Mișcarea în câmp central

Incep prin a va ruga sa ma scuzati pentru faptul ca nu voi folosi diacritice in aceste mesaje, dar e posibil sa am ceva formule de scris in TEX (evident, le voi si explica amanuntit) si imi va usura destul de mult munca aceasta scriere mai barbara.

Obiectivul este sa lamurim fizica din spatele interactiei a doua corpuri, cand forta care actioneaza asupra lor depinde numai de distanta dintre ele, desi cateva rezultate se pot aplica si pentru forte mai generale, dupa care in masura posibilului, sa explicitam teoria pentru cazul particular al gravitatiei asa cum a fost descrisa de Isaac Newton. Va fi o discutie nerelativista, deoarece pentru sisteme gravitationale precum Pamant-Luna corectiile aduse de Einstein sunt insignifiante (cel putin dupa cunoasterea mea). Natura este in mod cert mai complexa decat o vor arata aceste calcule, Pamantul si Luna nu sunt puncte materiale si discutia se poate extinde spre studiul deformarilor celor doua corpuri in urma interactiei, spre influenta interactiei asupra miscarii de rotatie a Pamantului in jurul propriei sale axe sau spre consecintele climatice pe care le are prezenta Lunii asupra Pamantului si asa mai departe.

Pe parcurs, vom avea nevoie de diverse formule si metode de calcul, dar cum e putin probabil ca toti cei prezenti aici sa aiba vreo afinitate sau placere deosebita pentru calculul teoretic, voi incerca sa mentin totul in termeni cat se poate de simpli si sa reduc calculul la minim, pentru a face discutia accesibila tuturor.

Cred ca ar fi bine sa inchei aici mesajul introductiv si sa atac direct problema intr-un nou mesaj. Orice fel de intrebari, interventii si sugestii sunt binevenite, caci scopul final este sa invatam unii de la altii.

CUPRINS:

I. Precizari cu caracter general
II.Reducerea problemei celor doua corpuri la problema unei particule fictive in interactie cu un potential
III.Conservarea momentului cinetic
IV.Conservarea energiei
V.Clasificarea orbitelor
VI.Teorema de virial
VII.Ecuatia orbitei
VIII.Teorema lui Bertrand
IX.Problema lui Kepler. Orbitele intr-un camp gravitational
X.Orbitele eliptice. Rezultate analitice

Discutia trebuie inceputa cu o serie de precizari cu caracter general.

Scopul nostru final in mecanica este sa gasim legea de miscare, anume sa gasim evolutia pozitiei unui corp in timp. Fiecare particula este descrisa prin 3 coordonate (sau grade de libertate), corespunzatoare celor 3 axe independente x,y si z (desi putem alege si alte sisteme de coordonate, in functie de specificul problemei tratate, vom vedea la momentul oportun) deci pentru un sistem de N particule avem 3N grade de libertate pentru care trebuie sa gasim legea de miscare. De multe ori se intampla insa ca miscarea particulelor sa fie supusa unor "constrangeri", sau "legaturi". Spre exemplu, in cazul unui solid rigid distantele dintre particule trebuie sa ramana fixe. In cazul unui abac, bilele se pot misca doar de-a lungul firelor. Este important astfel sa facem distinctia intre fortele aplicate asupra sistemului si fortele de legatura, care ii constrang miscarea. Pe scurt, implicatia prezentei acestor legaturi intr-un sistem consta in restrangerea numarului de grade de libertate al sistemului. Ca un exemplu concret, o particula in camp gravitational uniform are 3 grade de libertate (pentru ca in functie de conditiile initiale date, miscarea nu este neaparat verticala) si pentru a-i descrie pozitia la un moment de timp trebuie sa spunem care sunt valorile pentru coordonatele x,y si z, dar daca particula este constransa intr-un fel sau altul sa se miste doar pe suprafata unei sfere, tot in camp gravitational uniform, ea mai are doar 2 grade de libertate, deoarece distanta fata de centrul sferei ramane fixa si nu trebuie sa spunem decat care sunt valorile unghiului polar si azimutal pentru a-i determina pozitia.

In imaginea urmatoare, tijele care mentin distanta dintre bile fixe exercita fortele de legatura, iar gravitatia este forta aplicata. A se remarca totodata faptul ca avem doua particule, deci ne-am astepta sa avem 6 grade de libertate, dar daca tijele constrang miscarea intr-un singur plan pentru amandoua, ramanem cu doar 2 grade de libertate, descrise in imagine (pentru ca avem 4 ecuatii de legatura, anume ecuatiile care fixeaza planul pentru fiecare particula, ecuatia care fixeaza distanta primei particule de punctul fix al tijei si ecuatia care fixeaza pozitia celei de-a doua particule fata de prima):



S-a demonstrat ca pentru sistemele mecanice pentru care toate fortele aplicate (deci nu cele de legatura) sunt derivabile dintr-o functie numita potential scalar generalizat, ce are ca variabile pozitiile si vitezele particulelor si eventual timpul, dinamica poate fi descrisa dintr-un principiu diferit de legile lui Newton, anume de asa numitul principiu al lui Hamilton, rezultatele celor doua abordari fiind aceleasi. Castigul prin aceasta abordare tine odata de simplificarea tratarii formale a problemei (ajungem imediat acolo) si apoi de faptul ca poate fi extinsa si la probleme care nu sunt de natura mecanica (nu ne vom ocupa de acest aspect).

Acest principiu ne ajuta in mod concret garantand ca toata fizica sistemului este continuta intr-o functie simpla numita Lagrangian, care are urmatoarea expresie generala:

, unde T este energia cinetica a sistemului iar V este potentialul scalar antementionat, ambele fiind in general functii de coordonatele si vitezele particulelor si putand avea si o dependenta explicita de timp (desi pentru problema noastra, situatia va fi mult simplificata).

Cam asta ar fi minimul necesar pentru a putea aborda problema, mi-a luat ceva mai mult timp decat ma asteptam redactarea mesajului, dar sper sa merite. Cand revin, voi continua, folosind uneltele descrise aici, sa tratez problema celor doua corpuri, ecuatiile lor de miscare, legile de conservare, clasificarea orbitelor si intr-un final voi explicita totul pentru campul gravitational Newtonian. In principiu, de aici incolo ne e suficienta matematica de liceu. Sper ca nu a fost prea complicat, astept orice fel de intrebari sau nelamuriri. Nu am intrat adanc in detaliile acestor notiuni pentru ca nu avem nevoie de ele, ar trebui sa fie suficient cat am vorbit aici.

Astazi vom reduce problema celor doua corpuri la o problema echivalenta, dar mai simpla din punct de vedere matematic, a unui singur corp aflat intr-un camp central.

Sa presupunem ca intr-un sistem de referinta inertial S, avem doua puncte materiale de mase [
{m_{1}} respectiv {m_{2}}, avand razele vectoare , respectiv :



Cele doua puncte materiale satisfac conditiile mesajului anterior, anume se afla numai sub actiunea unei forte ce depinde doar de distanta dintre ele, adica potentialul scalar U este o functie numai de distanta relativa dintre cele doua puncte:

, unde .

