Ultimele subiecte
» Logica deductiei și inducție cu băieții extratereștri Scris de CAdi Ieri la 23:44
» Memoria și tendințele adictive
Scris de Bordan Ieri la 17:32
» URME ALE EXTRATERESTRILOR PE PAMANT. DESCOPERIRI INEXPLICABILE SI FENOMENE OZN 1
Scris de CAdi Ieri la 12:04
» Basarabia, Bucovina - pământ românesc
Scris de CAdi Ieri la 11:41
» Globalizarea
Scris de eugen Mier 27 Mar 2024, 17:10
» Lucrul mecanic - definitie si exemple (Secţiunea 2)
Scris de virgil_48 Mier 27 Mar 2024, 10:34
» TEORIA CONSPIRATIEI NU ESTE UN MIT...
Scris de eugen Mar 26 Mar 2024, 13:49
» Fenomene Electromagnetice
Scris de eugen Mar 26 Mar 2024, 12:18
» Despre elicele complementare
Scris de eugen Mar 26 Mar 2024, 12:00
» Dragi Extraterestri
Scris de CAdi Lun 25 Mar 2024, 12:29
» Ce este FOIP?
Scris de virgil_48 Lun 25 Mar 2024, 09:24
» Pendulul
Scris de eugen Dum 24 Mar 2024, 11:22
» Stanley A. Meyer - Hidrogen
Scris de eugen Vin 22 Mar 2024, 18:12
» Cum a reusit India sa trimita un rover pe Luna la pret de 2 km de autostrada in Romania !
Scris de virgil Vin 22 Mar 2024, 17:34
» Matematica și fizica
Scris de CAdi Joi 21 Mar 2024, 13:19
» Unde a ajuns stiinta ?
Scris de CAdi Mier 20 Mar 2024, 19:35
» Fizica si Matematica
Scris de CAdi Mier 20 Mar 2024, 12:04
» Viitorul si pacea inca e in miinile noastre
Scris de Vizitator Lun 18 Mar 2024, 21:32
» E miscarea rectilinie uniforma identica cu repausul ?
Scris de curiosul Lun 18 Mar 2024, 15:31
» Daci nemuritori
Scris de CAdi Lun 18 Mar 2024, 08:47
» Orbitarea - o miscare compusa
Scris de virgil_48 Dum 17 Mar 2024, 10:20
» Dialogul cu ChatGPT
Scris de Bordan Dum 17 Mar 2024, 07:47
» Laborator-sa construim impreuna
Scris de eugen Sam 16 Mar 2024, 10:10
» Un dicționar incipient de termeni ai Fizicii elicoidale
Scris de Abel Cavaşi Vin 15 Mar 2024, 07:06
» Marea teorema a lui Fermat.
Scris de curiosul Joi 14 Mar 2024, 19:35
» Deplasarea spre rosu a galaxiilor
Scris de CAdi Lun 11 Mar 2024, 12:30
» Geometria numerelor prime
Scris de curiosul Dum 10 Mar 2024, 13:50
» Stiinta oficiala si stiinta neoficiala
Scris de eugen Sam 09 Mar 2024, 12:57
» Unde se regaseste energia consumata pentru schimbarea directiei unei nave cosmice ?
Scris de virgil_48 Joi 07 Mar 2024, 12:53
» Pompele de caldura- instalatii energetice ale viitorului ?
Scris de virgil Mar 05 Mar 2024, 18:41
Postări cu cele mai multe reacții ale lunii
» Mesaj de la CAdi în TEORIA CONSPIRATIEI NU ESTE UN MIT... ( 2 )
» Mesaj de la CAdi în Deplasarea spre rosu a galaxiilor
( 1 )
» Mesaj de la virgil în Daci nemuritori
( 1 )
» Mesaj de la CAdi în Ce este FOIP?
