Observații referitoare la numerele prime

Scris de **curiosul** Joi 28 Noi 2013, 18:27

Reluând o idee analiza conjecturii lui Andrica, am observat două aspecte interesante privind factorizarea numerelor :

1. Pentru oricare două numere prime consecutive $\mathbf{P_n}$ și $\mathbf{P_{n+1}}$ , nu există $\mathbf{a\in (P_n, P_{n+1})}$ astfel încât toate numerele prime care divid a să fie mai mari ca $\mathbf{(P_{n+1}-P_n)}$ .

2. Pentru oricare două numere prime consecutive $\mathbf{P_n}$ și $\mathbf{P_{n+1}}$ , numerele din intervalul $\mathbf{(P_n,P_{n+1})}$ nu pot fi toate divizibile doar cu numere prime mai mici ca $\mathbf{(P_{n+1}-P_n)}$ .

Sper ca în următoarea perioadă să revin și cu demonstrațiile lor.
Aceste observații stabilesc câteva condiții suplimentare despre modul în care se distribuie factorii primii în factorizarea numerelor.

Scris de **curiosul** Joi 28 Noi 2013, 18:54

Prima observație, asupra căreia am totuși câteva incertitudini, a apărut de la un caz particular care validează conjectura lui Schinzel.

Se poate demonstra că dacă există $\mathbf{a\in (P_n, P_{n+1})}$ astfel încât toate numerele prime care divid a sunt mai mari ca $\mathbf{(P_{n+1}-P_n)}$ , atunci $\mathbf{\left ( P_{n+1}-P_n \right )^2< P_n}$ , de unde rezultă adevărul conjecturii lui Schinzel pentru toate numerele cuprinse în intervalul $\mathbf{\left [ P_n,P_{n+1} \right )}$ .

Dacă $\mathbf{a\in (P_n, P_{n+1})}$ astfel încât toate numerele prime care divid a sunt mai mari ca $\mathbf{(P_{n+1}-P_n)}$ , atunci $\mathbf{\left (P_{n+1}-P_n \right )^2<P_n<a<P_{n+1}}$ .
Iar $\mathbf{P_{n+1}-P_n <\sqrt{P_n}}$ , $\mathbf{P_{n+1} <P_n+\sqrt{P_n}}$ și pentru orice număr x care satisface inegalitatea
$\mathbf{P_n\leq x< P_{n+1}< P_n+\sqrt{P_n}\leq x+\sqrt{x}}$ ,
conjectura lui Schinzel este adevărată în acest caz.

Scris de **Dacu** Mar 03 Dec 2013, 08:00

curiosul a scris:Reluând o idee analiza conjecturii lui Andrica, am observat două aspecte interesante privind factorizarea numerelor :

1. Pentru oricare două numere prime consecutive $\mathbf{P_n}$ și $\mathbf{P_{n+1}}$ , nu există $\mathbf{a\in (P_n, P_{n+1})}$ astfel încât toate numerele prime care divid a să fie mai mari ca $\mathbf{(P_{n+1}-P_n)}$ .

Aceasta este o axiomă!
Nu trebuie demonstrat nimic deoarece este evident că între două numere impare prime consecutive există cel puţin un număr care se divide cu numărul prim 2 şi deci afirmaţia de mai sus este evidentă. Rolling Eyes

Scris de **Dacu** Mar 03 Dec 2013, 08:04

curiosul a scris:

2. Pentru oricare două numere prime consecutive $\mathbf{P_n}$ și $\mathbf{P_{n+1}}$ , numerele din intervalul $\mathbf{(P_n,P_{n+1})}$ nu pot fi toate divizibile doar cu numere prime mai mici ca $\mathbf{(P_{n+1}-P_n)}$ .

Şi aceasta este tot o axiomă........... Rolling Eyes

Scris de **curiosul** Mar 03 Dec 2013, 11:17

Dacu a scris:
curiosul a scris:Reluând o idee analiza conjecturii lui Andrica, am observat două aspecte interesante privind factorizarea numerelor :

1. Pentru oricare două numere prime consecutive $\mathbf{P_n}$ și $\mathbf{P_{n+1}}$ , nu există $\mathbf{a\in (P_n, P_{n+1})}$ astfel încât toate numerele prime care divid a să fie mai mari ca $\mathbf{(P_{n+1}-P_n)}$ .

