Probleme in mecanica Lagrangiana

Ridic aici niste intrebari care ma pasioneaza in timpul liber in momentul de fata, in speranta ca poate aveti ceva idei interesante de impartasit pe marginea lor. Prima problema este urmatoarea:

Pornind de la principiu lui d'Alembert, anume:

,

unde i este numarul de particule, indicele (a) arata ca ne referim la forta aplicata (fortele de legatura nu fac lucru mecanic) iar impulsul cu indice i este impulsul total al fiecarei particule din sistem, se poate ajunge (demonstratia o gasiti in orice carte de mecanica analitica, nu o reproduc aici) la ecuatiile Lagrange sub aceasta forma:

,

unde in primul termen avem derivata totala in raport cu timpul a derivatei partiale in raport cu viteza generalizata a energiei cinetice T, al doilea termen reprezinta derivata partiala a energiei cinetice dupa coordonata generalizata , iar termenul din dreapta este componenta j a fortei generalizate. Sunt n astfel de ecuatii, daca sistemul are n grade de libertate.

Intrebarea este urmatoarea. Exista si o forma Nielsen a ecuatiilor Lagrange, anume:



Evident ca egaland cele doua expresii si calculand explicit derivatele, gasim ca aceasta formulare este intr-adevar echivalenta, dar oare din ce principiu ar putea fi dedusa direct aceasta forma? Remarcati ca in primul termen practic am schimbat ordinea de derivare intre timp si viteza generalizata.

În materialul lui Michael Good, la pagina 9 găseşti rezolvarea problemei 7 echivalentă cu cea ridicată de tine. Prin urmare, atât ecuaţiile lui Lagrange, cât şi ecuaţiile lui Nielsen rezultă (direct) din acelaşi principiu variaţional al lui d'Alembert, doar că pe altă cale.

Nu. In primul rand, principiul lui d'Alembert nu este unul variational, dar sa lasam discutia asta la o parte deocamdata. Ce face Michael Good acolo e ce-am facut si eu, egalezi cele doua seturi de ecuatii si constati ca intr-adevar sunt echivalente (toate derivatele se reduc identic daca ai rabdare sa faci calculele), dar intrebarea mea era, cum am putea construi direct ecuatiile in forma Nielsen dintr-un principiu (poate chiar cel al lui d'Alembert, dar pe alta cale), intelegi?

Păi, să vedem întâi ce înţelegi tu prin „direct”. De ce crezi tu că principiul lui d'Alembert implică direct ecuaţiile lui Lagrange şi nu implică direct ecuaţiile lui Nielsen? Din câte ştiu eu, dacă A implică (direct) B şi dacă B este echivalent cu C, atunci A implică (direct) şi C (căci echivalenţa este comutativă).

Nu mi-ai inteles intrebarea. Deci, printr-o procedura destul de lunga (motiv pentru care nu am scris-o pe forum, dar o gasesti in carti si o poti incerca si tu daca vrei, ca nu e dificila, e doar lunga), pornind de la ipoteza ca nu sunt prezente forte de frecare in sistem si ca fortele de legatura nu fac lucru mecanic, se deduc ecuatiile Lagrange in prima forma din mesajul meu.

Forma Nielsen, mai repet odata, se poate arata ca este echivalenta facand explicit calculul (pui Lagrange=Nielsen si constanti ca obtii 0 si de o parte si de alta).

Intrebarea era, oare din ce principiu, se poate obtine prin derivare forma Nielsen a ecuatiilor. Posibil sa fie vorba tot de principiul lui D'Alembert, dar poate prin alte calcule, sau sa fie vorba de cu totul altceva. Si oricare ar fi situatia, care este procedura?

Dar oare eşti sigur că tu mi-ai înţeles răspunsul?

Bun, să încerc altfel. Să presupunem că, prin alte calcule, ecuaţiile lui Nielsen rezultă din principiul lui d'Alembert. Atunci, în opinia ta ar mai însemna că ele rezultă direct din acest principiu?

Din punct de vedere logic, ai dreptate. Sa presupunem deci ca ecuatiile Nielsen rezulta tot din principiul lui d'Alembert. Dar care ar fi oare procedura? Eu am avut cateva tentative dar inca nu am finalizat nimic, daca mai are cineva timp/dispozitie si vrea sa incerce, orice contributie este bine-venita.

alefzero a scris:Dar care ar fi oare procedura?

Sincer, nu te înţeleg. Procedura la ce? Procedura de a deduce ecuaţiile lui Nielsen din principiul lui d'Alembert fără să treci prin ecuaţiile lui Lagrange?

Exact, sa gasesti direct forma Nielsen din d'Alembert, presupunand ca acela este principiul din care provin.

Intreb din pura curiozitate, pentru ca mi s-ar parea ciudat ca ele sa fie pur si simplu "ghicite", probabil ca Nielsen le-a calculat independent si ulterior s-a remarcat echivalenta lor.

Hai să încercăm să abordăm şi altfel problema. Ştim că ecuaţiile lui Lagrange rezultă (nu doar din principiul lui d'Alembert, ci) şi din principiul lui Hamilton. Atunci putem oare concluziona de aici că principiul lui d'Alembert este echivalent cu principiul lui Hamilton?

