Mistere in Matematica!:Banda lui Mobius,Sticla lui Klein,Numarul de Aur,Numarul,,PI''

Rezumarea primului mesaj :

Banda lui Mobius
Aceasta banda a fost denumita astfel in cinstea matematicianului de origine germana Mobius care i-a studiat propietatile.
Banda lui Mobius este o panglica cu insusiri neobisnuite, pentru unii chiar magice.
Pe scurt:
Se ia o banda de hartie se rasuceste si se lipeste la capete.Ea are o singura fata !
Demonstratie: daca trasam o linie continua cu creionul (fara a-l ridica de pe banda de hirtie) el parcurge un singur sens ajungand in punctul de unde am plecat si ridicand creionul observam ca banda de hartie prezinta o linie continua pe... ambele fete!
Sticla lui Klein
În spaţiul tridimensional, corespondentul benzii lui Möbius este sticla lui Klein, obiect cu o singură faţă şi fără muchii.
Numarul de AUR
Dacă privim lucrările unor mari artişti, fie ei pictori, sculptori, arhitecţi sau fotografi, se observă că multe dintre ele au la bază regula de aur. Conform acesteia, "pentru ca un întreg împărţit în părţi inegale să pară frumos, trebuie să existe între partea mică şi cea mare acelaşi raport ca între partea mare şi întreg" (Marcus Pollio Vitruvius, arhitect roman).
Raportul de aur este un număr iraţional, 1,618033..., putând fi definit în diferite moduri, cel mai important concept matematic asociat cu regula de aur fiind şirul lui Fibonacci, un şir de numere în care fiecare se obţine din suma celor două dinaintea sa: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 etc. Împărţind orice număr la predecesorul său, se obţine aproximativ numărul de aur!
Acest numar sau mai bine zis acest raport intre intreg si o parte a sa a fost observat la plante,om ,galaxii, ...si chiar si in geometria plana si in spatiu in alcatuirea spiralelor etc...
Numarul π(3,14...)
(adesea scris PI) este o constantă matematică a cărei valoare este raportul dintre circumferinţa şi diametrul oricărui cerc într-un spaţiu euclidian.
El mai poate fi definit si ca un raport intre aria cercului si aria unui patrat inscris in cerc si avand latura raza cercului.
π este un număr iraţional, adică valoarea sa nu poate fi exprimată exact sub formă de fracţie m/n, cu m şi n întregi. De aceea, reprezentarea sa zecimală nu se termină şi nu începe să se repete. Numărul este şi trancendent, ceea ce înseamnă, printre altele, că nu există un şir finit de operaţii algebrice cu numere întregi (puteri, extrageri de radicali, sume etc.)
Intrebare :
Pot fi aceste aspecte ale matematicii si implicit ale numerologiei( fara a mai pune la socoteala si alte proprietati deosebite ale numerelor;numerele prime gemene,nr.prime trigemene,numerele perfecte,nr.perfect 6,nr.prietene,nr.triunghiulare,nr.153,patratele magice etc) Softul Universului?
P.S.
Nici nu stiu unde sa incadrez acest topic la Filozofie sau la Mistere in Matematematica Diverse
Il las pe Administrator sa decida!

Din punctul meu de vedere, există trei unităţi imaginare şi fiecare dintre ele reprezintă unul dintre cei trei versori reciproc perpendiculari ai spaţiului tridimensional.

Din toate polemicele pe care le-am imfruntat pina acum am ajuns la 2 concluzii:
1)sau eu sunt prea greu de cap....
2)sau voi (profesorii, si oricine altul ce a incercat sa spuna ca e prof in numerele complexe) nici o boaba nu intelegeti din ceea ce vorbiti. Caci, cel ce stie si intelege un lucru perfect de bine, la fel (cred) ca trebue sa poata usor sa-l explice(oricui).



Pe mine nu ma doare capul ca s-a notat cu i, ca s-a luat radical din minus unu, etc. pe mine ma intereseaza:
Cum ma convingeti ca nu e gresit a considera ca exista astfel de numere (complexe),inafara multimii R?

Abel, si ceilalti, fara suparare.
Pur si simplu asa, eu studiez (nu pur si simplu poezii), si cred ca ar trebui toti la fel sa fie, sau poate sunt greu de cap.

Subiectul dat are ca tema: "Mistere in matematica...", deci trebue mai departe sa postam misterele ei (nemarginite), si foarte bine ar fi sa mai postam si "secretul", din ce cauza sunt mistere, ca sa dispara aceste mistere (si sa vina altele...).

meteor a scris:Pe mine nu ma doare capul ca s-a notat cu i, ca s-a luat radical din minus unu, etc. pe mine ma intereseaza:
Cum ma convingeti ca nu e gresit a considera ca exista astfel de numere (complexe),inafara multimii R?

