Despre implicarea unor conjecturi ce privesc numerele prime

Scris de **curiosul** Mar 04 Iun 2013, 20:13

O parte din conjecturile interesante celebre privind numărul de numere prime dintr-un anumit interval depind de una singura, conjectura lui Schinzel.
Enunțul acesteia spune că pentru orice x mai mare ca 117, între $\mathbf{x- \textit{si}-(x+\sqrt{x})}$ există cel puțin un număr prim.

Aceasta se poate reduce la a arăta că pentru orice număr prim $\mathbf{P_n>127}$ este adevărată inegalitatea $\mathbf{P_n+\sqrt{P_n}>P_{n+1}}$ . Din aceasta din urmă, rezultă că $\mathbf{P_n+\sqrt{P_n}>P_{n+1}>P_n}$ , iar pentru orice x care îndeplinește condiția
$\mathbf{(x+\sqrt{x})\geq (P_n+\sqrt{P_n})>P_{n+1}>x\geq P_n}$
se observă că între x și $\mathbf{(x+\sqrt{x})}$ există numărul prim $\mathbf{P_{n+1}}$ .
Așadar, conjectura lui Schinzel se rezumă la a demonstra că pentru orice $\mathbf{P_n>127}$ , este adevărată relația $\mathbf{P_{n+1}< P_n+\sqrt{P_n}}$ .

Putem stabili și o condiție ajutătoare pentru care relația de mai sus este adevărată.
Dacă $\mathbf{P_{n+1}- P_n=2k}$ , atunci relația de mai sus este adevărată dacă $\mathbf{(2k)^2< P_n}$ .
Pentru că din condiția $\mathbf{(2k)^2< P_n}$ rezultă $\mathbf{2k< \sqrt{P_n}}$ , iar dacă $\mathbf{P_{n+1}- P_n=2k}$ , atunci $\mathbf{P_{n+1}-P_n< \sqrt{P_n}\Rightarrow P_{n+1}< P_n+\sqrt{P_n} }$ , adică exact relația pe care ar trebui să o demonstrăm.
Deci conjectura lui Schinzel este adevărată, dacă pentru orice $\mathbf{P_n>127}$ , este îndeplinită condiția $\mathbf{(2k)^2< P_n}$ , unde $\mathbf{2k=P_{n+1}-P_n }$ .

Plecăm în analiza de mai jos de la presupunerea că enunțul conjecturii lui Schinzel este adevărat.
Desigur, următoarele conjecturi vor fi analizate pentru numerele mai mari de 127, restul putând fi ușor de calculat pentru a verifica validitatea celorlalte conjecturi, care rezultă din aceasta a lui Schinzel.
În continuare, doar vom presupune că ea este adevărată, pentru a observa modul în care aceasta le implică pe celelalte.
Deci presupunem că pentru orice x mai mare ca 117, între $\mathbf{x- \textit{si}-(x+\sqrt{x})}$ există cel puțin un număr prim.

Adevărul acestui enunț implică validarea conjecturii lui Sierpinski, care spune că entru oricare numere naturale n și k, astfel încât $\mathbf{2 \leq k \leq n}$ , în intervalul ((k −1)n, kn) există cel puțin un număr prim.

Pentru n mai mare ca 127, din conjectura lui Schinzel ar rezulta că $\mathbf{n<p_i<n+\sqrt{n} }$ , precum și $\mathbf{(k-1)<p_i<(k-1)+\sqrt{(k-1)} }$ . Dacă $\mathbf{2 \leq k \leq n}$ ,
atunci $\mathbf{kn=(k-1)n+n> (k-1)n+\sqrt{(k-1)n}}$ ,
de unde rezultă că $\mathbf{kn> (k-1)n+\sqrt{(k-1)n}> p_i> (k-1)n}$ .

