar voi mai analiza.

Dacă găsești link-ul acela postează-l te rog.
S-ar putea ca demonstrația ta să nu fie greșită.
Am nevoie de teorema aia ca să-ți confirm.

Asa din prima am gasit asta sper sa fie suficient:

Teorema restului

Restul împărţirii unui polinom prin binomul X – a este egal cu valoarea f (a) .

Observaţie

Această teoremă ne ajută să găsim restul împărţirii unui polinom oarecare prin binomul X – a fără a mai face împărţirea.

http://www.thegame.go.ro/Mate/Polinoame/POLIN%20%281%29.htm

Demonstartia este super banala
Mai ca nu am refacut-o complet si eu in exemplul la care l-am aplicat

Mezei Geza a scris:
pentru obtinem valoarea restului

care este compusa din p-1+1=p termeni. In concluzie are valorea :

Demonstrația este corectă, felicitări !
Odată cunoscută aceea teoremă, demonstrația se limitează la ceea ce este citat mai sus.
Iar dacă a și b sunt prime între ele, atunci b , la orice putere ar fi, nu divide a-b. Ar însemna că și a se divide cu b. Imposibil prin condiția prime între ele.
Rămâne celălalt termen al cătului R(x), și anume p.
Dacă prima paranteza este (a-b), iar câtul dintre paranteza mare și cea mică este aceea p*b^p-1, atât timp cât b nu poate fi factorul lui a-b, rezultă că p, la puterea întâi, poate fi singurul lor factor comun.
Acum am înțeles-o bine.
Felicitări !
Este o demonstrație corectă !
O să-ți arat și modul în care am analizat eu.
Ceva mai elementar, bazată inițial pe teorema lui Wilson, dar mi-am dat seama că era și acolo o greșeală, după care, prin calcul, am observat că binomul lui Newton se poate aduce la o formă identică pentru orice p prim impar și (a,b)=1.
Mă ajută demonstrația ta prin faptul că este o certitudine că dezvoltarea binomului lui Newton pentru p prim și a,b prime între ele, are aceea dezvoltare pentru orice număr prim p.
Frumoasă demonstrația, mulțumesc și te felicit.

Am încercat să demonstrez că :



și



folosindu-mă de teorema lui Wilson, , dar am găsit o greșeală în raționament.

Ar fi important pentru mine dacă mi-ai da o idee.
După ce am (vom avea) o demonstrație corectă a congruențelor de mai sus, o să-ți arat o dezvoltare interesantă a binomului lui Newton , unde p este prim și (a,b)=1, din care rezultă și ceea ce ai demonstrat tu mai sus, pe lângă o legătură interesantă cu distribuția numerelor prime.
Mai calculez ceva ca să mă asigur că nu se "potrivește" doar pentru numerele prime pe care le-am calculat deja.

Opss !!
Cam mult pentru mine asa deodata.Ca sa pot sa te ajut eventual cu ceva trebuie sa ma pun la punct cu toate astea.

Nu-i grabă !
Iar congruența asta nu-i complicată.
În linii mari, a congruent cu b (mod n), dacă a-b se divide cu n.
Dacă a congruent cu -b (mod n), atunci a+b se divide cu n.
E un mod mai simplu de a spune că a(+/-) b se divide cu n.

Din ce aș vrea să demonstrez se rezumă printr-un exemplu la următoarele :

Considerăm numărul prim 11 și un număr impar mai mic decât (11-1)/2, 3 de exemplu.
atunci [ (11-1)(11-2)(11-3)/(1*2*3) ] +1 se divide cu 11.

În cazul unui număr par,
[ (11-1)(11-2)(11-3)(11-4)/(1*2*3*4) ] -1 se divide cu 11.

Eventual verifică mai întâi prin calcul ca să înțelegi mai bine despre ce e vorba. Firește, când ai timp și dispoziție.

Din ce am calculat eu, inițial îl considerasem ca și un test de primalitate a numerelor, dar am găsit multe contraexemple.
De regulă, aceste contraexemple sunt puterea impară a unui număr prim. Nu pentru toate, totuși.
Oricum, sunt sigur că pentru orice număr prim, se respectă congruențele pe care le-am menționat. Dar trebuie totuși o demonstrație.