Aceasta este o axiomă!
Nu trebuie demonstrat nimic deoarece este evident că între două numere impare prime consecutive există cel puţin un număr care se divide cu numărul prim 2 şi deci afirmaţia de mai sus este evidentă.

Din păcate Dacule, te înșeli.
Ca și mine de altfel, asupra acestei afirmații.
Sau poate că nu ai înțeles exact ce vrea să spună enunțul.

Un contraexemplu este a=77, P(n)=73, P(n+1)=79.

Scris de **curiosul** Mar 03 Dec 2013, 11:23

Dacu a scris:
curiosul a scris:

2. Pentru oricare două numere prime consecutive $\mathbf{P_n}$ și $\mathbf{P_{n+1}}$ , numerele din intervalul $\mathbf{(P_n,P_{n+1})}$ nu pot fi toate divizibile doar cu numere prime mai mici ca $\mathbf{(P_{n+1}-P_n)}$ .

Şi aceasta este tot o axiomă...........

Aceasta însă, trebuie demonstrată, nu poate fi considerată o axiomă.
Cred că nici aici nu ai înțeles exact ce vrea să spună afirmația.

Scris de **Dacu** Mar 03 Dec 2013, 17:45

Da!Acum am înţeles eu mă gândeam că trebuie să analizez toate numerele din interval dar aşa cum ai enunţat prima afirmaţie ,rezultă de fapt că este o negaţie........... Very Happy

La a doua afirmaţie totuşi eu zic ca este o axiomă deoarece exista cel puţin un număr par în intervalul de două numere impare prime consecutive......De exemplu intervalul (73,79)...... Rolling Eyes

Scris de **curiosul** Mier 04 Dec 2013, 14:21

Dacu a scris:La a doua afirmaţie totuşi eu zic ca este o axiomă deoarece exista cel puţin un număr par în intervalul de două numere impare prime consecutive

În primul rând apreciez foarte mult modul în care ai abordat exprimarea din mesajul anterior.
Se observă o schimbare de atitudine pentru care sincer te felicit.

Hai să vedem a doua afirmație :

curiosul a scris:2. Pentru oricare două numere prime consecutive $\mathbf{P_n}$ și $\mathbf{P_{n+1}}$ , numerele din intervalul $\mathbf{(P_n,P_{n+1})}$ nu pot fi toate divizibile doar cu numere prime mai mici ca $\mathbf{(P_{n+1}-P_n)}$ .

Chiar dacă acelea la care faci referire sunt numere pare, ele se pot divide totuși și cu un număr prim impar mai mare ca $\mathbf{(P_{n+1}-P_n)}$

Să alegem un exemplu. Fie 6 diferența $\mathbf{(P_{n+1}-P_n)}$ , să spunem 29-23.
Numărul 26, deși este par, se divide cu 13, adică un număr prim mai mare ca $\mathbf{(P_{n+1}-P_n)}$ .

Enunțul afirmației presupune că nu există două numere prime consecutive, astfel încât toate numerele cuprinse între cele două numere prime să nu aibă factori primi mai mari ca $\mathbf{(P_{n+1}-P_n)}$ .

Desigur, sunt cazuri triviale, cum ar fi 5-3=2, numărul între 3 și 5 este 4, iar singurul factor prim este 2.
Dar nu este valabil pentru oricare două numere prime gemene.
Spre exemplu, 13-11=2, numărul dintre ele este 12, divizibil cu 3, care este un număr prim mai mare ca 13-11.

Înțelegi ce vreau să spun ?

Scris de Continut sponsorizat

Observații referitoare la numerele prime

Observații referitoare la numerele prime

Re: Observații referitoare la numerele prime

Re: Observații referitoare la numerele prime

Re: Observații referitoare la numerele prime

Re: Observații referitoare la numerele prime

Re: Observații referitoare la numerele prime

Re: Observații referitoare la numerele prime

Re: Observații referitoare la numerele prime

Re: Observații referitoare la numerele prime