In mecanica clasica, pentru orice sistem de puncte materiale putem defini un centru de masa, ca fiind vectorul obtinut prin medierea ponderata a razelor vectoare corespunzatoare fiecarei particule in parte, ponderea fiind in fiecare caz masa respectivei particule (a se remarca faptul ca in mecanica clasica, o particula sau un punct material sunt doua notiuni echivalente).
In cazul nostru simplu, centrul de masa devine:



In situatia de fata centrul de masa se va situa de-a lungul dreptei ce uneste cele doua puncte. Cazuri particulare interesante ar fi urmatoarele: odata , situatie in care centrul de masa se afla la jumatatea distantei dintre cele doua puncte, sau cazul in care una dintre mase este mult mai mare decat cealalta, sa zicem , situatie in care puteti verifica foarte usor ca centrul de masa se gaseste chiar in . De aceea cand intrebi un om normal cine in jurul cui se invarte in cazul sistemului Pamant-Soare, acesta este tentat sa spuna ca Pamantul se roteste in jurul Soarelui. Raspunsul nu este intru totul gresit dar nici intru totul corect, caci si Soarele este antrenat la randul sau in miscare datorita Pamantului, dar masa planetei noastre fiind infima in comparatie cu masa Soarelui, miscarea celui din urma datorita interactiei (in cazul de fata gravitationala) este mult mai mica.

Pentru primul caz, cu masele egale, situatia in camp gravitational (in conditii pe care le vom discuta mai tarziu)va fi aceasta:



In cel de-al doilea caz, am avea insa:



Miscarea pe care o vizualizati in aceste imagini o vom regasi si noi intr-un final, in urma acestui studiu riguros.

Sistemul nostru are 6 grade de libertate (deoarece este constituit din 2 particule, fiecare avand 3 grade de libertate) si cel mai convenabil fel de a-l descrie este folosindu-ne de centrul de masa si distanta relativa dintre particule, anume de vectorii si .In acest context, putem scrie Lagrangianul:

, unde am notat derivata in raport cu timpul in traditia lui Newton, cu un punct deasupra vectorilor. Ce spune aceasta expresie este ca energia cinetica depinde de viteza cu care se misca centrul de masa si de viteza cu care variaza distanta relativa dintre particule, iar ca energia potentiala (sau potentialul scalar) depinde, asa cum am mentionat deja, doar de distanta relativa dintre particule.

O teorema a mecanicii clasice spune ca pentru un sistem de particule energia cinetica se separa in doi termeni, unul ce tine de energia cinetica a centrului de masa si altul datorat miscarii particulelor relativ la centrul de masa, anume:

, unde suma dintre ultimii doi termeni poate fi desemnata prin simbolul .

Vectorii notati cu prim sunt vitezele cu care variaza vectorii de pozitie ai particulelor relativ la pozitia centrului de masa. Vectorii de pozitie propriu-zisi au expresiile:





Cu aceste rezultate gasim usor ca (derivata in raport cu timpul afecteaza numai componentele vectorilor, nu si masele particulelor):



Cu asta, Lagrangianul devine:



A se remarca faptul ca in formula de mai sus nu apar explicit coordonatele centrului de masa ci doar vitezele cu care acestea variaza. In general, cand intr-un Lagrangian apare explicit doar viteza asociata unei coordonate si nu coordonata propriu-zisa, acea coordonata se numeste coordonata ciclica si variatia ei in timp este rectilinie si uniforma. Cu alte cuvinte, in sistemul S, centrul de masa al celor doua particule fie este in repaus fie se deplaseaza cu viteza constanta in linie dreapta. In aceste conditii fizica sistemului este aceeasi daca il analizam direct din sistemul centrului de masa, ceea ce este echivalent cu a trece in sistemul de referinta ce are originea , unde Lagrangianul este:



Ce am obtinut intr-un final? Lagrangianul de mai sus descrie interactia unei singure particule, aflata la distanta de un centru de forta, masa ei fiind . Am reusit astfel sa simplificam foarte mult problema din punct de vedere formal, lucru ce se va vedea in mesajele urmatoare, cand vom analiza consecintele legilor de conservare asupra miscarii, clasificarea orbitelor si miscarea in camp gravitational.

Sper ca a fost un mesaj clar, coerent si simplu. Pentru absolut orice intrebari puteti scrie aici sau trimite un mesaj privat. Recomandarea mea ar fi sa luati o hartie si un creion si sa faci singuri calculele foarte simple prezentate aici, ca sa fiti siguri ca ati inteles rationamentul. Puteti verifica acele cazuri particulare privitoare la pozitia centrului de masa, puteti calcula coordonatele particulelor in sistemul centrului de masa si gasi forma Lagrangianului in acest sistem. Daca nu reusiti, nu ezitati sa ma contactati, caci singurul lucru important aici este sa reusim sa comunicam idei, sa intelegem si sa discutam.

Cunoscatorii de Geometrodinamica Elicoidala gasesc aceste lucruri in lucrarea FUNDAMENTUL UNIVERSULUI, paginile 88 si 89.
Orice dezvoltare matematica, plecand de aici, este binevenita!

http://www.thefundamentaluniverse.ro/files/downloads/FUNDAMENTUL_____UNIVERSULUI.pdf

Efortul tău are o valoare incomensurabilă! Îţi mulţumesc pentru nivelul ridicat la care aduci acest forum! Voi urmări cu atenţie ceea ce spui aici şi voi încerca să văd unde pot interveni pentru a aduce în discuţie impulsul volumic, noţiune despre care cred că are o mare importanţă în Fizică.


[Este urmat de topicul „Impulsul volumic al unui corp”]

Acum ca problema a fost definita riguros din punct de vedere formal, ii putem cauta solutia generala si invariantii, anume acele cantitati asociate miscarii ce se conserva in timp. Retineti, cel mai important rezultat obtinut pana acum este cel legat de reducerea problemei a doua corpuri aflate in interactie mutuala la problema unei singure particule ce se deplaseaza intr-un camp de forte. Astazi vom studia momentul cinetic.