N-ar fi rău să ne convingi tu întâi de faptul că este greşit a considera că există numere complexe. Dar înainte de asta îţi recomand să te gândeşti dacă nu cumva prin acelaşi raţionament ar trebui să considerăm că sunt „greşite” şi numerele negative, sau numerele cu virgulă.

Ba dimpotrivă, trebuie să ţii seama de un aspect extrem de interesant: toate celelalte numere diferite de numerele complexe sunt „greşite” în sensul că pentru asemenea numere (deci pentru numerele diferite de numerele complexe) putem inventa ecuaţii polinomiale care să nu aibă ca rădăcini numere necomplexe.

De exemplu, dacă am presupune că există doar numere naturale, atunci, cum ecuaţia x+1=0 nu are soluţii printre numerele naturale, am fi obligaţi să inventăm altfel de numere (întregi) cu care să putem rezolva această ecuaţie. La fel, dacă am presupune că există doar numere reale, atunci ecuaţia x^2+1=0 nu are soluţii printre numerele reale, deci ne obligă să inventăm ceva în plus.

Toate aceste probleme dispar pentru numerele complexe, în sensul că, orice ecuaţie polinomială am putea inventa, ea are cu certitudine soluţii printre numerele complexe, deci nu suntem obligaţi să mai inventăm altfel de numere pentru a putea rezolva ecuaţii.

meteor a scris:

AMOT a scris:
Cat este ?Cat este ?

Ces cu intrebarile acestea(nu te inteleg), i-mi poti spune ce sens au?

Spune care este rezultaul integralei si cat este rezultatul derivatei......

Care este deosebirea dintre un numar irational care nu este transcendental si un numar irational care este transcendental???????

Sa se calculeze unde n este un numar natural diferit de zero.

AMOT a scris:

meteor a scris:

AMOT a scris:
Cat este ?Cat este ?

Ces cu intrebarile acestea(nu te inteleg), i-mi poti spune ce sens au?

Spune care este rezultaul integralei si cat este rezultatul derivatei......

La insiruiri (practic infinite....) de intrebari, nu voi mai raspunde.
Calculul integralei din x!, putem face ca calculul sumei: 2+2*3+...x!, ceea ce nu i-am gasit valoarea.
Calculul derivatei, putem lua limita ce caracteriz derivata unei functii (trebue de verificat inca daca ea e derivabila), iar dx va fi 1 (sper ca nu e gresit).

Daca nu am gresit, atunci:

AMOT a scris:
Cat este ?

La moment, aste atit:

meteor a scris:Daca nu am gresit, atunci:

Programul de calcul WolframAlpha ce rezultat da?

Abel Cavaşi a scris:

meteor a scris:Pe mine nu ma doare capul ca s-a notat cu i, ca s-a luat radical din minus unu, etc. pe mine ma intereseaza:
Cum ma convingeti ca nu e gresit a considera ca exista astfel de numere (complexe),inafara multimii R?

N-ar fi rău să ne convingi tu întâi de faptul că este greşit a considera că există numere complexe.

Eu nicidecum nu sustin ca e gresit a considera ca exista numere complexe (cu partea imaginara nenula) [daca nici nu le-am inteles, cum as putea sa sustin asa ceva?!], eu vreu sa aflu, cum pot sa le inteleg, cum sa ma conving ca nu e gresit privitor la existenta lor (macar teoretic, daca practic e cam dubios).

Abel Cavaşi a scris:
Dar înainte de asta îţi recomand să te gândeşti dacă nu cumva prin acelaşi raţionament ar trebui să considerăm că sunt „greşite” şi numerele negative, sau numerele cu virgulă.

Exemple de "numere" cu virgula: Un mar taeat exact in jumatate =0,5.
Exemple de "numere" negative: Eu imprumut de la un prieten 3 mere. Deci eu am -3 mere. Daca voi cumpara 5 mere, in total voi avea 2 mere (deoarece 3 le-am returnat).

Abel Cavaşi a scris:
Ba dimpotrivă, trebuie să ţii seama de un aspect extrem de interesant: toate celelalte numere diferite de numerele complexe sunt „greşite” în sensul că pentru asemenea numere (deci pentru numerele diferite de numerele complexe) putem inventa ecuaţii polinomiale care să nu aibă ca rădăcini numere necomplexe.

