Oscilatorul armonic liniar clasic

Rezumarea primului mesaj :

Pornesc acest subiect ca urmare a lecturilor lui Abel, in speranta ca-i va fi util pentru a intelege mai bine lucrurile citite. Discutia este deschisa pentru oricine doreste sa participe, fie cu intrebari, fie cu completari, dar am rugamintea sa ne straduim cu totii sa ramanem la subiect.

ATENTIE: glumetii, pacalicii si miticii care vor gasi de cuviinta sa bruieze topicul isi vor gasi mesajul sters si vor primi si o suspendare bonus. Cine se simte destept si vrea sa bage mesaje istete, sa stie de pe acum sa se abtina.

Desi extrem de simpla, problema pe care o discutam aici este fundamentala in intreaga fizica moderna. Fie ca vorbim de fenomene care se petrec in materiale ce poseda conductivitate electrica, fie ca vorbim de nuclee atomice sau campuri cuantice, oscilatorul armonic este elementul comun care leaga toate aceste sisteme, astfel ca intelegerea lui deschide drumul spre descifrarea multor altor fenomene fizice. Enuntul problemei este urmatorul:

Fie o particula de , asupra careia actioneaza forta , unde este o constanta. Stiind ca la momentul , particula se afla in punctul de coordonate si era in repaus, sa se studieze miscarea ei prin:

a) metoda lui Newton
b) metoda lui Lagrange
c) metoda lui Hamilton
d) metoda transformarilor canonice

Daca sunt neclaritati legate de enunt, acum este momentul sa le faceti cunoscute. Eu vreau sa expun aceste metode pe un exemplu simplu pentru a veni in ajutorul celor care sunt interesati sa le inteleaga, dar putem si chiar e recomandat sa incercam sa gasim metode noi de a rezolva problema.

Problema pe care am ridicat-o mi se pare de CORECTITUDINE a calculului. Din moment ce lagrangeanul este
și din moment ce viteza depinde de poziție, cum este posibil să avem
? Altfel spus, de ce se anulează termenul
?

Dupa cum am spus deja, viteza si pozitia sunt variabile independente, ambele avand ca parametru timpul. Reiau analogia cu f(x) si f'(x), unde f'(x) este functie tot de x, nu functie de f. Atunci .

Ca sa fie altfel cred ca trebuie sa pornesti de la o actiune de tipul , deci cu timpul si viteza variabile independente si pozitia ca parametru, iar problema este cum construiesti un L in aceasta parametrizare. Mie imi este familiara parametrizarea cu pozitia si viteza variabile independente, din care rezulta formula L=T - V pentru functia lui Lagrange din principiul lui d'Alembert.

omuldinluna a scris:Reiau analogia cu f(x) si f'(x), unde f'(x) este functie tot de x, nu functie de f. Atunci .

Nu mă convinge nici această analogie, din păcate. Să luăm, de exemplu, funcția . Atunci . Știind că și admițând că lucrăm pe intervale convenabile, avem și . Atunci . Iată, deci, că poți să obții pe în funcție de .

Ceea ce vreau, deci, să scot în evidență, după câte înțeleg eu, este faptul că derivata parțială NU SE ANULEAZĂ.

E foarte bun exemplu tau, dar ca sa-l aplici in cazul nostru trebuie sa schimbi parametrul in intreaga problema din t in x. In exemplul tau tu ai schimbat parametrul din x in x^2, iar in situatia noastra trebuie sa rezolvi problema variationala de la bun inceput in aceasta parametrizare, daca o doresti (adica sa definesti o actiune avand pozitia si nu timpul ca parametru, si sa gasesti functia lui Lagrange corespunzatoare acestei situatii). Altfel acea derivata partiala se anuleaza din moment ce se refera la doua variabile independente.