Din moment ce potentialul din care forta este derivata depinde numai de distanta dintre particula si originea campului, problema are simetrie sferica. Solutia nu se schimba oricat am roti sistemul, in jurul oricarei axe. In acest context este util de precizat un rezultat general al mecanicii clasice, care ne va fi foarte util in cautarea invariantilor. Atunci cand sistemul nu este afectat de o variatie a unei coordonate, impulsul generalizat asociat acelei coordonate se conserva. Spre exemplul, in cazul unei invariante la translatii pe o directie data, componenta impulsului liniar paralela cu acea directie este constanta in timp. In acelasi fel, in cazul unei invariante la rotatii in jurul unei axe, componenta momentului cinetic paralela cu respectiva axa de rotatie este constanta in timp. In cazul in care vorbim de simetrie sferica, rezulta imediat ca toate cele trei componente ale momentul cinetic , se conserva, deci momentul cinetic are o directie fixa in spatiu (este important sa remarcati caracterul relativ al acestei afirmatii; directia este fixa fata de sistemul de referinta din care facem observatiile, dar cele doua unghiuri care caracterizeaza o directie intr-un sistem de coordonate pot varia de la un sistem la altul, in functie de orientarea acestuia). De aici, rezulta ca vectorul de pozitie al particulei, , se afla mereu in planul a carei normala este paralela cu . Va puteti pune urmatoarea intrebare: ce se intampla daca ? In acest caz, traiectoria descrisa de particula ar fi o linie dreapta ce trece prin centrul de forta, deoarece, din definitia momentului cinetic, vedem ca acesta se anuleaza in general (exceptand situatia in care vectorul de pozitie sau impulsul sunt nuli) doar in situatia in care cei doi vectori sunt paraleli, lucru ce se intampla doar in miscarea rectilinie. Demonstratia acestei afirmatii este foarte simpla:

, pentru ca derivata, fiind un operator liniar, actioneaza mai intai asupra modului vectorului si apoi asupra versorului. Din geometria diferentiala stim ca , unde este unghiul polar din planul in care are loc miscarea (intr-un plan dat putem fixa mai multe sisteme de coordonate; putem lucra in coordonate carteziene dar in cazul de fata sunt mai utile coordonatele polare, date de raza vectoare si unghiul polar) si inlocuind acest rezultat in prima expresie, gasim ca (adica cei doi vectori sunt paraleli) doar daca , deci doar daca traiectoria nu se curbeaza, deoarece produsul vectorial dintre versorul radial si cel polar este mereu nenul si perpendicular pe plan.

O diagrama ilustrativa a sistemelor de coordonate:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/78/Polar_to_cartesian.svg (forumul nu accepta format .svg pentru imersarea imaginilor in text?)

Si o alta diagrama din care se poate vedea relatia dintre versori:



In coordonate sferice, miscarea unei particule in spatiu este descrisa de distanta radiala , azimutul (pe wikipedia notat cu simbolul alternativ pentru ) si zenitul (notat pe wikipedia cu ). Daca orientam sistemul de coordonate astfel incat axa polara sa fie paralela cu , atunci, miscarea avand mereu loc doar in planul normal la axa polara, zenitul are valoarea constanta si poate fi eliminat din restul discutiei. Putem sa remarcam acum urmatorul lucru: orientarea fixa a momentului cinetic in spatiu impune fixarea a doar doua componente, anume componentele carteziene din planul normal la directia fixa. Inca avem la dispozitie a treia componenta (ce fixeaza impreuna cu celelalte modulul) pentru a o folosi in determinarea solutiei.

Acum ar fi momentul sa scriem forma explicita a Lagrangianului problemei, care, dupa cum am demonstrat, este asociat unei miscari plane. Pornim de aici:



Energia cinetica, dupa cum bine stiti, are expresia:



Viteza trebuie scrisa la randul ei in coordonate polare. Ca sa facem asta, scriem coordonatele carteziene ale problemei in functie de coordonatele polare si derivam in raport cu timpul:





Puteti verifica usor ca ridicand fiecare expresie la patrat si sumand, obtinem:



Astfel:



In general (adevarul e ca exista si expresii mai generale ca aceasta, in cazul unor probleme mai complexe), ecuatiile Lagrange, care sunt ecuatiile de miscare ale caror solutii sunt legile de miscare ale problemei respective, au forma:

, unde sunt coordonatele si vitezele ce intra in expresia Lagrangianului. In cazul nostru coordonatele sunt si vitezele conjugate sunt . Sa nu va sperie semnul de derivata partiala. Pur si simplu cosiderati toate celelalte variabile ca fiind fixate si derivati dupa regulile obisnuite. Observati totodata ca nu apare explicit in Lagrangian, adica si ecuatia devine:



Definitia unui impuls generalizat asociat unei coordonate este tocmai: , deci facand derivata in mod explicit pentru unghiul polar si folosind rezultatul de mai sus gasim ca:

este un invariant al miscarii, egal tocmai cu modulul momentului cinetic. A se remarca faptul ca invarianta in timp nu este viteza unghiulara, ci produsul dintre viteza unghiulara si patratul distantei radiale este constant la orice moment de timp.

In final, putem pune acest rezultat intr-o forma familiara. Din moment ce , masa fiind oricum constanta, putem la fel de bine scrie , marimea din paranteza fiind chiar viteza areolara.



Cum aria unui triunghi este jumatate din produsul dintre baza si inaltime, aria maturata in unitatea de timp este, din figura:

si aceasta marime, asa cum am demonstrat mai sus, este constanta.

Astfel, conservarea momentului cinetic implica valoarea constanta a vitezei areolare. Cand particula este mai departe de centrul de masa se deplaseaza mai incet, iar cand este mai aproape se deplaseaza mai repede, pentru a matura arii egale in perioade egale. Asta este chiar legea a doua a lui Kepler privitoare la miscarea planetelor, dar observati ca inca nu am adus gravitatia in discutie. Constanta vitezei areolare este o caracteristica a oricarui camp central.

o ilustratie a acestui rezultat, pentru campul gravitational:



Data viitoare ne vom ocupa de cealalta ecuatie Lagrange, pentru distanta radiala si vom vedea daca energia sistemului este un invariant sau nu. Din nou, va invit sa faceti aceste calcule simple pentru a fi convinsi ca ati inteles pasii si sa puneti orice fel de intrebari, daca sunt neclaritati.

Aveam o greseala intr-o formula in mesajul anterior si nu mi-a atras nimeni atentia .Pana in momentul de fata avem doua rezultate importante:

1. Miscare a doua corpuri supuse unei interactii mutuale ce depinde numai de distanta dintre ele se poate reduce formal la miscarea unui singur corp intr-un camp central de forte, acesta din urma fiind un sistem fictiv din care pot fi extrase raspunsuri pentru problema reala.

2. Am gasit ca pentru un astfel de sistem momentul cinetic este un invariant al miscarii, conservarea acestuia fiind echivalenta cu constanta vitezei areolare: raza vectoare matura arii egale in perioade egale, afirmatie cunoscuta si ca a doua lege a lui Kepler.

In acest mesaj vom analiza cealalta ecuatie Lagrange si vom verifica riguros conservarea energiei.

Am gasit anterior ca Lagrangianul problemei are expresia



Ecuatia Lagrange pentru variabila polara s-a dovedit a fi si prin aceeasi procedura prin care a fost obtinuta, vedem ca ecuatia pentru variabila radiala este

, unde cele doua puncte de deasupra lui r semnifica o derivata in raport cu timpul de ordinul doi, deci pana la urma reprezinta acceleratia radiala.