( 1 )
» Mesaj de la CAdi în URME ALE EXTRATERESTRILOR PE PAMANT. DESCOPERIRI INEXPLICABILE SI FENOMENE OZN 1
( 1 )
Subiectele cele mai vizionate
Subiectele cele mai active
Top postatori
virgil (12129) | ||||
CAdi (11781) | ||||
virgil_48 (11133) | ||||
Abel Cavaşi (7942) | ||||
gafiteanu (7617) | ||||
curiosul (6509) | ||||
Razvan (6162) | ||||
Pacalici (5571) | ||||
scanteitudorel (4989) | ||||
eugen (3757) |
Cei care creeaza cel mai des subiecte noi
Abel Cavaşi | ||||
Pacalici | ||||
CAdi | ||||
curiosul | ||||
Dacu | ||||
Razvan | ||||
virgil | ||||
meteor | ||||
gafiteanu | ||||
scanteitudorel |
Cei mai activi postatori ai lunii
virgil_48 | ||||
CAdi | ||||
virgil | ||||
curiosul | ||||
eugen | ||||
Bordan | ||||
Abel Cavaşi | ||||
Forever_Man | ||||
Razvan |
Spune şi altora
Cine este conectat?
În total sunt 32 utilizatori conectați: 0 Înregistrați, 0 Invizibil și 32 Vizitatori Nici unul
Recordul de utilizatori conectați a fost de 181, Vin 26 Ian 2024, 01:57
Subiecte similare
Demonstrațiile cazurilor particulare ale Marii teoreme a lui Fermat
Forum pentru cercetare :: Cercetări în Matematică :: Aritmetica şi Teoria numerelor :: Teoremele lui Fermat
Pagina 1 din 1
Demonstrațiile cazurilor particulare ale Marii teoreme a lui Fermat
Deschid acest subiect ca să mai diversificăm o idee activitatea pe forum, precum și datorită faptului că unii pot fi interesați, sau chiar din pură curiozitate, să cunoască demonstrațiile elementare ale cazurilor particulare ale acestei teoreme, construite de vechii și marii matematicieni.
Acum nu am timp, dar voi scrie zilele acestea, cel mai probabil în week-end, două demonstrații foarte frumoase ale cazurilor n=3 și n=4, corecte de altfel, ale marii teoreme a lui Fermat, pe care le-am găsit într-un volum mai vechi de teorie a numerelor.
I-aș ruga de altfel, pe cei care știu de existența unor demonstrații corecte ale celorlalte cazuri particulare, n= 5, 7, ..., sau chiar și ale acestora (n= 3 și 4) , să atașeze un linc sau dacă au răbdare să le scrie complet.
Cred că este interesant să vedem cum au gândit acei matematicieni.
Acum nu am timp, dar voi scrie zilele acestea, cel mai probabil în week-end, două demonstrații foarte frumoase ale cazurilor n=3 și n=4, corecte de altfel, ale marii teoreme a lui Fermat, pe care le-am găsit într-un volum mai vechi de teorie a numerelor.
I-aș ruga de altfel, pe cei care știu de existența unor demonstrații corecte ale celorlalte cazuri particulare, n= 5, 7, ..., sau chiar și ale acestora (n= 3 și 4) , să atașeze un linc sau dacă au răbdare să le scrie complet.
Cred că este interesant să vedem cum au gândit acei matematicieni.
curiosul- Foarte activ
- Mulţumit de forum : Numarul mesajelor : 6509
Puncte : 40031
Data de inscriere : 22/03/2011
Re: Demonstrațiile cazurilor particulare ale Marii teoreme a lui Fermat
OK.
Voi traduce, prezenta și comenta pentru început demonstrația elementară a teoremei lui Fermat pentru cazul n=3, exact așa cum este ea scrisă în volumul THEORIE DES NOMBRES - TOME SECOND - LE SECOND DEGRE BINAIRE, la pagina 600. (scuze pentru lipsa accentelor )
Pentru a ușura munca cititorului în a înțelege această demonstrație voi interveni pe alocuri încercând să explic mai clar de unde se deduc anumite implicații, scriind în paranteză, cu un font mai mic pentru a se distinge explicațiile mele complementare, de textul original al demonstrației.
Așadar :
Teorema lui Fermat pentru cazul n=3
Vom scrie ecuația lui Fermat sub o formă mai simetrică, schimbând z în -z :
Lema I :
Dacă , cu D(x,y)=1, atunci una din valorile x, y, x-y este divizibilă cu 6.
De fapt, este primitiv reprezentabil prin forma (1, -1, 1), iar pentru că există doar o clasă de determinant 3, u este reprezentabil prin aceeași clasă și putem deduce reprezentarea primitivă a lui prin cea a lui u, prin formulele de multiplicare a formelor.