Din punctul meu de vedere sunt doua abordari fundamental diferite. Principiul lui Hamilton este in primul rand mai restrictiv decat principiul lui D'Alembert (pot detalia chestiunea dar nu are sens acum) si oricum, principiul lui Hamilton poate fi dedus din ecuatiile Lagrange, adica pe logica asta din D'Alembert. Dar asta este alta chestiune, eu sunt pur si simplu curios sa stiu cum se poate calcula forma Nielsen a ecuatiilor Lagrange din principiul lui d'Alembert.

E binevenita si intrebarea ta totusi, dar hai sa abordam problemele pe rand.

Păi, deocamdată cunoaştem deja o modalitate de a ajunge de la principiul lui d'Alembert la ecuaţiile lui Nielsen, doar că ea se face în două etape: în prima etapă se ajunge la ecuaţiile lui Lagrange, iar în a doua etapă se ajunge la ecuaţiile lui Nielsen.

Consider că pentru a sări peste etapa ajungerii la ecuaţiile lui Lagrange ca să ajungem direct la ecuaţiile lui Nielsen ar trebui să scriem principiul lui d'Alembert într-o altă formă, una care să nu mai ducă direct la ecuaţiile lui Lagrange, ci la ecuaţiile lui Nielsen.

Într-o asemenea formă nouă, din principiul lui d'Alembert s-ar ajunge la ecuaţiile lui Lagrange în două etape: întâi s-ar ajunge la ecuaţiile lui Nielsen, apoi la ecuaţiile lui Lagrange.

Pentru a găsi noua formă a principiului lui d'Alembert, trebuie întâi înţeleasă bine calea prin care se trece de la ecuaţiile lui Lagrange la ecuaţiile lui Nielsen pentru a găsi calea inversă de trecere de la ecuaţiile lui Nielsen la cele ale lui Lagrange. Poate nişte notaţii noi ar fi interesante.

Nu, nu cunoastem, fix asta e. Stim deocamdata doar cum sa ajungem la ecuatiile Lagrange, iar apoi, avand ecuatiile Nielsen servite cadou, putem constata ca sunt echivalente. Sunt de acord insa cu restul paragrafelor, posibilitati sunt doua:

ori principiul are aceeasi forma dar trebuie urmat alt fir in calcule (ceea ce mi se pare mai plauzibil);
ori principiul trebuie scris sub alta forma si de acolo derivam ecuatiile Nielsen (si asta, dupa cum am zis, este posibil).

Ramane sa investighez.

Văd că l-ai luat pe „nu” în braţe. Păi, cum nu cunoaştem? N-ai decât să citeşti demonstraţia lui Michael Good de jos în sus, pornind de la o egalitate banală şi ajungi frumos la egalitatea dintre ecuaţiile lui Lagrange şi ecuaţiile lui Nielsen.

Of, for crying out loud, cred ca trebuie sa desenez.

Sa presupunem ca nu stim ecuatiile Lagrange, vrem sa gasim ecuatiile Nielsen, pornind de la un principiu, fie el d'Alembert sau altul.

Demonstratia lui se bazeaza pe faptul ca stie atat ecuatiile Lagrange cat si Nielsen, si supunandu-le egalitatii si facand calculele constata ca sunt echivalente.

Eu zic că nu putem presupune că nu cunoaştem ecuaţiile lui Lagrange. Ele există implicit în principiul lui d'Alembert şi (trebuie să) avem posibilitatea să le deducem logic. Dacă presupunem că avem limite în cunoaştere, atunci nu ştiu ce am mai putea deduce şi nu ştiu unde ne putem opri cu asemenea presupuneri.

Poti porni de la principiu pe un alt drum, ca sa vezi daca gasesti ecuatii noi. E ca in cazul ecuatiilor Maxwell daca vrei, conservarea sarcinii electrice poate fi dedusa din ele, sau poate fi postulata ca o lege de conservare necesara (cum a si facut Maxwell de fapt).

Asa e si aici, si ecuatiile Lagrange pot fi postulate separat, eu nu vreau decat sa fac un mic exercitiu de calcul din care sa rezulte forma Nielsen pornind de la un principiu (posibil sa fie tot d'Alembert). Sa vad ce idei imi mai vin in seara asta.

A fost o discutie fructuoasa, Abel!

Intr-adevar, tot de la principiul lui d'Alembert trebuia pornit si am reusit aznoapte, printr-o manipulare diferita a termenului ce contine sa gasesc forma Nielsen a ecuatiilor. Dupa ce ma mai eliberez de sarcinile zilei, o sa postez o schita a demonstratiei (cateva calcule laborioase, care vor manca ceva timp pentru a fi introduse in LaTeX).

Îţi mulţumesc pentru mărturisire şi mă bucur că ai „scăpat” de această problemă.

Apoi, poate vei găsi timp să-ţi apleci mintea ageră mai ales asupra unor probleme mult mai importante, care n-au fost încă rezolvate de absolut nimeni! Poate vei reuşi să ni le prezinţi într-o formă pe care s-o înţelegem într-atât de bine încât să putem veni cu idei fructuoase, aşa cum s-a întâmplat şi aici.