Stim ca forta care se manifesta este chiar si este orientata radial, caci de la aceasta ipoteza am pornit de la bun inceput, asa ca notand aceasta marime cu putem rescrie ecuatia mai simplu ca



Viteza unghiulara poate fi eliminata, caci cunoastem deja solutia ecuatiei variabilei polare din mesajul anterior, anume stim ca , de unde gasim forma finala a ecuatiei radiale



Cum o putem interpreta? Eu as spune ca daca mutam al doilea termen din membrul stang in membrul drept, o putem citi ca masa ori acceleratia radiala egal forta radiala plus forta centrifugala, deci n-am facut decat sa regasim esenta legii a doua a lui Newton, printr-o metoda mai generala insa!

Ce putem spune despre energia totala? Dupa cum stiti, intr-un camp central lucrul mecanic efectuat pentru a plimba un corp de proba intre doua puncte este independent de drumul ales, astfel ca mergand de la A la B (intr-un sens sau altul fata de camp) si apoi de la B la A, bilantul energetic este nul, caci tot atata energie cata am cheltuit/castigat intr-un sens am castigat/cheltuit in sens opus, deci am putea scrie imediat ca energia totala se conserva, anume

, dar putem deduce acest rezultat din ecuatiile Lagrange!

Putem rescrie ecuatia radiala in felul urmator:

, si va rog sa verificati (se face imediat) ca derivarea din membrul drept ne da exact forta radiala adunata cu forta centrifugala.

Inmultim acum ambii membri ai ecuatiei cu si ii analizam pe fiecare in parte. Primul este dat de



Membrul drept poate fi vazut ca derivata in raport cu r a unei functii , ori daca o inmultim cu derivata in raport cu timpul a lui r, obtinem chiar derivata totala in raport cu timpul a lui g, conform regulii de derivare in lant pe care o stiti din liceu, anume , si rezultatul final este

, sau la fel de bine

, de unde reiese imediat ca

, ceea ce este chiar legea conservarii energiei, in care putem scrie, daca dorim, momentul cinetic in functie de viteza unghiulara pentru a obtine chiar expresia pe care am propus-o de la bun inceput.

Din punct de vedere formal, suntem foarte aproape de anihilarea problemei. Din legea de conservare a energiei extragem viteza radiala

, si mai departe dat fiind ca , avem



Daca vom considera ca la momentul initial t=0 distanta radiala era , putem integra in stanga de la 0 la t si in dreapta de la la r:



Gasim astfel timpul ca functie de cordonata radiala si de constantele de miscare E, l si pozitia initiala. In principiu, rezultatul obtinut poate fi inversat, ca sa obtinem ceea ce dorim, anume r ca functie de t si de cele trei constante. Odata ce stim solutia pentru r, ne ocupam de variabila polara, a carei ecuatie, prin acelasi procedeu ca pentru r, se scrie

, iar daca vom considera ca la momentul initial t=0, unghiul polar avea valoarea , integram in stanga de la la si in dreapta de la 0 la t, obtinand

, unde am precizat ca sub integrala r este dat de expresia sa ca functie de timp.

Odata ce aceste integrale sunt explicitate, problema miscarii a doua corpuri sub o interactie mutuala, dependenta numai de distanta dintre ele a fost complet rezolvata, daca sunt specificate coordonatele initiale, energia totala a sistemului si momentul sau cinetic. Alte constante puteau fi alese, puteam alege pozitiile si vitezele initiale si sa rezolvam problema in functie de acestea, dar un exista un motiv profund pentru care am ales sa nu procedam asa. In mecanica cuantica valorile initiale pentru pozitii sau viteze isi pierd sensul, dar energia sau momentul cinetic al sistemului nu. De aceea, pentru a facilita tranzitia la teorii cuantice (putem discuta aceasta problema si acolo!) este bine sa ne obisnuim de pe acum sa discutam in termeni de energie si moment cinetic.

Formal suntem gata, dar suntem in situatia proverbului cu targul si casa, caci integralele pe care le-am tot "rezolvat" sunt foarte, foarte greu de facut in cele mai multe cazui concrete. Despre cum putem trece peste acest impediment voi discuta in mesajele urmatoare, urmatorul pas fiind sa vedem ce detalii putem afla despre miscare, folosind ecuatiile si legile de conservare, fara a le rezolva explicit. Astept intrebari, critici si comentarii aici sau in comunicari private.

In acest mesaj vom vedea cat de valoroase sunt rezultatele obtinute anterior pentru a intelege calitativ natura miscarii. Pentru inceput, sa ne reamintim ca ecuatia radiala, cu viteza unghiulara exprimata in functie de momentul cinetic, este



Putem face un exercitiu de imaginatie suplimentar, pornind de la remarca pe care am facut-o in mesajul anterior cu privire la interpretarea acestei ecuatii, si sa ne gandim ca avem de a face cu o miscare unidimensionala a unei particule de masa m supusa fortei

, unde este clara semnificatia de forta centrifugala a celui de-al doilea termen, din observatia simpla



Acelasi lucru il putem remarca si din legea de conservare a energiei, anume din

, imaginandu-ne un potential fictiv

, conservarea energiei devenind

Ca un mic exercitiu, va rog sa verificati consistenta celor doua afirmatii, anume sa verificati faptul ca intr-adevar .

Sa trecem acum la un caz concret. Fie forta f atractiva si invers proportionala cu patratul distantei (precum forta gravitationala), deci avand expresia

, unde este o constanta.

Energia potentiala din care este derivata aceasta forta este evident

, iar potentialul fictiv (sau efectiv, cum mai este numit in unele lucrari) din care rezulta forta este



Sa reprezentam acum grafic potentialul fictiv V' in functie de r. Imaginea ar fi urmatoarea:



Componentele cu linie punctata reprezinta termenul centrifugal al potentialului fictiv, respectiv termenul atractiv, iar linia continua reprezinta suma lor. A se remarca faptul ca ambele sunt divergente aproape de origine, dar in sensuri diferite, si converg la 0 la infinit. Faptul ca potentialul efectiv diverge spre infinit in vecinatatea originii tine de faptul ca termenul dominant este cel centrifugal, inversul patratului crescand mult mai repede decat scade inversul puterii unitate. Cu linii orizontale sunt reprezentate 4 energii totale (deci difera unele de altele prin energia cinetica a particulei, cea potentiala fiind aceeasi) si vom analiza miscarea pentru fiecare caz in parte.

Sa detaliem pentru inceput cazul energiei . Graficul ar fi acesta



dar contine o greseala de tiparire, pe care va rog pe voi sa o gasiti (o voi mentiona imediat, in orice caz, fara sa spun ca in grafic este trecuta gresit).

In mod evident, particula nu va putea apropia niciodata la o distanta mai mica de de origine, deoarece in aceasta situatie, energia potentiala ar fi mai mare decat energia totala, lucru ce ar insemna ca avem o energie cinetica negativa, deci o viteza imaginara. Pe de alta parte, limita superioara nu exista, orbita fiind nemarginita. Astfel, scenariul este urmatorul: particula vine de la infinit, este respinsa de bariera centrifugala si aruncata inapoi spre infinit, ca in imaginea urmatoare



La orice distanta r, diferenta dintre E si V' este data de , deci este proportionala cu patratul vitezei radiale si este 0 la punctul de intoarcere . In acelasi timp, distanta dintre E si V (doar potentialul atractiv) in orice punct este data de energia cinetica totala, iar din cele doua reiese imediat ca distanta dintre V si V' este in fiecare punct data de termenul de energie cinetica ce contine viteza unghiulara, anume de . Cu alte cuvinte, daca stim aceste curbe, energia si momentul cinetic, stim care este viteza totala a particulei (in modul) in fiecare punct, si ii cunoastem si componentele, anume viteza radiala respectiv cea unghiulara, iar aceste informatii sunt suficiente pentru a construi o imagine a orbitei.

