Ecuaţia curbei de curbură şi torsiune cunoscute

Ridic aici o problemă a cărei rezolvare o consider utilă pentru aprofundarea Fizicii elioidale, la care lucrez.

Să se determine ecuaţia carteziană a unei curbe atunci când se cunoaşte curbura şi torsiunea curbei în fiecare punct al ei.

Nu prea inteleg la ce foloseste rezolvarea inversa a problemei adica pornind de la curbura si torsiune spre curba care le genereaza?? Credeam ca o sa scriem ecuatiile curbei dupa care, cu formulele cunoscute, urma sa se deduca curbura si torsiunea. In principiu aceasta rezolvare inversa e posibila, aici in cazul elicei cilindrice fiind chiar simplu:
R = 1/K = a +k²/a
T = k + a²/k , unde T e raza de torsiune
Din sistemul de ec. se determina a si k. Ecuatia elicei cilindrice este:
x = a*cos(z/k)
y = a*sin(z/k)
x² + y² = a²
a - raza cilindrului, k=p/2pi, p - pasul elicei
Dar in cazul unor elicii de alta forma decat cilindrice, poate fi extrem de complicata o asemenea abordare.

mm a scris:Nu prea inteleg la ce foloseste rezolvarea inversa a problemei adica pornind de la curbura si torsiune spre curba care le genereaza??

Ceva mă face să cred că trebuie să ştiu cum arată în general o curbă pentru care raportul dintre curbură şi torsiune este constant. Vreau să văd ce esenţe ne dezvăluie o asemenea curbă, vreau să văd ce proprietăţi remarcabile poate avea ea, pentru că sunt convins că asemenea proprietăţi pot fi asociate cu proprietăţile fizice ale corpurilor care se deplasează pe curbe de raport Frenet constant.

mm a scris:Dar in cazul unor elicii de alta forma decat cilindrice, poate fi extrem de complicata o asemenea abordare.

Tocmai asta este marea problemă, că mă interesează cum arată o elice la modul general, nu doar o elice de curbură şi torsiune constante.

Nu prea inteleg ce vrei sa spui? O elice la modul general o poti genera, dupa mine, cu miscarea unui punct pe o semidreapta Ow ce se invarte cu viteza unghiulara constanta (viteza nu trebuie sa fie variabila daca te intereseaza doar aspectele geometrice nu si acceleratiile si vitezele) in planul yOz, sa zicem. In acelasi timp, originea semidreptei (ce coincide la inceput cu originea sistemului triortogonal si unde se afla si punctul w la inceputul miscarii) primeste o miscare de translatie (daca studiam in continuare eliciile infasuratoare de alte elicii, s-ar fi miscat pe alta curba - o elice, nu pe o dreapta), de ex. pe axa Ox.
*Viteza punctului pe semidreapta Ow poate fi constanta (cand se obtine o spirala (in planul yOz) logaritmica , daca nu ma insel) dar poate avea si viteza variabila si atunci obtin alte spirale in planul yOz. Evident, la deplasarea
cu viteza "u" pe axa Ox, a semidreptei Ow, (ea ramanand mereu paralela cu planul yOz) aceste spirale se vor transforma in elicii.
*La generalizare si mai mare, eliciile pot fi "turtite" daca Ow se va deplasa pe alta directie decat Ox, una oarecare (ramanand in timpul rotatiei sale mereu paralela cu planul yOz).
*Din combinarea a doua simple miscari se pot genera orice forme de elicii si intr-un numar practic infinit. Vei avea un parametru suplimentar, t, care va lega celelalte coordonate, practic va determina/va da/ forma curbei (!). Banuiesc ca dupa alegerea unor familii de elicii, vei putea pune conditia ca raportul Frenet = ct. Nu ma bag eu aici...
*Curbura si torsiunea le poti scrie "aprioric", inainte de definirea eliciilor, in functie de cele doua miscari pe care ti le alegi si apoi le combini. Asta daca vrei sa faci lucrurile "invers", asa cum ti-ai propus.
De aceea nu inteleg ce anume te impiedica in lucrarea ta.