Punctul, dreapta si planul

Scuze, n-am fost suficient de atent. Am uitat că l-ai legat pe x de a. Ok, atunci facem doar b=c=0 şi pe a=2 şi aşa se repară totul. Acum înţelegi ce am vrut de fapt să scot în evidenţă?

Dacă a=2 atunci x=2 şi y=4; hopa, nu iese un pătrat, iese dreptunghi! Atunci înseamnă că n-am gândit eu bine ecuaţiile. Să încerc altfel:
dacă avem x=măs Oa, atunci x² + b determină o arie şi x³ + c determină un volum. Unde a, b, c sunt valori numerice, iar în cazul particular când b=c=0 vom obţine un pătrat, respectiv un cub.
Ei bine, cum aş putea lega între ele relaţiile astea?

Problema nu este legarea lor, ci interpretarea lor. Ca să le putem lega într-un fel, trebuie să ştim de ce trebuie legate în acel fel. Eu tot încerc să înţeleg ce doreşti şi nu reuşesc. Nu înţeleg, de exemplu, ce te determină pe tine să cauţi o „trecere” de la lungime la arie sau la volum. De ce nu te mulţumeşti cu simpla lor existenţă separată?

Razvan a scris:o formulă matematică ce ne poate spune câte segmente egale ca valoare cu a este necesar să "suprapunem" peste acel segment, toate în acelaşi plan, pentru a putea determina apariţia unui semiplan

Păi la asta ţi-am răspuns de mai multe ori: o infinitate. Nu ştiu de ce nu te mulţumeşte asta. Nu poţi face din infinit altceva, oricât te-ai strădui.

Razvan,
eu iti propun o solutie.
In primul rand nu stiu sa folosesc La tex,pentru afisarea simbolurilor matematice,si o sa-ti explic in cuvinte iar tu incearca sa le rescrii cum trebuie.
Unde nu intelegi ce vreau sa-ti spun exact,o sa-ti explic.
In primul rand, totul trebuie sa plece de la PUNCT.
Cum exprimam matematic punctul,in conditiile in care el este adimensional si chiar daca ar avea vreo dimensiune el poate fi totusi divizat la infinit?
Eu propun folosirea simbolului pentru suma, E-ul din suma Gauss.
Am putea, conventional, sa interpretam punctul ca fiind:
suma dupa n de la 1 la infinit.
O sa folosesc cifra 8 pentru simbolul infinitului,iar exprimarea matematica a punctului sa o consideram,conventional,in felul urmator:

Nu trebuie sa analizezi punctele.Le-am folosit doar pentru a departa de prima coloana.
Bun.
Acum,ne-ar trebui si un simbol de dimensiune.
Pentru ca daca vrem sa facem trecerea doar de la punct la dreapta(segment),la suprafata(arie) sau volum, folosim simbolul la puterea dimensiunii.
Spre exemplu, daca vrem sa facem trecerea de la punct la dreapta infinita, la un plan sau la volum,folosim un simbol oarecare,eu aleg litera D de la dimensiune, ridicam D la puterea dimensiunii.
Daca totusi punctul este adimensional,am putea formula:

Trecerea de la punct la dreapta infinta,eu as interpreta-o matematic asa:

Din nou,punctele nu reprezinta nimic,rolul lor este doar de a departa 8 si n de margina.
Daca vrem sa facem trecerea de la punct la un segment de care sa contina un numar de k puncte(finit),l-as interpreta asa:

Daca vrem sa facem trecerea la un plan infint,nu utilizezi k si ridici D-ul la patrat.
Patratul geometric l-am putea obtine adaugand o valoare k a laturii:

Pentru dreptunghi,folosesti k,k' etc.
Pentru volumul infinit,spatiul propriu-zis, ridici D-ul la cub:

Daca vrem sa interpretam tridimensional cilindrul de raza r si inaltime h,spre exemplu,introducem pi-ul:

Si tot asa.
Daca totusi cautam simplitatea.
Ar fi doar o parere pentru solutia intrebarii tale.
Bineintels,interpretat tridimensional,o alta geometrie,introducem functii.
dar problema s-ar complica si ar cere o analiza mult mai ampla,iar eu am alte prioritati de analiza matematica pentru moment.
Daca propunerea mea este gresita,sper macar sa-ti fi dat vreo idee diferita prin care ai putea sa interpretezi dimensiunile geometrice.