Pentru energia , obtiem o imagine aproape identica cu cea pe care am discutat-o deja, dar situatia se schimba in momentul in care trecem la energii negative. Sa luam situatia urmatoare, cu



In acest caz, vedem ca orbita este marginita in ambele sensuri, intre cele doua puncte de intoarcere, care cred ca se numesc distante absidale in limba romana, desi s-ar putea sa gresesc. Atentie, acest lucru nu inseamna ca orbita este inchisa, ci numai ca este marginita, adica numai ca este continuta intre doua cercuri, de raze si , fara sa fie obligatoriu ca particula sa isi "calce pe urme", dupa cum puteti vedea aici



Daca energia are valoarea minima posibila a potentialului fictiv V', sub care nu poate scadea din acelasi argument al vitezei imaginare, atunci marginile orbitei coincid, viteza radiala este nula si orbita este un cerc



Conditia de circularitate implica pur si simplu ca forta fictiva f' sa fie nula, ceea ce inseamna ca forta atractiva f trebuie sa fie data de , cu alte cuvinte, dupa cum poate va amintiti din liceu, forta aplicata trebuie sa fie egala in modul cu forta centrifuga.

Parametrul fixat in toata aceasta discutie a fost momentul cinetic. O variatie a acestuia va modifica detaliile calitative ale potentialului, dar nu va schimba clasificarea generala pe care am facut-o aici. Vom vedea ulterior ca in ordinea in care au fost trecute pe primul grafic, energiile in cazul fortei gravitationale corespund unei hiperbole, unei parabole, unei elipse si unui cerc.

Aceste idei raman valabile pentru orice potential, atata timp cat la infinit converge la 0 mai lent ca inversul patratului distantei (adica potentialul real domina peste termenul centrifugal la distante mari) si cat timp diverge in origine mai lent ca inversul patratului distantei, astfel ca termenul centrifugal este cel dominant la distante mici. Chiar daca aceste conditii nu sunt indeplinite, tot putem trage concluzii generale cu privire la natura miscarii din grafice. Spre exemplu, sa consideram pe scurt cazul urmator

cu

Graficul este acesta



Vedem ca la o energie E avem doua posibilitati, in functie de valoarea initiala a lui r. Daca , orbita este marginita, particula este captiva intr-un cerc de raza si trece chiar prin originea campului de forte. In celalalt caz, in care , miscarea este nemarginita si particula nu va strapunge niciodata mai aproape de . Situatia intermediara celor doua puncte extreme nu este fizic posibila, din aceleasi argumente ca si pana acum.

Sper ca a fost un raspuns destul de simplu la intrebarea "de ce nu sunt orbitele circulare?". Seria va continua probabil cu un mesaj ceva mai scurt, in care voi discuta cateva rezultante fascinante precum teorema lui Bertrand, teorema de virial si ecuatia orbitei, dupa care vom rezolva riguros problema lui Kepler pentru campul gravitational. Nelamuriri, intrebari, sugetii, aici sau cu mesageria privata.

...

omuldinluna a scris:Sper ca a fost un raspuns destul de simplu la intrebarea "de ce nu sunt orbitele circulare?".

Apreciez şi eu efortul deosebit pe care l-ai făcut pentru a prezenta atât de frumos câte ceva despre mişcarea în câmp central.

Dar îţi atrag atenţia că ceea ce ai scris încă nu răspunde la întrebare. Mai trebuie să abordezi minimizarea energiei coroborat cu teorema virialului. Că doară sistemele reale precum sunt planetele din sistemul solar pierd energie în timp.

Ori pierderea de energie până la valoarea minimă te va duce la orbite strict circulare. Dar, ceea ce observăm la planete este că ele nu au orbite circulare. Să nu fi ajuns atunci ele la energia minimă după atâtea miliarde de ani? Atunci în cât timp ar fi trebuit ele să ajungă la orbita circulară? Se apropie excentricitatea lor de zero aşa cum ar trebui să se întâmple cu planetele care pierd energie?

Deci, eu zic că, ho, ho, mai este muuuult până să avem răspunsul.

“Scopul nostru final in mecanica este sa gasim legea de miscare, anume sa gasim evolutia pozitiei unui corp in timp.”

Probabil daca ajungeai in aceeasi pozitie, in spatiu, in care ai fost acum un an, ma gandeam la legea ta de miscare, pe care frumos ai incercat s-o explici aici, omuledinluna, dar tu esti departe de adevar… cu cateva mii de miliarde de kilometri… atat e distanta dintre capetele “elipsei”… dintre planul de inceput de acum un an si planul de acum... care numai a elipsa nu mai arata.

Astea-s povesti de acum 300 de ani… Mai incearca!

Bordan a scris:...esti departe de adevar… cu cateva mii de miliarde de kilometri… atat e distanta dintre capetele “elipsei”… dintre planul de inceput de acum un an si planul de acum... care numai a elipsa nu mai arata.

Cum ai ajuns la concluzia asta? Elipsa este definită într-un singur plan.

Foarte simplu am ajuns, Razvan, din date cunoscute… 220 km/secunda viteza cu care se “invarte” sistemul solar in jurul centrului galaxiei… si daca inmultesti cate secunde sunt intr-un an cu viteza gasesti distanta…la care se duce pamantul de elipsa ta… e greu?

Stiu ca doare dar asta e …realitatea…

Bordan, eu discut problema in sistemul de referinta al centrului de masa al sistemului. In orice alt referential inertial ai alege, peste miscarea pe care o gasesc eu aici trebuie sa suprapui translatia intregului sistem si intr-adevar traiectoria descrisa este alta, ar semana cu o elice deformata. Asa cum am scris inca de la inceput insa, trec in referentialul centrului de masa tocmai pentru ca nu ma intereseaza aceasta miscare de translatie ci numai cum se misca cele doua corpuri unul fata de altul.

Indraznesc si eu sa intreb: ...unul fata de celalalt in raport cu ce? Ca numa unul fata de celalat nu se poate!

Unul fata de altul in raport cu centrul de masa, din moment ce acela este reperul pe care mi l-am fixat.

Ok, multumesc! Doar o singura intrebare si nu mai intervin pe topicul tau; Care ar putea fi centrul de masa a doua corpuri ale caror plane de miscare nu se intersecteaza?

Adica a unui asemenea sistem, care defapt reprezinta proiectia in plan a unei dinamici elicoidale a doua obiecte care se afla in planuri diferite:

Poti interveni cu oricate intrebari doresti, doar suntem aici ca sa discutam si sa facem schimb de idei.