A, și nu am mai menționat că am calculat doar pentru 2k >2k+1>(p-1)/2. De fapt, este și ceea ce mă interesează de altfel.

Am prins ideea si cred ca am gasit si o modalitate de a ma apropia de rezolvare.Nu stiu daca este "rezolvabila" pana in capat pana nu pun pixul efectiv pe el dar asa din mare cred ca sunt sanse bune sa fie rezolvabila. Ideea se bazeaza tot pe polinoame dar de data asta ne intereseaza si valoarea derivatelor superioare a acestor polinoame in 1.
Maine sau zilele astea o sa ma apuc sa-l scriu poate in mai multe etape sa vezi ideea si daca este corect

Aș vrea să revenim un pic și asupra demonstrației anterioare.
Deci restul împărțirii polinomului reprezentat de paranteza mare prin cea mică (a-b) este p*b^(p-1).
Dacă a și b sunt prime între ele, b nu poate divide a-b.
Dacă celălalt factor al restului, adică p, ar divide a-b, este o certitudine că p divide și polinomul reprezentat de paranteza mare ?

Prin teorema restului putem doar spune cu certitudine că paranteza mare(deîmpărțitul) minus restul respectiv, se divide cu împărțitorul a-b.

Dar noi trebuie să demonstrăm că ele nu au au divizor comun, cu excepția lui p.
Aceasta ar rezulta doar dacă restul și paranteza mare au ambele, factorul comun p.

Dar chiar dacă nici p, nici b^(p-1) nu nu divide nici împărțitorul, nici deîmpărțitul, acestea din urmă pot avea totuși un factor comun, care să fie diferit de p și b^(p-1).

Am o mică incertitudine în demonstrația ta și o să te rog când ai timp, să mi-o explici mai clar. Dacă nu ai timp să scrii în LaTex, explic-o în cuvinte.

Și mai am o nelămurire și asupra faptului că ai egalat a cu b, pentru a continua demonstrația.

Mulțumesc.
După care ne ocupăm de cealaltă demonstrație.

Buna
Am pus pixul pe a doua demonstratie si nu este nici pe departe asa de simpla cum mi-am imaginat.Maxim ce cred ca pot abtine este o alta forma a expresiei din pareta stanga dar din pacate nu o pot generaliza pentru orice K din cauza ca eu personal nu cunosc (sau poate nici nu exista) o expresie analitica pentru o functie de forma {1/g(x)} derivat de K ori.
Chiar daca este corect ce am facut va trebui calculate aceste derivate pentru fiecare K in parte.Ramane doar N ca fiind un termen general.
Vezi daca stii cumva sau ai vazut undeva expresia analitica pentru {1/g(x)} derivat de K ori ar fi un pas inainte

Eu îți apreciez oricum efortul și interesul.
Din păcate, deși de multe ori poate dau impresia unui bun matematician, sunt doar un simplu amator, neexperimentat, dar foarte pasionat de numere. Avantajul meu este că prind, înțeleg și învăț repede informațiile pe care le asimilez.
În ce privește derivatele, trebuie să mă exprim ca tine :
Oops, trebuie să mă pun la punct cu toate astea ca să-ți pot răspunde, sau să-mi spun părerea.
Însă dacă scrii o demonstrație cu derivatele astea, o citesc până ajung să-mi dau seama de logica lor și a raționamentului folosit în demonstrație.
O să-ți arat astăzi o modalitate care are doar un suport logic ce susține congruențele respective, dar fără ca ea să poată fi considerată o demonstrație.
Când ai timp, explică te rog, în cuvinte eventual ca să nu pierzi timp cu LaTex-ul, modul în care ai raționat în demonstrația anterioară. Am o mică incertitudine.
Eventual, ai putea să-mi explici de ce ai considerat corect să egalezi la un moment dat a cu b.
Dacă nu greșesc, înlocuirea se justifică doar pentru aflarea restului împărțirii polinoamelor, situație în care într-adevăr, a devine b și se justifică înlocuirea.
Dar dacă în demonstrația ta G(x) este câtul, nu mi se pare corectă înlocuirea nedeterminatei care anulează valoarea câtului. S-ar putea să mă înșel, dar vreau să-mi confirmi.