(În continuare, se face trimitere la un capitol din același volum în care sunt enunțate câteva teoreme, care demonstrează o parte din modalitățile și condițiile de multiplicare a formelor. Este un capitol întreg, destul de important în fundamentul acestei demonstrații, despre care nu voi detalia altceva aici.)
Punând
prin formula multiplicării formelor vom avea cu
Deci o reprezentare pentru este, fie aceasta, fie una dintre acelea pe care le putem deduce prin substituții automorfe de (1, -1, 1), adică
(Este vorba despre reprezentarea soluțiilor primitive X, Y pentru , unde acestea pot fi, fie exact soluțiile X și Y ale sistemului anterior, fie una este -X+Y, iar cealaltă este -x, fie una este -Y, iar cealaltă este X-Y.)
În prima reprezentare, valoarea celei de-a doua necunoscute, adică este divizibilă cu 6, în a doua reprezentare este diferența între cele două valori ale necunoscutelor, adică (-X+Y)+X, etc.
(Deci dacă soluțiile necunoscutelor nu sunt exact valorile X, Y ale sistemului deduse prin multiplicarea formei, caz în care a doua, Y, este sigur divizibilă cu 6, ca și în cazul celei de-a treia reprezentări unde una din soluții este -Y, în cealaltă reprezentare, diferența necunoscutelor este exact exprimarea lui Y, caz în care diferența x-y este divizibilă cu 6. Lema este corect și complet demonstrată.)
Lema II :
Dintre cele trei valori x, y, z, ca și soluții primitive ale ecuației (1), una este divizibilă cu 6.
(Aici se face o trimitere în subsolul paginii care spune :
Vedem ușor că una este divizibilă cu 2 și una care este divizibilă cu 3,
transformând în congruență mod 9 și insistând asupra faptului că
(mod 9). Dar nu demonstrăm astfel că este aceeași valoare care se divide în același timp cu 2 și cu 3.
Deși nu este demonstrat aici, dacă cineva vrea să cunoască modul în care se demonstrează că una din soluții se divide cu 2 și una se divide cu 3, îi pot arăta ulterior cum se demonstrează asta.)
Este cel puțin una din cele trei valori care nu se divide nici cu 2, nici cu 3.
Presupunem că aceasta este z. Scriem :
unde
Valorile și sunt prime între ele, altfel un factor prim comun ar trebui să dividă
sau .
Dar acest factor nu poate fi trei, pentru că z nu este divizibil cu 3. (prin presupunerea inițială)
Deci ar trebui să fie unul din factorii lui x sau y și divizând x+y ar divide în același timp x și y ceea ce este imposibil.(prin faptul că x și y sunt prime între ele.)
În aceste condiții, egalitatea (2) impune ca și să fie ambele cuburi. Fie
Astfel, după cum rezultă din lemma anterioară, dacă nici x, nici y nu este divizibil cu 6, atunci x-y trebuie să fie divizibil cu 6.
Dar aceasta este imposibil pentru că x și y sunt unul par și unul impar. (rezultă din faptul că z a fost presupus ca fiind soluția care nu se divide cu 6, acesta fiind impar, celelalte două nu pot fi ambele impare, sau ambele pare)
Aceste două leme demonstrate, revenim la ecuația (1) unde presupunem că z este soluția care se divide cu 6. În consecință, notăm :
x,y,t nefiind divizibile nici cu 2, nici cu 3.
Căutăm cum se distribuie factorii 2 și 3 în primul membru. (pentru că acum s-a presupus că z este divizibil cu 6, deci este par, iar x, y, z prime între ele, rezultă că x și y sunt impare) este par, în timp ce este impar, deci factorul este conținut în .
Pe de altă parte avem:
(Ultimele congruențe rezultă evident din cele anterioare, dar acest pas putea fi sărit în demonstrație, putându-se trece direct la a arăta că dacă z se divide cu 3, iar x și y nu, prin suma acestora două din urmă la puterea a treia, se ajunge la un număr divizibil cu 3, doar dacă unul este de forma 3k+1, iar celălalt de forma 3q-1, concluzie la care se ajunge și în continuare în demonstrația respectivă)
Nu putem avea pentru că dacă ar fi așa niciunul din factorii și n-ar fi divizibili cu 3 (deci nici z). Avem așadar .