Aici ma voi mai gindi. Ce cind s-au descoperit numerele complexe s-a mers pe calea inversa ecuatii polinomiale=> numere complexe?!

Abel Cavaşi a scris:
De exemplu, dacă am presupune că există doar numere naturale, atunci, cum ecuaţia x+1=0 nu are soluţii printre numerele naturale, am fi obligaţi să inventăm altfel de numere (întregi) cu care să putem rezolva această ecuaţie. La fel, dacă am presupune că există doar numere reale, atunci ecuaţia x^2+1=0 nu are soluţii printre numerele reale, deci ne obligă să inventăm ceva în plus.

De ce?!
Din ce cauza e foarte neaparat sa fim obligati sa inventam altfel de numere (intregi) cu care sa putem rezolva aceasta ecuatie?! Inainte de a afirma aceasta, ai o baza/ o teorema sau alt ceva care spune ca asa trebue sa fie?!
Ca raspuns pot spune si eu ceva (neargumentat): Suntem obligati sa gasim altfel de numere (necomplexe), la care ecuatia x/(x-1)=0 sa aiba cel putin o solutie.

Abel Cavaşi a scris:
Toate aceste probleme dispar pentru numerele complexe, în sensul că, orice ecuaţie polinomială am putea inventa, ea are cu certitudine soluţii printre numerele complexe, deci nu suntem obligaţi să mai inventăm altfel de numere pentru a putea rezolva ecuaţii.

Ma voi mai gindi si la spusele acestea.
Se spune ca impartirea la zero (unii) se exprima ca: nu exista, (altii) se exprima ca: nu este definit. Nu exista si nu e definit sunt 2 lucruri foarte diferite.


Pina nu demult, credeam, ca, numai eu sunt asa de greu de cap, si nu pot sa pricep aceste numere. Pina cind, intimplator am intilnit o povestioara foarte foarte minunata:
"Este interesant, ca in matematica superioara exista o relatie cunoscuta, ce exprima o legatura stransa si neasteptata, totodata, intre numerele
p, e, 1, si 0 .
Este formula
e^(ip) + 1 = 0,
pe care a dedus-o Leonhard Euler. Ea, fiind o formula cu multe sensuri, merita atentia nu numai a matematicienilor, ci si a filozofilor si reprezentantilor stiintelor naturale.
Matematicianul american Benjamin Peirce, luand cunostinta pentru prima data de aceasta formula, in pofida faptului ca de la descoperirea ei trecusera mai mult de o suta de ani, a ramas foarte impresionat.
– Domnilor, – a spus el odata, adresandu-se studentilor, in momentul cand dedusesera relatia pe tabla, – eu sunt convins, ca formula scrisa este absolut paradoxala. Noi nu suntem in stare s-o intelegem, noi, insa, am demonstrat-o si de aceea consideram, ca ea este justa."
Pentru un asa profesor, eu i-as pune 10 din 10.

meteor a scris:

Abel Cavaşi a scris:
De exemplu, dacă am presupune că există doar numere naturale, atunci, cum ecuaţia x+1=0 nu are soluţii printre numerele naturale, am fi obligaţi să inventăm altfel de numere (întregi) cu care să putem rezolva această ecuaţie. La fel, dacă am presupune că există doar numere reale, atunci ecuaţia x^2+1=0 nu are soluţii printre numerele reale, deci ne obligă să inventăm ceva în plus.

De ce?!
Din ce cauza e foarte neaparat sa fim obligati sa inventam altfel de numere (intregi) cu care sa putem rezolva aceasta ecuatie?! Inainte de a afirma aceasta, ai o baza/ o teorema sau alt ceva care spune ca asa trebue sa fie?!

S-ar putea, sa fie asa. Si anume in ajutor ar putea sa-ti vina Teorema Fundamentala a Algebrei, care spune: Orice ecuatie algebrica cu coeficienti mai mari sau egali cu 1, are cel putin o radacina complexa"
Daca, noi nu am sti de existenta a unor numere extrareale, atunci in acest caz (din teorema) rezulta ca suntem obligati sa le definim. Inclusiv pentr exemplu in cazul cu ecuatia : x^2+1=0.
Aici insa, s-ar putea sa fie o eroare, deoarece demonstratia (deducerea) TFA deja aplica larg numerele complexe, insa in acest context, se discuta alta problema.

meteor a scris:Eu nicidecum nu sustin ca e gresit a considera ca exista numere complexe (cu partea imaginara nenula) [daca nici nu le-am inteles, cum as putea sa sustin asa ceva?!], eu vreu sa aflu, cum pot sa le inteleg, cum sa ma conving ca nu e gresit privitor la existenta lor (macar teoretic, daca practic e cam dubios).