Deci conjectura lui Schinzel o implică pe cea a lui Sierpinski.
Conjectura lui Andrica rezultă atât din cea a lui Schinzel, cât și din cea a lui Sierpinski.
Analizăm pentru început varianta mai simplă, adică modul în care rezultă din conjectura lui Sierpinski.
Enunțul conjecturii lui Andrica spune că diferența radicalilor a două numere prime consecutive este mai mică decât 1. Ar însemna că :
$\mathbf{\sqrt{P_{n+1}}-\sqrt{P_n}< 1\Rightarrow \sqrt{P_{n+1}}<\sqrt{P_n}+1}$
Ridicând la pătrat termenii inegalității ar rezulta că enunțul conjecturii lui Andrica este adevărat dacă
$\mathbf{(\sqrt{P_{n+1}})^2<(\sqrt{P_n}+1)^2}$ $\mathbf{\Rightarrow }$ $\mathbf{P_{n+1}<P_n+2\sqrt{P_n}+1 }$ $\mathbf{\Rightarrow }$ $\mathbf{P_{n+1}-P_n< 2\sqrt{P_n}+1 }$ .
Ca și în cazul conjecturii lui Schinzel, dacă am considera diferența dintre cele două numere prime consecutive $\mathbf{P_{n+1}-P_n=2k}$ , putem stabili o condiție asemănătoare pentru care conjectura lui Andrica este adevărată, și anume $\mathbf{k^2< P_n}$ . Dacă aceasta din urmă ar fi adevărată,
atunci $\mathbf{k^2< P_n\Rightarrow k<\sqrt{P_n}\Rightarrow 2k+1<2\sqrt{P_n}+1}$ ,
iar pentru că $\mathbf{P_{n+1}-P_n=2k}$ și conjectura lui Andrica este adevărată dacă
$\mathbf{P_{n+1}-P_n< 2\sqrt{P_n}+1 }$ , atunci înlocuind, se obține prin condiția
$\mathbf{k^2< P_n\Rightarrow k<\sqrt{P_n}\Rightarrow 2k+1<2\sqrt{P_n}+1}$ :
$\mathbf{2k< 2k+1<2\sqrt{P_n}+1}$ , relație adevărată prin condiția care trebuie îndeplinită.
Dar din conjectura lui Schinzel rezultă că dacă diferența dintre cele două numere prime consecutive este 2k, atunci este îndeplinită condiția $\mathbf{(2k)^2< P_n}$ , iar pentru a demonstra conjectura lui Andrica avem nevoie să fie îndeplinită condiția $\mathbf{k^2< P_n}$ , de unde rezultă prin conjectura lui Schinzel că $\mathbf{k^2< (2k)^2< P_n}$ . Se observă implicarea directă a conjecturii lui Andrica din conjectura lui Schinzel.
Desigur pentru numerele prime mai mari ca 127. Se poate verifica ușor prin condiția impusă că și pentru toate celelalte numere prime consecutive mai mici conjectura se verifică.
O mică mențiune, conjectura lui Andrica este adevărată și dacă este îndeplinită condiția $\mathbf{k^2-k+1\leq P_n}$ , unde 2k este diferența celor două numere prime consecutive $\mathbf{ P_n, P_{n+1}}$ , pentru că s-ar ajunge la
$\mathbf{2k< 2\sqrt{k^2-k+1}+1\leq 2 \sqrt{P_n}+1}$ , iar din primii doi termeni se ajunge la
$\mathbf{2k-1< 2\sqrt{k^2-k+1}}$ .
Ridicând la pătrat termenii rezultă o inegalitate corectă.

Analizăm în continuare modul în care rezultă conjectura lui Andrica din cea a lui Sierpinski.
Dacă enunțul conjecturii lui Sierpinski este adevărat, atunci rezultă că :
$\mathbf{(k-1)n=kn-n<P_i<kn}$
Dacă considerăm k=n, putem rescrie relația : $\mathbf{n^2-n<P_i<n^2}$ .
Dar aceasta este valabilă și pentru n+1 : $\mathbf{(n+1)^2-(n+1)<P_i<(n+1)^2}$ .
Dar $\mathbf{(n+1)^2-(n+1)=n^2+n=n(n+1)}$ și prin conjectura lui Sierpinski putem scrie inegalitatea
$\mathbf{(n-1)(n+1)<n^2<P_i<n(n+1)< p_{i+1}<(n+1)^2}$ , pentru că pătratul lui n nu poate fi număr prim (se divide cu n), și nici (n-1)(n+1) ( în acest caz s-ar divide atât cu n-1, cât și cu n+1)
Din inegalitatea de mai sus rezultă că diferența radicalilor celor două numere prime este mai mică decât 1,
pentru că din relația de mai sus rezultă relația $\mathbf{n<\sqrt{P_i}< \sqrt{p_{i+1}}<n+1}$ .
Deci prin conjectura lui Spierpinski pute încadra oricare două numere prime consecutive mai mari ca 2,
în inegalitatea $\mathbf{(n-1)(n+1)<n^2<\sqrt{P_i}<n(n+1)< \sqrt{p_{i+1}}<(n+1)^2}$
de unde rezultă conjectura lui Andrica $\mathbf{n<\sqrt{P_i}< \sqrt{p_{i+1}}<n+1}$ .

Din toate cele trei conjecturi de mai sus, rezultă conjectura lui Legendre, al cărei enunț spune că între oricare două pătrate perfecte consecutive există cel puțin un număr prim.
Diferența dintre două pătrate perfecte consecutive este $\mathbf{(n+1)^2-n^2=2n+1}$ . Din conjectura lui Schinzel reiese că $\mathbf{n^2<P_i< n^2+n< (n+1)^2}$ , de unde rezultă conjectura lui Legendre.
Din cea a lui Sierpinski, de asemenea
$\mathbf{(n-1)(n+1)< n^2<P_i<n(n+1)< P_{i+1}< (n+1)^2}$
precum și din cea a lui Andrica, a cărei demonstrație rămâne la aprecierea cititorului.
Desigur, din toate aceste conjecturi, rezultă evident și Postulatul(teorema) lui Bertrand

Voi continua acest mesaj cu alte câteva conjecturi referitoare la numerele prime, mai mult sau mai puțin importante sau/și interesante:

1. Fie $\mathbf{p_n}$ al n-lea număr prim. Între $\mathbf{p_n}$ și $\mathbf{2p_n}$ sunt cel puțin $\mathbf{\frac{n}{2}}$ numere prime.

2. Între $\mathbf{n^2}$ și $\mathbf{(n+1)^2}$ sunt cel puțin $\mathbf{\sqrt{n}}$ numere prime.

3. Pentru n>2, nu există n diferențe identice între (n+1) numere prime consecutive.

Ar mai fi câteva, dar acestea mi se par mai interesante.

În mesajele viitoare voi expune câteva metode interesante prin care poate fi analizată conjectura lui Schinzel, importantă de altfel, pentru că așa cum reiese de mai sus, validează cel puțin alte trei conjecturi.