Un centru de masa poti defini pentru absolut orice sistem corpuri. Daca nu sunt puncte materiale, ci corpuri cu extensie finita, tehnica pe care am expus-o eu la inceput este inlocuita cu o integrala peste distributiile de masa ale corpurilor, in volumul pe care acestea le ocupa. Ca principiu de lucru, trecerea ar fi urmatoarea, de la suma discreta la integrala:

, unde M este masa totala a sistemului iar rho este densitatea de masa. Nu spne nimeni ca trebuie sa am neaparat un sistem discret de puncte, continute intr-un unic plan.

Dupa cum am mentionat de la bun inceput, eu consider corpurile mele puncte materiale in aceasta analiza. In cazul unui sistem cum este cel Pamant-Soare, aceasta conditie este fizic indeplinita datorita distantei uriase care le separa, ceea ce face ca distributiile de masa pur si simplu sa nu conteze. Daca discutam sistemul Pamant-satelit de telecomunicatii, acest lucru nu mai este valabil si daca s-ar pune sateliti pe orbita cu genul de calcule pe care le fac eu aici ne-ar cadea in cap imediat. Cand discutam despre sisteme binare de stele, sau de sisteme stea-planeta separate suficient de mult (nu cum este cazul sistemului Soare-Mercur spre exemplu) genul acesta de rationament reprezinta un prim pas excelent pentru a intelege ce si de ce se intampla, dar evident ca se poate extinde foarte mult, ceea ce expun aici sunt numai bazele problemei.

Dupa mine, omuledinluna, poti sa analizezi ce doresti, numai ca trebuie informati cititorii corect ceea ce faci, sau vrei sa faci.

Ceea ce faci tu aici este o poza la un moment dat, in proiectie 2D si o incercare de-a explica aceasta poza. Urmatoarea poza nu corespunte cu prima... ca s-a miscat imaginea. Pana la filmul complet mai ai de proiectat... si filmul ruleaza …fara aprobarea ta.

Nu ma rabda inima sa nu-ti “arat” poezia si simfonia universului… din episodul urmator…

http://hubblesite.org/gallery/

http://www.esa.int/esaSC/SEMW6HVJ15G_index_0.html

http://www.as.utexas.edu/utgal08/talks/utgal08_hammer.pdf

Nu vad eu bine oare…ca nu dau de “pozele” tale?

Pamantul e conectat de soare si altfel decat “gravitational” …si e conectat bine…

http://science.nasa.gov/science-news/science-at-nasa/2008/30oct_ftes/

https://www.youtube.com/watch?v=y3_vW5yrNek&feature=player_embedded#!

Nu vad in “pozele” tale asa ceva. A…scuze c-am uitat… ca-s de acu’ 300 de ani…

Materia, in sensul clasic al conceptului de acum 300 de ani, ca-i place la Razvan, nu mai exista, s-a destramat, ea nu mai e materie, ci o sistematizare energetica conditionata de forte antagoniste, care “garanteaza” miscarea sistemului. S-ar putea spune ca teoria cunoasterii este o dialectica a energiei, intemeiata pe o dinamica contradictorie, imanenta oricarei experiente… deci gandirea miscarii, a dinamicii, a filmului, a vietii, a NATURII…nu amintiri din trecut…

Universul vizibil este 99,999% plasma…99,98% din sistemul solar este plasma…sistemul interplanetar aproape 100% plasma…mediul intergalactic aproape 100% plasma…care inseamna curenti electrici si curenti magnetici… si forte electromagnetice greu de digerat… Materia mai poate si …curenta!

http://www.plasma-universe.com/99.999%25_plasma

http://www.plasmacosmology.net/

Putem vorbi de statica si centre de masa, in conditiile astea? Eu zic ca nu!
Oare, cat stim …stim bine? Ce zici…OMULE?
Ar fi cazul sa cobori cu picioarele pe pamant… si cu capu-n nori?

Aloo! Desteptareea… ca-i dimineata!

1000 de ani!

Bordan a scris:Dupa mine, omuledinluna, poti sa analizezi ce doresti, numai ca trebuie informati cititorii corect ceea ce faci, sau vrei sa faci.

Dacă ai fi citit cu atenţie subiectul pentru care îţi dai cu părerea ai fi văzut ce scrie în al doi-lea paragraf, chiar de la început:

omuldinluna a scris:Obiectivul este sa lamurim fizica din spatele interactiei a doua corpuri, cand forta care actioneaza asupra lor depinde numai de distanta dintre ele, desi cateva rezultate se pot aplica si pentru forte mai generale, dupa care in masura posibilului, sa explicitam teoria pentru cazul particular al gravitatiei asa cum a fost descrisa de Isaac Newton. Va fi o discutie nerelativista, deoarece pentru sisteme gravitationale precum Pamant-Luna corectiile aduse de Einstein sunt insignifiante (cel putin dupa cunoasterea mea). Natura este in mod cert mai complexa decat o vor arata aceste calcule, Pamantul si Luna nu sunt puncte materiale si discutia se poate extinde spre studiul deformarilor celor doua corpuri in urma interactiei, spre influenta interactiei asupra miscarii de rotatie a Pamantului in jurul propriei sale axe sau spre consecintele climatice pe care le are prezenta Lunii asupra Pamantului si asa mai departe.

Pentru a descrie mişcările faţă de alte referenţiale, pe care le tot aduci în discuţie, este necesar ca prima dată să fie înţelese noţiunile fizice de bază, pe care omuldinlună se străduieşte să le expună aici.
Din respect pentru munca lui, ar trebui ca acestea să fie măcar citite înainte de a fi comentate!

Dupa cum a citat și Răzvan în mesajul următor, am informat, într-o limbă română cât de cât inteligibilă ceea ce urma să discut aici, încă de la bun început. Nu am spus nicăieri că voi discuta despre geneza sau dinamica galaxiilor, subiecte la care nu mă pricep în nici un caz atât de bine încât să-mi permit să pornesc analize de forma acesteia. Consider însă că această problemă simplă reprezintă un bun punct de pornire pentru cineva care dorește să meargă în acea direcție.

Ceea ce prezint eu nu este static și nici 2D, ci este mișcarea a două corpuri sub o interacție mutuală ”cuminte”, pentru a putea fi discutată analitic ușor, văzută din sistemul centrului de masă. Înainte să trecem la quarci și forțe de culoare poate n-ar fi rău să lămurim o problemă mult mai simplă. Voi găsi în mesajele următoare atât forma traiectoriei (deci elimin dependența parametrică de timp din ecuațiile de mișcare pentru a obține curba descrisă de corpuri), dar voi arăta și cum se poate găsi poziția unui corp în sistem ca funcție de timp, anume voi arăta cum se poate prezice, în condițiile ideale în care sistemul rămâne neperturbat, unde va fi planeta peste t vreme, dacă la momentul pe care îl consider inițial era aici sau acolo.