Ei, da! Cam la o astfel de soluţie mă refeream. Mulţumesc, o voi analiza cu atenţie.

Răzvan, pentru liniştea mea sufletească, îmi spui şi mie dacă eşti sau nu de acord cu faptul că un plan (o dreaptă) conţine o infinitate de drepte (puncte)?

Mulţumesc pentru răspuns. Acum încearcă să-mi dai un răspuns categoric, adică fără niciun „dacă”. Conţine dreapta o infinitate de puncte sau nu?

Ok, acum am înţeles. Deci o dreaptă (un segment) conţine o infinitate de puncte. Mersi. Acuma sunt curios şi eu prin ce „operaţii matematice” puteţi voi obţine dintr-un punct o dreaptă. Chiar e interesant.

prin ce „operaţii matematice” puteţi voi obţine dintr-un punct o dreaptă

Chiar asta caut şi eu să aflu! Cum se poate face asta!

Intrebarile voastre incep sa ma preocupe ceva mai mult.
Eu propun sa ne gandim si sa incercam sa dezvoltam in acest sens, un concept nou de functie,
o functie dimensionala.
Si sa ne ocupam mai intai de geometria euclidiana.
Oare cum ar trebui sa fie o astfel de
functie dimensionala?
Nu-mi este suficienta imaginatia proprie acum si va astept parerile voastre pentru noi idei.
Oricum,o astfel de functie trebuie sa fie total diferita de ceea ce inseamna o functie clasica.
Multumesc Razvan, pentru transformarea hieroglifelor mele in ecuatii normale.

Multumesc Razvan, pentru transformarea hieroglifelor mele in ecuatii normale.

Cu plăcere! Sper să nu fi greşit pe undeva.

Se pare, Razvan, ca este mai complicat decat pare la prima vedere.
A pune bazele unui astfel de concept ce implica definirea unei functii dimensionale,este pe undeva, echivalentul unei expresii matematice a genezei universale.
ECUATIA CREATIEI.
Pentru ca principiul este cam acelasi, trecerea de la NIMIC la CEVA (de la 0 la infinit;de la punct la dreapta etc).
Imi dau seama ca de fapt,asta caut sa inteleg in numere.
Se pare ca geometria (geometria infinitului, daca vrei) este la fel de importanta ca valorile (numerele).
Poate ca de fapt reprezinta un acelasi lucru interpretat diferit.
Cred ca o sa aprofundez mult mai mult subiectul.
ECUATIA CREATIEI...ECUATIA FUNDAMENTALA(drum lung si greu,dar merita incercat).

Cantor a demonstrat că mulţimea OX nu poate fi

Razvan a scris:o mulţime ordonată de forma

pentru că OX nu este o mulţime numărabilă, ci este nenumărabilă. Deci trebuie să cauţi altceva.

Atunci ar fi bine să nu folosim noţiunea de mulţime ci noţiunea de şir? Vino şi tu cu o idee, ceva!

Ideea mea a fost cu zero ori infinit, dar se pare că n-aţi agreat-o. Altceva nu există din câte ştiu eu, de aceea sunt curios să văd dacă voi veţi găsi totuşi altceva.

Încercaţi, eventual, ceva cu faptul că mulţimea părţilor unei mulţimi numărabile este deja nenumărabilă.

Ideea mea a fost cu zero ori infinit...

Şi cum ai aplica-o tu în cazul de faţă?

Aş spune simplu că dreapta este o infinitate de puncte, planul este o infinitate de drepte, etcetera. Mai mult nu ştiu ce se poate face. Să nu uităm că geometria se bazează pe nişte axiome care nu pot fi demonstrate şi al căror număr nu a putut fi redus. Ceea ce încerci tu aici, se pare, ar fi tocmai reducerea numărului de axiome ale geometriei.

