Energie, impuls, masă în teoria relativităţii restrânse

În acest articol, vom numi mecanica clasică, bazată pe invarianţa ecuaţiilor de mişcare la transformările Galilei, "mecanică newtoniană", iar mecanica invariantă la transformările Lorentz, "mecanică einsteiniană".

Ne vom referi la punctul material.
Traiectoria unui punct în mişcarea cea mai generală prin spaţiul tridimensional, este dată, în mecanica newtoniană, de relaţia vectorială:



unde r este vectorul de poziţie, iar t este timpul. Deci vectorul de poziţie este o funcţie de timp. Obţinerea explicită a acestei funcţii, este unul din scopurile finale ale mecanicii newtoniene.

Pe de altă parte, lucrul mecanic pe care îl depune o forţă F de-a lungul traiectoriei între punctele cu vectorii de poziţie r1 şi r2 se defineşte, ca fiind integrala curbilinie a forţei, de-a lungul traiectoriei, între cele două puncte.



Dacă F este rezultanta tuturor forţelor care acţionează asupra punctului material, atunci, conform principiului fundamental al dinamicii, scris cu ajutorul impulsului p, avem:



Impulsul este prin definiţie:



Ţinând cot de faptul că energia cinetică diferenţială dW este egală cu lucrul mecanic diferenţial dL, obţinem:



După cum se arată în TRR, dt şi dr sunt reunite în vectorul de poziţie din spaţiu-timp dx (quadrivector):



unde c este viteza luminii în vid, iar e este un vector în lungul axei timpului, cu proprietăţile:



Prin juxtapunere se înţelege produsul scalar.
Din cele de mai sus urmează, că W şi p se reunesc tot într-un quadrivector, de forma:



care se numeşte quadrivector energie-impuls, şi are dimensiunile unui impuls, deci masă ori viteză. Pătratul acestuia este invariant la o transformare Lorentz, deci este independent de viteză, fiind astfel o constantă specifică punctului material. Putem scrie:



Încă nu ştim cine este m, dar ştim că este o constantă a mişcării cu dimensiunile unei mase. Scoatem pe p la pătrat ca să-l putem deriva la W:



Derivăm cu W şi obţinem:



Deci obţinem:



Observăm, că pentru viteză nulă, constanta m este egală cu masa. Deci m reprezintă masa de repaus, iar masa în mecanica einsteiniană depinde de viteză.

Acum, dacă forţa F provine dintr-un potemţial scalar V, avem:



Folosind aceasta, obţinem:



Deci, şi în teoria relativităţii, suma dintre energia cinetică şi energia potenţială se conservă. Acest rezultat a fost abandonat până acum în teoria relativităţii. Deci, dacă notăm energia totală cu E, putem scrie:



Problema este că, nici forţa gravitaţională, nici forţa electromagnetică, nu provin exact dintr-un potenţial scalar.

Foarte frumoasă deducţie a formulei de variaţie a masei cu viteza, utilizând valorosul concept de cuadrivector.

Cum ţi s-ar părea folosirea cuaternionilor în acest domeniu?

Nu ştiu prea multe despre algebra cuaternionilor, nu se prea foloseşte în literatura de specialitate (fizică). Poate o folosesc mai mult matematicienii.