Dezvoltând binomul , cu excepția termenilor și , dacă a și b nu se divid cu p, unde p este un număr prim, toi ceilalți termeni se divid cu p :



Al doilea termen este negativ, al treilea pozitiv, al patrulea negativ,... Dar cu excepția celor menționați, toți ceilalți termeni se divid cu p, deci din toi ceilalți termeni poate fi scos p factor comun. Plecând de la concluzia de mai sus, dezvoltarea de mai sus poate fi scrisă și în felul următor :



Acum analizăm altfel dezvoltarea diferenței acelor două numere la puterea p :



Dacă încercăm să aducem paranteza mare la forma , vom ajunge la :





Dar relația de mai sus este echivalentă cu cea menționată anterior, ceea ce însemnă că în partea dreaptă, din toi ceilalți termeni cu excepția lui , trebuie să poată fi scos factorul comun p. Pentru că al doilea termen se divide cu p, ar însemna că fiecare din toi ceilalți termeni s-ar divide cu p, dar nu este o certitudine, așa că apare ipoteza :

Dacă p este un număr prim, atunci



și

.

Însă raționamentul de mai sus nu poate fi considerat o demonstrație, deși el ar putea ajuta într-o oarecare măsură demonstrarea celor două congruențe.

curiosul a scris:Dezvoltând binomul , cu excepția termenilor și , dacă a și b nu se divid cu p, unde p este un număr prim, toi ceilalți termeni se divid cu p :



Al doilea termen este negativ, al treilea pozitiv, al patrulea negativ,... Dar cu excepția celor menționați, toți ceilalți termeni se divid cu p, deci din toi ceilalți termeni poate fi scos p factor comun. Plecând de la concluzia de mai sus, dezvoltarea de mai sus poate fi scrisă și în felul următor :

Aici am o mica problema
Tu poti scoate intradevar un p factor comun dar ce ramane sa inmulteasca termenii a*b la ceva puteri nu intotdeuna este un numar intreg
Deci nu poti spune ca "se divid"
Nu stiu daca te incurca asta mai incolo in logica deductiei dar am zis sa-ti atrag atentia.Oricum nu este o exprimare corecta
Termenii tai la care te referi de fapt sunt combinari de p luate cate k
Daca in cazul 1,2,3 intradevar este asa cum spui de la 4 in colo incep sa nu se mai divida toate
Combinarile de 4 luate cate 0,1,2,3,4 sunt 1,4,6,4,1
Combinarile de 6 luate cate 0,1,2,3,4,5,6 sunt:1,6,15,20,15,6,1

Daca asta nu este o problema ci defapt se vrea un factor comun te rog sa-mi explici un pic mai in detaliu de la :
Dacă încercăm să aducem paranteza mare la forma [\mathbf{(a-b)^{p-1}}] , vom ajunge la : .....
in jos
Aici am pierdut firul

Mezei Geza a scris:
Aici am o mica problema
Tu poti scoate intradevar un p factor comun dar ce ramane sa inmulteasca termenii a*b la ceva puteri nu intotdeuna este un numar intreg
Deci nu poti spune ca "se divid"
Nu stiu daca te incurca asta mai incolo in logica deductiei dar am zis sa-ti atrag atentia.Oricum nu este o exprimare corecta

Ok.
Am înțeles ce vrei să spui, dar am dreptate.
Pentru ceilalți termeni ai sumei, cu excepțiile corespunzătoare, toți se divid cu p, iar ce rămâne este tot un număr întreg.
Dacă nu luăm în calcul și produsul celălalt factor este