Aş spune simplu că dreapta este o infinitate de puncte, planul este o infinitate de drepte, etcetera. Mai mult nu ştiu ce se poate face.

În acest caz nu ai face decât să citezi definiţiile acestora. Nu aduci nici un răspuns cu privire la transcederea lor dintr-una într-alta.

Iar chestia aia cu Cantor, nu cumva se referă la intervale?

Ai dreptate, Răzvan, n-aş aduce prea multe amintind că dreapta este o infinitate de puncte. Iar chestia cu Cantor se referă la echipotenţa oricăror mulţimi, nu doar a intervalelor.

O valoare este mai mare sau mai mica, raportata la gradul nostru de perceptie.
Pentru ca oricat am diviza un punct,micsorandu-ne propoartional nivelul de perceptie,vom fi intotdeauna intr-un spatiu tridimensional.
Daca divizam de un numar imens de ori punctul, oricat de mica este aceea dimensiune, in acel spatiu este aplicabila geometria euclidiana.
Abel are dreptate.
Nu cred ca se poate formula vreo operatie matematica prin care sa se treaca de la punct la dreapta.
Ea exista si atat.
Daca exista punctul exista dreapta, exista plan, exista volum.
Eventual, daca s-ar formula vreo ecuatie, aceasta nu ar putea decat "localiza" dreapta sau planul dintr-un anumit volum.
Dintr-un anumit spatiu sau dintr-un anumit infinit.
Dar este interesant faptul ca un anumit infint este format de fapt, dintr-un infint de infinituri.
Iar atat punctul cat si dreapta si planul, trebuiesc analizate, localizate, intr-o anumita clasa de infinituri.
Pentru ca dreapta este in acelasi timp, ca si punctul de altfel, un volum, un spatiu tridimensional,daca ne raportam la o clasa de infinituri inferioare."Mai mici", sa le spunem.
Geometria euclidiana trebuie analizata doar la gradul, nivelul de infinit perceptibil de simturile noastre si nu de imaginatia noastra.
Orice nivel de infinit, in tot ansamblul sau, este un punct.
Acum, o infinitate de asemenea puncte, de infinituri, dispuse euclidian in linie dreapta, pot forma in felul acesta o dreapta.
Parerea mea, cel putin momentana, este ca nu putem interpreta geometria euclidiana altfel.
Am putea totusi sa incercam sa formulam vreo ecuatie de "localizare" a unui asemenea punct(infinit) dintr-un alt infint de nivel imediat superior, a unei drepte formate de acelasi nivel de puncte(infinituri) dintr-un nivel de infinit imediat superior(care este format dintr-o clasa de elemente de ordin superior, mai mari) etc.
Lucrerz acum la asta, dar as dori sa cunosc parerile voastre sa imi formez o parere si sa stiu daca sa continui sau nu.

Cred că ar putea fi încercată o generalizare înlocuind noţiunile de punct, dreaptă, plan, spaţiu, etcetera, cu noţiunea de curbă. De când am obţinut rezultatul teoremei de recurenţă, cred că această noţiune are posibilităţi deosebite. Consider că, prin caracterul ei fractal, curba poate îngloba toate noţiunile dimensionale. Dealtfel, cred că planul şi spaţiul sunt doar abstracţii ce modelează o mulţime de curbe. Aşa cum curba lui Sierpiński poate umple un domeniu, aşa poate orice curbă, dacă torsiunea şi curbura ei sunt suficient de variabile. Teorema de recurenţă arată că o curbă se desfăşoară în jurul unei drepte fixe şi că este însoţită de un vector care depinde de radicalul unei sume de pătrate. Acest radical ne arată că vectorul poate reprezenta dimensiuni diferite, în funcţie de numărul termenilor care apar la pătrat sub radical, iar acest număr depinde de felul de variaţie a curbei. Dacă aş avea timp, aş continua pe această direcţie...

Îmi pare foarte bună ideea, mai ales că o dreaptă este până la urmă un caz particular al unei curbe!

Răzvan, mă bucur că-ţi place ideea! Rămâne atunci să aprofundaţi un pic ceea ce spune teorema de recurenţă. Nu veţi regreta.