Wallpaperele de pe toate calculatoarele la care lucrez, sub Windows și Linux, sunt luate de pe Hubblesite , cred că preferata mea rămâne acea celebră fotografie făcută când au îndreptat telescopul spre adâncurile întunecate ale spațiului și au constatat după un timp de expunere de câteva zile că se ivește lumina a miliarde de alte galaxii. Este probabil una dintre cele mai cutremurătoare descoperiri ale omenirii. Ceea ce prezint eu aici este o foarte mică parte din fizica ce stă în spatele acelei ”simfonii”.

Acum aproape 400 de ani, un astronom și alchimist pe nume Tycho Brahe a umplut registre întregi cu date observaționale, de o precizie remarcabilă pentru acea vreme, despre mișcările planetare, urmărindu-le nopți în șir, ani la rând. După moartea sa cel puțin bizară (a murit literalmente din politețe) ucenicul său, Johaness Kepler, a început munca uriașă de analiză a acelor date și a reușit să producă cele trei legi pe care probabil le cunoști, ce guvernează mișcările planetare. Pe un ton ușor umoristic, să zicem că pe primele două le mai nimerea, dar chiar să deduci din niște tabele că pătratul perioadei de revoluție e proporțional cu cubul semiaxei mari ... Ulterior, pe baza acestor legi formulate empiric, Newton a scris teoria sa a gravitației, pe care în mare măsură o expun eu aici, într-un stil mult mai modern ca al său însă.

Nu ai nevoie de fizică cuantică pentru a înțelege de ce se rotesc planetele, dar putem relua problema, când o terminăm pe aceasta, și în atom, să vedem ce se întamplă când în loc de astre vorbim de particule elementare și în loc de câmpuri gravitaționale, de câmpuri electromagnetice.

Cât despre Universul vizibil, se estimează că reprezintă sub 5% din tot ceea ce există, așa că pe mine unul dictonurile astea cu 99% plasmă mă lasă rece de tot, de multă vreme. E tot un mărunțiș în oceanul cunoașterii, problema e că mărunțișurile nu prea mai sunt apreciate în ziua de azi.

OK, omule…, nu te mai deranjez, oricum sunt lucruri interesante, explicate profesionist, care poate sunt de folos cuiva, poate reusesc sa-mi trezeasca si mie nostalgiile…

Cat despre “dictonurile astea”, care te lasa rece... daca iti “curenta” una un dicton din ala, iti garanteaza baiatu’ ca te …incalzeai… 1000 de ani!

Te rog sa scrii ori de cate ori ai o nelamurire sau un comentariu, dar citeste totusi cu atentie ce a fost postat inainte de mine sau alte persoane. O sa editez un cuprins la un moment dat in mesajul initial ca cei care vor dori pe viitor sa citeasca expunerea sa o gaseasca usor, iar noi ne putem vedea linistiti de discutii in continuare, caci cred ca e mai bine sa fie puse la un loc. Nu cred ca o sa am timp prea curand, dar am o carte a lui Ginzburg, unul dintre marii elevi ai lui Lev Landau, in care discuta mult despre fenomene electromagnetice in Cosmos. Din cate stiu eu, rol in miscarile planetare nu joaca, dar cu siguranta sunt importante in fizica stelelor. Putem sa ne indreptam si intr-acolo, e si alegerea voastra despre ce doriti sa le discutam, dar sa le facem totusi pe rand.

Nelamuriri am mai multe ca lamuriri, dar le las acolo odata, nu te mai bruiez cu ele... mecanica m-a dezamagit urat de tot, de aceea m-am dus la curent... Tu baga mare ... 1000 de ani...de aci inainte...

Avand in vedere discutia pe care o port cu meteor, am decis s-o iau mai incet pe o portiune a plimbarii prin care initial ma gandeam sa trec mai repede, deoarece va fi foarte util sa admiram privelistea din punctul in care am ajuns.

Astazi vom discuta despre un rezultat foarte general, aplicabil multor sisteme fizice: teorema de virial. Este un rezultat diferit de cele deduse pana acum, anume este un rezultat statistic, legat de valoarea medie in timp a diverselor cantitati de interes din mecanica. Incepem prin a considera un sistem de puncte materiale avand vectorii de pozitie si asupra carora actioneaza fortele , unde luam in considerare atat fortele aplicate cat si cele de legatura, distinctia dintre cele doua fiind discutata la inceputul expunerii. Astfel, ecuatiile de miscare pentru particulele sistemului sunt



iar cantitatea care ne intereseaza este

, unde sumarea se face peste toate particulele sistemului.

Sa efectuam derivata totala in raport cu timpul, ce actioneaza liniar, mai intai asupra vectorilor de pozitie si apoi asupra impulsurilor:



Vedeti ca prima suma se face practic peste produsul scalar dintre viteza si impulsul fiecarei particule, pe cand a doua suma se face peste produsul scalar dintre forta aplicata fiecarei particule si vectorul ei de pozitie. Daca transpunem aceste remarci din limbajul vorbit in cel matematic, si folosim expresia impulsului pentru o particula de masa constanta, anume , gasim ca primul termen este

, adica dublul energiei cinetice a sistemului,

pe cand al doilea este pur si simplu



Astfel, derivata noastra a devenit



Acum urmeaza un pas mai delicat, deci fiti atenti. Ca sa obtin media peste un interval temporal a expresiei de mai sus, trebuie sa integram in ambii membri peste timp de la 0 la , dupa care sa impartim totul la :

, unde am notat formal operatia explicita de mediere cu bara orizontala, iar in pasul intermediar am specificat ca prin definitie vorbesc de media temporala a derivatei in raport cu timpul a functiei G, adica pana la urma de "viteza medie" de variatie a lui G.

Dupa cum bine stiti din liceu, integrala derivatei unei functii efectuate in raport cu variabila fata de care derivez este chiar integrala din functie peste unitate. Alt mod, poate mai simplu de a spune asta, este ca in membrul stang diferentialele dt in raport cu timpul se simplifica, si raman cu integrala din dG peste functia constanta 1. In orice caz, daca aveti un manual de liceu la indemana puteti sa vedeti ca

, afirmatie ce ar trebui sa fie chiar un caz particular al teoremei Leibniz-Newton.

Rezultatul pe care l-am obtinut este



Se observa ca daca miscarea este periodica, adica daca sistemul revine la configuratia initiala dupa un timp dat, si alegem sa fie egal cu perioada, membrul drept dispare. Chiar daca miscarea nu este periodica, ci doar marginita, putem lasa sa se scurga oricat de mult timp dorim, astfel ca membrul drept sa devina oricat de mic, tinzand la 0 in limita timpului infinit, iar in ambele cazuri concluzia este aceeasi:



Aceasta este teorema de virial, iar membrul drept se numeste virialul lui Clausius.