Din fracția din dreapta, pentru orice valoare a lui k numărătorul este un multiplu al numitorului.
Fracția respectivă este un număr întreg.
Firește, vorbim de p>k, iar p un număr prim impar.
P-1 se divide cu 2, dacă p este un număr prim impar.
Fie p-1, fie p-2, se divide cu 3, altfel avem trei numere naturale consecutive care nu se divid cu 3(p, p-1,p-2).
Imposibil, deci dacă p este prim impar diferit de 3, nu se poate divide cu 3, atunci fie p-1, fie p-2 se divide cu 3.
Fie p-1, fie p-3 se divide și cu 4.
Ex : 23-1 se divide cu 2, dar 23-3 se divide cu 4.
Din patru numere consecutive, p, p-1, p-2, p-3, unul se divide obligatoriu cu 4.
În mod identic, unul din 5 numere consecutive (evident, vorbim doar de numere naturale) unul se divide obligatoriu cu 5.
Deci din șirul p, p-1, p-2, p-3, p-4 unul se divide cu 5. Obligatoriu.

Raționamentul continuă până la k.
Sper să înțelegi ce vreau să spun.
Aici am dreptate și te contrazic.

În ce privește celelalte nelămuriri, fii te rog mai explicit.
Fie greșesc, fie nu greșesc, însă nu m-am exprimat de așa natură să înțelegi exact ce vreau să spun.
Citează și o să încerc să-ți explic cât mă pricep.

Formula mai corectă este

Frumos rationament,eu am scapat din vedere ca ai pus conditia p prim
am dat-o pentru orice p (oricum nu ma prindeam fara precizari)
Hai ca reiau si revin cu intrebarile.

Am nevoie sa-mi explici cum ai adus paranteza mare la forma respectiva




Asta era de fapt si intrebarea initiala

Ok.
Avem diferența dintre două numere la puterea p (p număr prim impar) care poate fi exprimată în felul următor :



Încercăm să aducem paranteza mare la o sumă în care unul din termeni este

Și m-am gândit să procedez așa pentru că tot termenul din dreapta poate fi exprimat într-o formă asemănătoare dezvoltării binomului în care termenii și sunt separați de o parte a egalității iar restul de cealaltă parte a egalității.

Deci încercăm să aducem paranteza mare din exprimarea de mai sus (cea din dreapta):



la o sumă (sau diferență) în care unul din termeni este .

Folosindu-ne de formula generală a dezvoltării binomului observăm că în paranteza din dreapta pe care o analizăm



toți termenii sunt pozitivi, iar noi avem nevoie ca al doilea termen să conțină factorul cu minus.
Deci adunăm și scădem . Îl păstrăm pe cel cu minus ca și termen al dezvoltării binomului și ne rămâne cel cu plus, pe care îl mai avem o dată în paranteza mare (al doilea termen):



Deci coeficientul pozitiv al termenului va fi .

Analizând al treilea termen al parantezei, , acesta trebuie să fie pozitiv, iar pentru a-l aduce la forma de care avem nevoie, adică trebuie să mai adunăm și să scădem doar pentru că îl mai avem o dată pozitiv. Deci va rămâne termenul negativ din adunarea și scăderea termenului respectiv, adică va rămâne .
Sper că înțelegi până aici.
Analizând al patrulea termen de care avem nevoie pentru a obține în paranteza mare
, acesta va trebuie să fie cu semnul minus.
Adunăm și scădem termenul respectiv înmulțit cu coeficientul de care avem nevoie, adică



Îl păstrăm pe cel cu minus pentru , iar coeficientul cu semnul plus al termenului va fi



pentru că îl mai avem o dată cu semnul plus în paranteza mare, cea pe care o analizăm.
Înțelegi ce vreau să spun până aici ?

Poate înțelegi mai ce am vrut să spun dacă analizezi dezvoltarea binomului în felul următor :



Vis-a-vis de demonstrarea faptului că în dezvoltarea



cei doi factori din dreapta reprezentați de cele două paranteze



sunt fie numere prime între ele, fie singurul lor factor comun este p, putem aduce diferența și într-o altă formă (a și b sunt prime între ele și nu se divid cu p prim impar):



unde s este (a-b), iar t este produsul ab.
Dacă a și b sunt prime între ele, atunci s și t sunt de asemenea prime între ele.
Din forma în care este exprimată diferența se observă că ele pot avea un factor comun doar dacă s se divide cu p, pentru că s nu se poate divide cu t, situație în care acel factor comun poate fi doar p la puterea întâi, analizând dezvoltarea în ansamblul ei.