Pentru că nimic nu distinge încă x de y, putem presupune că
Atunci cei doi factori și sunt ambii divizibili cu 3. Dar al doilea nu este divizibil cu 9, pentru că notând x=3h+1 și y=3k-1, se ajunge la
Pe de altă parte, și nu pot avea alți factori comuni cu excepția lui 3, pentru că așa cum am văzut mai sus, un alt factor comun ar divide 3xy.
(O mică paranteză, toată această ultimă parte, și nu numai, poate fi demonstrată mult mai simplu și ușor de înțeles, deși și de aici rezultă destul de evident. Faptul că p prim poate fi singurul factor comun atât în dezvoltarea diferenței, cât și a sumei a două numere prime între ele la puterea p, s-a demonstrat generalizat și mult mai simplu chiar pe acest forum, de către Mezei Geza. )
Rezultă din toate acestea că :
u, v nefiind divizibile nici cu 2, nici cu 3 și sunt prime între ele.
A doua ecuație a sistemului se scrie :
valorile și fiind numere întregi așa cum rezultă din sistemul (3).
Atunci, ca mai sus, avem pentru v expresia :
și pentru și unul din sistemele următoare de valori :
sau
sau
unde sistemele precedente de valori schimbă semnele și este inutil de a scrie pentru că le putem deduce din cele precedente schimbând semnele lui și .
Din aceste trei sisteme de valori, ultimele două sunt inacceptabile.
De fapt, din al doilea se ajunge la
de unde
unde
egalitate imposibilă pentru că termenii și sunt divizibili cu 9, în timp ce 3y nu este (pentru că y nu se divide cu 3, dacă am presupus că z se divide cu 6).
Imposibilitatea celui de-al treilea sistem se vede scriind de asemenea : .
Rămâne așadar :
(din a doua ecuație de mai sus și din prima din sistemul (4), de fapt, se ajunge la)
Oricare doi din factorii primului membru sunt valori prime între ele, altfel un factor comun al acelor numere ar divide x și y. Deci oricare dintre ele este un cub și avem (pentru că al doilea membru este un cub) :
unde factorul 3 intră doar într-unul din factorii q, r, s.
Avem atunci
ecuație de aceeași formă ca ecuația inițială (1). Valorile necunoscutelor sunt prime între ele două câte două. Mai mult, ele sunt toate diferite de 0, pentru că altfel u ar fi nul și în consecință, de asemenea și z. Dar cele trei valori q, r, s, care ar conține factorul 3, l-ar conține doar la o putere n-1, cum rezultă din egalitatea (5).
Astfel am dedus din soluțiile presupuse ale ecuației (1), alte soluții, din care niciuna nu este nulă, pentru aceeași ecuație și unde factorul 3 ar fi conținut cu un exponent diminuat cu o unitate.
Din aproape în aproape am ajunge așadar, la soluții pentru această ecuație nedivizibile cu 3, ceea ce este imposibil.
Corolar:
Teorema lui Fermat este adevărată pentru toate valorile de n care se divid cu 3.
Asta este demonstrația așa cum este ea scrisă în acel volum.
Acum, ajuns încă o dată la finalul ei, aș avea totuși o nelămurire.
Faptul că nu reiese de nicăieri că aceeași soluție se divide și cu 3, și cu 2 este oarecum irelevant pentru că demonstrația nu se bazează pe factorul 2, ci pe cel cu 3. Ar fi fost frumos să fie demonstrat și faptul că, obligatoriu, una din soluții trebuie să se dividă cu 3, pentru că, după cum am văzut și la finalul acesteia, demonstrația, în tot ansamblul ei, bazează pe această soluție divizibilă cu 3.
Dar nici asta nu e o problemă, pentru că acest lucru îl pot demonstra și eu, într-adevăr destul de ușor.
Dar cred că demonstrația este incompletă, pentru că după demonstrarea celor două leme, demonstrația se bazează până la final doar pe presupunerea că z se divide cu 6, ajungându-se la a se arăta imposibilitatea acestui lucru. Dar din a doua lemă rezultă că una din soluțiile x, y, z una se divide cu 6. Demonstrația nu a luat în calcul cazul în care soluția divizibilă cu 6 este una din soluțiile x sau y, ci doar cazul în care z se divide cu 6.
Probabil că demonstrația s-ar fi bazat pe același raționament, ajungându-se la reprezentări asemănătoare prin formulele de multiplicare a formelor.
Îmi scapă mie ceva, sau am dreptate, demonstrația nu ia în calcul situația în care x sau y se divide cu 6 ?