Am scris pe blogul meu un articol în care explicam mai pe larg cum văd eu numerele complexe. Dacă numerele reale pot fi considerate puncte ale unei drepte, atunci numerele imaginare pot fi considerate puncte din afara unei drepte. Mai precis, partea imaginară ne poate arăta cât de departe suntem de o anumită dreaptă.

Aici ma voi mai gindi. Ce cind s-au descoperit numerele complexe s-a mers pe calea inversa ecuatii polinomiale=> numere complexe?!

Numerele complexe au apărut ca o necesitate, nu ca un lux. O istorioară găseşti pe net. Apoi s-a dovedit că numerele complexe sunt calitativ diferite de numerele reale, în sensul că ele constituie un „corp algebric închis”.

De ce?!
Din ce cauza e foarte neaparat sa fim obligati sa inventam altfel de numere

Obligaţiile sunt condiţionate. Dacă vrem ceva, atunci suntem obligaţi să realizăm altceva. Dacă vrem să rezolvăm anumite ecuaţii, atunci suntem obligaţi să luăm în considerare şi numerele complexe. Mai mult, cum am spus mai sus, numerele complexe au ceva calitativ diferit faţă de oricare mulţime de numere dinaintea lor, prin aceea că ele constituie un corp algebric închis, proprietate pe care numerele raţionale sau reale nu o posedă.

Mai in scurt, ceva i-mi pare ca nu e corect reprezentarea imaginativa a numerelor complexe in planul complex (deoarece la constructia lui, apelam tot la numere reale), ma mai gindesc.

Mersi de linkul cu cauza necesitatii definiirii, existentei (sunt 2 lucruri diferite), e o buna idee de studiu pentru a intelege mai bine aceste numere.

*Ceva mi se pare, ca , foarte putini i-si pot imagina clar aceste numere, de ce oare Euler (primul care a si inceput studiul larg asupra lor), le-a numit i m a g i n a r e.

După cum văd pe Wikipedia, Descartes este cel care le-a numit imaginare. Poate că Euler, care le-ar fi înţeles mai bine, le-ar fi denumit altfel.

Exemple de "numere" cu virgula: Un mar taeat exact in jumatate =0,5.
Exemple de "numere" negative: Eu imprumut de la un prieten 3 mere. Deci eu am -3 mere. Daca voi cumpara 5 mere, in total voi avea 2 mere (deoarece 3 le-am returnat).

Ma bag putin in vorba, cred ca numerele fractionare apartin lumii macro, acolo unde un lucru poate fi taiat in doua sau mai multe, pentru ca in lumea microparticulelor, unitatea cea mai mica este ""h"" constanta lui Planck, care nu se mai poate diviza. Microparticulele fiind doar niste entitati care ori sunt intregi, ori nu sunt de loc. De aceia matematica noastra nu este aplicabila intocmai in lumea microparticulelor. Noi daca adunam intr-un cos doua mere cu inca trei mere totdeauna rezultatul va fi de cinci mere, pe cand in microcosmos daca adaugam doi protoni de mica energie cu trei protoni de mare energie, rezultatul nu va fi niciodata de cinci protoni, ci va fi de nu stiu cati protoni, neutroni, pozitroni, neutrino, si cateva cuante de energie. Iata ca in lumea micro, algebra nu se mai aplica ca la scoala, aici numerele sunt entitati definite de un manunchi de parametri a caror insumare nu se face dupa regulile algebrice.

virgil a scris:
Ma bag putin in vorba, cred ca numerele fractionare apartin lumii macro, acolo unde un lucru poate fi taiat in doua sau mai multe, pentru ca in lumea microparticulelor, unitatea cea mai mica este ""h"" constanta lui Planck, care nu se mai poate diviza.