Inainte de a reveni la miscarea in camp central, sa facem o mica excursie in teoria cinetica a gazelor. Urmeaza sa vedem ca daca presupunem ca atomii exista si folosim teorema de virial, putem deduce pe calea ratiunii ecuatia de stare a gazului ideal, rezultat ce a fost constatat empiric cu mult inainte de a exista o explicatie a sa. Sa presupunem deci ca avem un gaz alcatuit din N atomi intr-o incinta de volum V, la temperatura absoluta T (sa nu o confundati cu energia cinetica!). In cadrul teoriei cinetice a gazelor marele Boltzmann a dedus teorema de echipartitie a energiei, anume ca energia cinetica medie a fiecarui atom din gaz este egala cu , fiind constanta lui Boltzmann, aceasta relatie servind pana la urma ca o definitie cinetica a temperaturii (constructia riguroasa a temperaturii absolute este foarte interesanta, dar destul de dificila, si nu ne e necesara in discutia de fata). Intr-o formula mica de tot, toate aceste cuvinte spun:

, unde va trebui sa retineti (din pacate, acestea sunt simbolurile consacrate), ca in stanga T se refera la energie cinetica iar in dreapta la temperatura absoluta.

Asa cum am mentionat de la bun inceput in deducerea teoremei de virial, luam in considerare atat fortele aplicate cat si cele de legatura, in cazul nostru fortele aplicate fiind fortele de interactie dintre atomi, iar cele de legatura fiind date de interactia atomilor cu peretii incintei. Pentru un gaz ideal, interactia dintre atomi are o contributie neglijabila la virial. Fizic, acesta situatie ar corespunde unui gaz rarefiat, in care ciocnirile dintre atomi au loc mult mai rar decat ciocnirile acestora cu peretii. Mai mult, fortele de legatura nu sunt simtite decat atunci cand atomii lovesc peretii, ele nu sunt altceva decat reactia acestora la presiunea gazului si deci local pot fi scrise in felul urmator:



Aceasta formula spune ca un element de forta resimtit de un atom poate fi scris ca produsul dintre presiunea P si un element de suprafata dA al peretelui si este orientata pe aceeasi directie cu normala la elementul de suprafata, dar in sens invers fata de aceasta (un element de suprafata ni-l putem imagina ca un vector avand modulul egal cu aria suprafetei si orientat perpendicular la suprafata). Normala este indreptata conventional spre exteriorul incintei, astfel ca forta va fi orientata spre interior, tinand atomii inauntru.

In aceste conditii, suma din membrul drept al teoremei de virial poate fi inlocuita sub medie cu o integrala peste suprafata incintei, adica (atentie la schimbarea de semn):



Mai avem nevoie de un singur rezultat, care s-ar putea sa nu fie insa la fel de familiar pentru toata lumea. Avem nevoie de teorema lui Gauss, care spune ca fluxul unui camp vectorial printr-o suprafata inchisa , adica integrala peste suprafata a campului , este egal cu divergenta campului integrata peste volumul marginit de suprafata, anume egal cu integrala .

Fara sa intram in prea mult detalii de analiza vectoriala, este suficient sa stim sa scriem actiunea operatorului de divergenta asupra unei functii vectoriale in coordonate carteziene



si sa remarcam ca trebuie sa il aplicam pe un camp vectorial foarte simplu, anume campul vectorilor de pozitie



Se verifica extrem de usor ca si astfel am obtinut



Folosind expresia in termeni de temperatura a energiei cinetice medii si acest rezultat, teorema de virial spune, dupa simplificarea factorului de :

, ori asta nu este decat ecuatia de stare a gazului ideal! Iata cum rezultate generale de matematica pura, combinate cu presupunerea ca materia este alcatuita din atomi, ne conduc la un rezultat observat in natura! Aceasta simpla ecuatie de stare nu mai este valabila cand exista interactii puternice intre constituentii gazului. La temperaturi foarte joase teoria clasica sufera un colaps total in orice incercare de a mai descrie gazul si trebuie sa venim cu unelte mai performante si idei noi pentru a intelege comportamentul naturii.

Sa revenim acum la miscarea in camp central. Daca fortele sunt derivabile dintr-un potential, teorema de virial devine

, unde am folosit formula

Pentru particula noastra fictiva intr-un camp central de forte, teorema arata mai simplu:

, unde am tinut cont de faptul ca forta este paralela la directia radiala.

Pentru un potential ce depinde de o putere a lui r, de forma , unde a este o constanta, nu trebuie decat sa faceti o derivata foarte simpla ca sa obtineti ca si ca



Pentru campul gravitational, n trebuie sa fie egal cu -2, si rezultatul final, foarte interesant este:

, deci in medie energia cinetica este egala pana la semn cu jumatate din energia potentiala.

Ca o ultima mentiune, de data aceasta fara demonstratie, se poate arata ca daca fortele pot fi descompuse intr-o parte aplicata nedisipativa, si forte de frecare proportionale cu viteza, acestea din urma nu contribuie la virial, dar energia se pierde in continuare din sistem datorita lor, si trebuie aprovizionata din exterior pentru ca miscarea sa nu inceteze, caci intr-un timp infinit de lung, in aceste conditii, toate mediile s-ar anula. Daca este cineva interesat de aceasta demonstratie, il rog sa ma anunte, s-ar putea sa o am scrisa pe hartii pierdute prin sertare. Ma gandesc in special la Abel, care a ridicat o chestiune foarte interesanta la care eu unul nu pot decat sa recunosc faptul ca nu stiu a raspunde. Planetele nu au cum sa piarda energie datorita campului gravitational, deoarece acesta este conservativ. Daca exista alti factori, care se balanseaza intr-o asemenea masura incat sa mentina miscarea stabila, sau disiparea este atat de lenta incat este practic neobservata de miliarde de ani, ramane de discutat.

Data viitoare vom elimina timpul din ecuatiie de miscare gasite pentru miscarea in camp central, si vom obtine o unica ecuatie a orbitei.

Razvan a scris:Nu mă prind de unde provine -2!

Acum m-am prins!
De la  

Într-adevăr, dacă n=-2 potențialul se duce ca inversul lui r, și poți verifica imediat în formula care-ți dă forța ca un gradient al potențialului că regăsești forța gravitațională.

Am citit și eu acum despre aceste forțe mareice. În modelul pe care îl tratez aici ele nu apar deoarece vorbesc de puncte materiale adimensionale, dar cu siguranță că în momentul în care vorbim de corpuri reale, de dimensiuni finite, și dorim rezultate mai precise trebuie să le luăm în calcul. Datorită neomogenităților din interiorul corpurilor cerești, forțele mareice induc efecte disipative ce duc la frânarea mișcării de revoluție, dar încă nu îmi este clar dacă asta afectează și momentul cinetic orbital.

Am în plan să discut ecuația orbitei, teorema Bertrand, problema lui Kepler, vectorul Runge-Lenz și ceva idei generale despre ciocniri în câmp central, poate chiar și calculul formulei lui Rutherford. După asta aș vrea să arăt ceva aplicații simple ale întregii teorii, iar poate că cel mai înțelept pas, dacă acel moment ne va prinde pe toți sănătoși, ar fi să discut și mișcarea corpurilor cu dimensiune finită, tot pe un model idealizat, ca să fie calculele accesibile, cum ar fi o sferă elastică omogenă.