Voi ce ziceți ?
Voi traduce, prezenta și comenta pentru început demonstrația elementară a teoremei lui Fermat pentru cazul n=3, exact așa cum este ea scrisă în volumul THEORIE DES NOMBRES - TOME SECOND - LE SECOND DEGRE BINAIRE, la pagina 600. (scuze pentru lipsa accentelor )
Pentru a ușura munca cititorului în a înțelege această demonstrație voi interveni pe alocuri încercând să explic mai clar de unde se deduc anumite implicații, scriind în paranteză, cu un font mai mic pentru a se distinge explicațiile mele complementare, de textul original al demonstrației.
Așadar :
Teorema lui Fermat pentru cazul n=3
Vom scrie ecuația lui Fermat sub o formă mai simetrică, schimbând z în -z :
Lema I :
Dacă , cu D(x,y)=1, atunci una din valorile x, y, x-y este divizibilă cu 6.
De fapt, este primitiv reprezentabil prin forma (1, -1, 1), iar pentru că există doar o clasă de determinant 3, u este reprezentabil prin aceeași clasă și putem deduce reprezentarea primitivă a lui prin cea a lui u, prin formulele de multiplicare a formelor.
(În continuare, se face trimitere la un capitol din același volum în care sunt enunțate câteva teoreme, care demonstrează o parte din modalitățile și condițiile de multiplicare a formelor. Este un capitol întreg, destul de important în fundamentul acestei demonstrații, despre care nu voi detalia altceva aici.)
Punând
prin formula multiplicării formelor vom avea cu
Deci o reprezentare pentru este, fie aceasta, fie una dintre acelea pe care le putem deduce prin substituții automorfe de (1, -1, 1), adică
X,Y sau -X+Y, -X sau -Y, X-Y
unde unul din cele trei sisteme schimbă semnul.(Este vorba despre reprezentarea soluțiilor primitive X, Y pentru , unde acestea pot fi, fie exact soluțiile X și Y ale sistemului anterior, fie una este -X+Y, iar cealaltă este -x, fie una este -Y, iar cealaltă este X-Y.)
În prima reprezentare, valoarea celei de-a doua necunoscute, adică este divizibilă cu 6, în a doua reprezentare este diferența între cele două valori ale necunoscutelor, adică (-X+Y)+X, etc.
(Deci dacă soluțiile necunoscutelor nu sunt exact valorile X, Y ale sistemului deduse prin multiplicarea formei, caz în care a doua, Y, este sigur divizibilă cu 6, ca și în cazul celei de-a treia reprezentări unde una din soluții este -Y, în cealaltă reprezentare, diferența necunoscutelor este exact exprimarea lui Y, caz în care diferența x-y este divizibilă cu 6. Lema este corect și complet demonstrată.)
Lema II :
Dintre cele trei valori x, y, z, ca și soluții primitive ale ecuației (1), una este divizibilă cu 6.
(Aici se face o trimitere în subsolul paginii care spune :
Vedem ușor că una este divizibilă cu 2 și una care este divizibilă cu 3,
transformând în congruență mod 9 și insistând asupra faptului că
(mod 9). Dar nu demonstrăm astfel că este aceeași valoare care se divide în același timp cu 2 și cu 3.
Deși nu este demonstrat aici, dacă cineva vrea să cunoască modul în care se demonstrează că una din soluții se divide cu 2 și una se divide cu 3, îi pot arăta ulterior cum se demonstrează asta.)
Este cel puțin una din cele trei valori care nu se divide nici cu 2, nici cu 3.
Presupunem că aceasta este z. Scriem :
unde
Valorile și sunt prime între ele, altfel un factor prim comun ar trebui să dividă
sau .
Dar acest factor nu poate fi trei, pentru că z nu este divizibil cu 3. (prin presupunerea inițială)
Deci ar trebui să fie unul din factorii lui x sau y și divizând x+y ar divide în același timp x și y ceea ce este imposibil.(prin faptul că x și y sunt prime între ele.)
În aceste condiții, egalitatea (2) impune ca și să fie ambele cuburi. Fie
Astfel, după cum rezultă din lemma anterioară, dacă nici x, nici y nu este divizibil cu 6, atunci x-y trebuie să fie divizibil cu 6.