Cum am mai menteonat de citeva mii de ori, o teorema, teorie, lege, etc. este valabila doar pe un anumit domeniu de valori, depasind acest domeniu, calculele aplicatiile si concluziile devin absurde.
Privitor la micro/macro/si toata fizica voastra eu stau rau in pluta.
Stiu cert (idee nu am, si nici nu ma intereseaza cum s-a determinat zidurile lui Planck) ca si in fizica (atit, mai mult nu, deoarece toate stiintele sunt formate din 2 stiinte [strins legate una cu alta] matematica si fizica) exista astfel de domenii, in care aplicarea unor legi din alte domenii este non sens.
Iata ce a raspuns Electron de pe scientia la o dezbatere foarte asemanatoare, am "furat" textul si citez discutia:
"_ [in mecanica cuantica,
1 particula "+" 1 particula = nu mai fac 2 particule, ci [...] ]
_ Deja ai iesit din cadrul relevant (pentru "1+1=2"). Pleci de la premisa gresita ca in mecanica cuantica acel "+" inseamna acelasi lucru (sau macar ceva analog) cu semnul din matematica (aritmetica). Inclusiv faptul ca ai folosit ghilimele este un indiciu ca asocierea intre concepte e fortata, sau riguros vorbind, gresita. O data ce faci confuzia asta, poti bate campii cu gratie cat doresti, ca relevanta e pierduta din start.
_[Sigur, ca matematic vorbind nu este nimic in neregula cu operatorii utilizati,]
_Ba tocmai ca matematic vorbind este o problema. Conceptul matematic de "+" nu se poate aplica asa orbeste oriunde. Daca il acceptam intuitiv (desi fortat) in cazul bilelor de biliard, in mecanica cuantica deja e complet inacceptabil. A aplica o teorie (sau concept) in afara domeniului sau de definitie, e una din cele mai recurente erori care rezulta din ignoranta modului de functionare al stiintei. "

virgil a scris:
Microparticulele fiind doar niste entitati care ori sunt intregi, ori nu sunt de loc. De aceia matematica noastra nu este aplicabila intocmai in lumea microparticulelor. Noi daca adunam intr-un cos doua mere cu inca trei mere totdeauna rezultatul va fi de cinci mere, pe cand in microcosmos daca adaugam doi protoni de mica energie cu trei protoni de mare energie, rezultatul nu va fi niciodata de cinci protoni, ci va fi de nu stiu cati protoni, neutroni, pozitroni, neutrino, si cateva cuante de energie. Iata ca in lumea micro, algebra nu se mai aplica ca la scoala, aici numerele sunt entitati definite de un manunchi de parametri a caror insumare nu se face dupa regulile algebrice.

Nu stiu cum sa-ti comentez, eu stau f rau cu fizica, mai ales cu cea moleculara si cuantica (si ce o mai fi inca).
"Poate", se poate de incercat ceva a gasi relevant in acest sens cu nenea infinitul si nenea zero (si aici am putea sa sarim hotis gardurile).
Un "exemplu"(nu stiu cit de relevant ar mai fi, caci nici de notiunea de infinit multe nu stiu):
infinit+infinit=infinit.
Problema e ca acest "infinit", nu pare sa fie ca ceva constant, deaceea poateca si apar astfel de "paradoxuri".

Dupa cum am mentionat;

Iata ca in lumea micro, algebra nu se mai aplica ca la scoala, aici numerele sunt entitati definite de un manunchi de parametri a caror insumare nu se face dupa regulile algebrice.

, mesajul meu s-a referit doar la domeniul de aplicare al regulilor algebrice.
Cat priveste notiunea de infinit, aceasta reprezinta doar o limitare a posibilitatilor noastre de cunoastere, care nu modifica cu nimic rezultatele unui rationament. Ori ca este vorba de infinit sau de o dubla infinitate, sau infinit la puterea infinit, rezultatul este oricum imposibil de verificat, si nu modifica rationamentul prin care s-a ajuns la acest rezultat, pentru ca nu exista o legatura de feedback intre rationament si realitate.

[quote="virgil"]Dupa cum am mentionat;

Iata ca in lumea micro, algebra nu se mai aplica ca la scoala, aici numerele sunt entitati definite de un manunchi de parametri a caror insumare nu se face dupa regulile algebrice., mesajul meu s-a referit doar la domeniul de aplicare al regulilor algebrice.

Bine, eu nu am fost atent.

virgil a scris:
Cat priveste notiunea de infinit, aceasta reprezinta doar o limitare a posibilitatilor noastre de cunoastere, care nu modifica cu nimic rezultatele unui rationament. Ori ca este vorba de infinit sau de o dubla infinitate, sau infinit la puterea infinit, rezultatul este oricum imposibil de verificat, si nu modifica rationamentul prin care s-a ajuns la acest rezultat, pentru ca nu exista o legatura de feedback intre rationament si realitate.

Posibil.
La fel(posibil mai sunt inca ciudatenii) e situatia si cu numarul special la general (si in particular, pentru operatia adunare), ca: 0+0=0.

Este asa o teorie - teoria grupului. Acolo sunt citeva axiome ce mi se par foarte interesante(importante), una din care este:
Axioma elementului neutru:
Există un element e în G, astfel încât e o x= x o e =x , oricare ar fi x din G.

Pentru adunare, acest element este 0.
[ultimele mesaje se indeparteaza de temasubiect]