Dar aceasta este imposibil pentru că x și y sunt unul par și unul impar. (rezultă din faptul că z a fost presupus ca fiind soluția care nu se divide cu 6, acesta fiind impar, celelalte două nu pot fi ambele impare, sau ambele pare)
Aceste două leme demonstrate, revenim la ecuația (1) unde presupunem că z este soluția care se divide cu 6. În consecință, notăm :
,
Avem așadar,x,y,t nefiind divizibile nici cu 2, nici cu 3.
Căutăm cum se distribuie factorii 2 și 3 în primul membru. (pentru că acum s-a presupus că z este divizibil cu 6, deci este par, iar x, y, z prime între ele, rezultă că x și y sunt impare) este par, în timp ce este impar, deci factorul este conținut în .
Pe de altă parte avem:
,
Atunci(Ultimele congruențe rezultă evident din cele anterioare, dar acest pas putea fi sărit în demonstrație, putându-se trece direct la a arăta că dacă z se divide cu 3, iar x și y nu, prin suma acestora două din urmă la puterea a treia, se ajunge la un număr divizibil cu 3, doar dacă unul este de forma 3k+1, iar celălalt de forma 3q-1, concluzie la care se ajunge și în continuare în demonstrația respectivă)
Nu putem avea pentru că dacă ar fi așa niciunul din factorii și n-ar fi divizibili cu 3 (deci nici z). Avem așadar .
Pentru că nimic nu distinge încă x de y, putem presupune că
Atunci cei doi factori și sunt ambii divizibili cu 3. Dar al doilea nu este divizibil cu 9, pentru că notând x=3h+1 și y=3k-1, se ajunge la
Pe de altă parte, și nu pot avea alți factori comuni cu excepția lui 3, pentru că așa cum am văzut mai sus, un alt factor comun ar divide 3xy.
(O mică paranteză, toată această ultimă parte, și nu numai, poate fi demonstrată mult mai simplu și ușor de înțeles, deși și de aici rezultă destul de evident. Faptul că p prim poate fi singurul factor comun atât în dezvoltarea diferenței, cât și a sumei a două numere prime între ele la puterea p, s-a demonstrat generalizat și mult mai simplu chiar pe acest forum, de către Mezei Geza. )
Rezultă din toate acestea că :
u, v nefiind divizibile nici cu 2, nici cu 3 și sunt prime între ele.
A doua ecuație a sistemului se scrie :
valorile și fiind numere întregi așa cum rezultă din sistemul (3).
Atunci, ca mai sus, avem pentru v expresia :
și pentru și unul din sistemele următoare de valori :
sau
unde sistemele precedente de valori schimbă semnele și este inutil de a scrie pentru că le putem deduce din cele precedente schimbând semnele lui și .
Din aceste trei sisteme de valori, ultimele două sunt inacceptabile.
De fapt, din al doilea se ajunge la
de unde
unde
egalitate imposibilă pentru că termenii și sunt divizibili cu 9, în timp ce 3y nu este (pentru că y nu se divide cu 3, dacă am presupus că z se divide cu 6).
Imposibilitatea celui de-al treilea sistem se vede scriind de asemenea : .
Rămâne așadar :
;
Atunci prima ecuație a sistemului (4) devine :(din a doua ecuație de mai sus și din prima din sistemul (4), de fapt, se ajunge la)
Oricare doi din factorii primului membru sunt valori prime între ele, altfel un factor comun al acelor numere ar divide x și y. Deci oricare dintre ele este un cub și avem (pentru că al doilea membru este un cub) :
unde factorul 3 intră doar într-unul din factorii q, r, s.
Avem atunci
ecuație de aceeași formă ca ecuația inițială (1). Valorile necunoscutelor sunt prime între ele două câte două. Mai mult, ele sunt toate diferite de 0, pentru că altfel u ar fi nul și în consecință, de asemenea și z. Dar cele trei valori q, r, s, care ar conține factorul 3, l-ar conține doar la o putere n-1, cum rezultă din egalitatea (5).
Astfel am dedus din soluțiile presupuse ale ecuației (1), alte soluții, din care niciuna nu este nulă, pentru aceeași ecuație și unde factorul 3 ar fi conținut cu un exponent diminuat cu o unitate.
Din aproape în aproape am ajunge așadar, la soluții pentru această ecuație nedivizibile cu 3, ceea ce este imposibil.
Corolar:
Teorema lui Fermat este adevărată pentru toate valorile de n care se divid cu 3.
Asta este demonstrația așa cum este ea scrisă în acel volum.
Acum, ajuns încă o dată la finalul ei, aș avea totuși o nelămurire.
Faptul că nu reiese de nicăieri că aceeași soluție se divide și cu 3, și cu 2 este oarecum irelevant pentru că demonstrația nu se bazează pe factorul 2, ci pe cel cu 3. Ar fi fost frumos să fie demonstrat și faptul că, obligatoriu, una din soluții trebuie să se dividă cu 3, pentru că, după cum am văzut și la finalul acesteia, demonstrația, în tot ansamblul ei, bazează pe această soluție divizibilă cu 3.
Dar nici asta nu e o problemă, pentru că acest lucru îl pot demonstra și eu, într-adevăr destul de ușor.
Dar cred că demonstrația este incompletă, pentru că după demonstrarea celor două leme, demonstrația se bazează până la final doar pe presupunerea că z se divide cu 6, ajungându-se la a se arăta imposibilitatea acestui lucru. Dar din a doua lemă rezultă că una din soluțiile x, y, z una se divide cu 6. Demonstrația nu a luat în calcul cazul în care soluția divizibilă cu 6 este una din soluțiile x sau y, ci doar cazul în care z se divide cu 6.
Probabil că demonstrația s-ar fi bazat pe același raționament, ajungându-se la reprezentări asemănătoare prin formulele de multiplicare a formelor.
Îmi scapă mie ceva, sau am dreptate, demonstrația nu ia în calcul situația în care x sau y se divide cu 6 ?
Voi ce ziceți ?
curiosul- Foarte activ
- Mulţumit de forum : Numarul mesajelor : 6509
Puncte : 40031
Data de inscriere : 22/03/2011
Re: Demonstrațiile cazurilor particulare ale Marii teoreme a lui Fermat
Cred că voi reveni ulterior asupra demonstrației anterioare, pentru că nu sunt complet convins, demonstrația fiind totuși destul de greoaie și dificil de înțeles. Eventual voi încerca, pe baza principiului pe care a fost construită, să o reproduc într-un mod mai clar, unde implicațiile rezultă printr-un mod mai ușor de înțeles, analizând și situația în care una din valorile x sau y este soluția care se divide cu 3.
În continuare, voi prezenta demonstrația cazului n=4, așa cum este scrisă acolo, fără alte comentarii personale, demonstrație care este bazată pe principiul dezvoltat de Fermat însuși, reprodusă de Frenicle de Bessy, ceva mai simplă și mai ușor de înțeles.
Teorema lui Fermat pentru cazul n=4
Acestă teoremă se enunță :
Ecuația nu are alte soluții, cu excepția celor unde una din necunoscutele x sau y are o valoare nulă. Vom demonstra acest rezultat pentru o ecuație mai generală, și anume
Această ecuație nu are alte soluții cu excepția celor pentru care una din valorile x sau y este nulă.
Putem presupune că soluțiile x, y, z sunt prime între ele.
Presupunem de fapt, că ele ar avea un factor prim comun p. Punând
Deci z' trebuie să se dividă cu p. Notând z'=pz" se ajunge la
Dacă valorile x' , y' , z" ar avea încă un factor prim comun am repeta raționamentul până când s-ar ajunge la o ecuație de forma (1) în care valorile necunoscutelor n-ar mai avea niciun factor prim comun.
În particular, valorile celor trei necunoscute nu sunt pare; ele nu pot fi două pare și unul impar și nici toate trei impare. Deci este o soluție pară și două impare.
Transformând ecuația în congruență (mod 4) observăm că nu este posibil ca x și y să aibă valori impare și z o valoare pară. Deci z are o valoare impară, una din necunoscutele x sau y, spre exemplu x, are o valoare pară și cealaltă necunoscută, y, are o valoare impară. Fie
y fiind impar. Ecuația devine
x' , y, z având valori impare, fără factori comuni. Vom face demonstrația pentru o ecuație mai generală:
Putem observa că cel mai mare divizor comun al lui și este egal cu 2. Deci avem :
Dacă n>1, transformând această ecuație în congruență (mod 4) se obține
adică o ecuație de aceeași formă cu ecuația (2), dar exponentul n diminuat cu o unitate. Repetând acest procedeu ori de câte ori este necesar ajungem la o ecuație de aceeași formă cu ecuația (2), însă unde n=1, adică
Teorema lui Fermat este, așadar, adevărată pentru n=4.
Remarcă
Este evident că dacă teorema lui Fermat este adevărată pentru o valoare de n, ea este de asemenea și pentru valoarea lui n multiplul precedentului. Deci teorema lui Fermat este adevărată pentru toate valorile lui n divizibile cu 4.
În continuare, voi prezenta demonstrația cazului n=4, așa cum este scrisă acolo, fără alte comentarii personale, demonstrație care este bazată pe principiul dezvoltat de Fermat însuși, reprodusă de Frenicle de Bessy, ceva mai simplă și mai ușor de înțeles.
Teorema lui Fermat pentru cazul n=4
Acestă teoremă se enunță :
Ecuația nu are alte soluții, cu excepția celor unde una din necunoscutele x sau y are o valoare nulă. Vom demonstra acest rezultat pentru o ecuație mai generală, și anume
Această ecuație nu are alte soluții cu excepția celor pentru care una din valorile x sau y este nulă.
Putem presupune că soluțiile x, y, z sunt prime între ele.
Presupunem de fapt, că ele ar avea un factor prim comun p. Punând
, ,
ecuația devineDeci z' trebuie să se dividă cu p. Notând z'=pz" se ajunge la
Dacă valorile x' , y' , z" ar avea încă un factor prim comun am repeta raționamentul până când s-ar ajunge la o ecuație de forma (1) în care valorile necunoscutelor n-ar mai avea niciun factor prim comun.
În particular, valorile celor trei necunoscute nu sunt pare; ele nu pot fi două pare și unul impar și nici toate trei impare. Deci este o soluție pară și două impare.
Transformând ecuația în congruență (mod 4) observăm că nu este posibil ca x și y să aibă valori impare și z o valoare pară. Deci z are o valoare impară, una din necunoscutele x sau y, spre exemplu x, are o valoare pară și cealaltă necunoscută, y, are o valoare impară. Fie
y fiind impar. Ecuația devine
x' , y, z având valori impare, fără factori comuni. Vom face demonstrația pentru o ecuație mai generală:
, n>0 , x, y, z impare fără factori comuni
Această ecuație se scrie :Putem observa că cel mai mare divizor comun al lui și este egal cu 2. Deci avem :
, u și v impare, prime între ele
Dar al doilea sistem derivă din primul schimbând z în -z, în , u cu v și v cu u. Este suficient așadar, de a considera doar primul sistem. Ajungem laDacă n>1, transformând această ecuație în congruență (mod 4) se obține
(mod 4)
Deci și ecuația (3) devine :adică o ecuație de aceeași formă cu ecuația (2), dar exponentul n diminuat cu o unitate. Repetând acest procedeu ori de câte ori este necesar ajungem la o ecuație de aceeași formă cu ecuația (2), însă unde n=1, adică
(x, y, z impare)
Ori transformând aceasta din urmă în congruență mod 8, observăm că ea este imposibilă.Teorema lui Fermat este, așadar, adevărată pentru n=4.
Remarcă
Este evident că dacă teorema lui Fermat este adevărată pentru o valoare de n, ea este de asemenea și pentru valoarea lui n multiplul precedentului. Deci teorema lui Fermat este adevărată pentru toate valorile lui n divizibile cu 4.
Ultima editare efectuata de catre curiosul in Dum 06 Oct 2013, 13:19, editata de 1 ori (Motiv : eliminat paranteze care reproduc codul unui emoticon)
curiosul- Foarte activ
- Mulţumit de forum : Numarul mesajelor : 6509
Puncte : 40031
Data de inscriere : 22/03/2011
Subiecte similare
» Cercetari asupra demonstratiei a cazurilor particulare si sau generale a Marii Teoreme a lui Fermat
» Cea mai simplă demonstrație elementară a Marii Teoreme a lui Fermat
» Despre demonstrațiile lui meteor
» Cea mai simplă demonstrație elementară a Marii Teoreme a lui Fermat
» Despre demonstrațiile lui meteor
Forum pentru cercetare :: Cercetări în Matematică :: Aritmetica şi Teoria numerelor :: Teoremele lui Fermat
Pagina 1 din 1
Permisiunile acestui forum:
Nu puteti raspunde la subiectele acestui forum
|
|