Inca o ecuatie cu factoriale

Sa se rezolve ecuatia stiind ca sunt numere naturale diferite intre ele.

Nu vrea nimeni sa rezolve ecuatia??????Nu va plac factorialele????????

Faceti greva si la factorialele astea?????

Se pare ca ecuatia nu are solutii pentru x,y,z naturale diferite .
Daca sunt diferite, atunci Y, sa spunem, este mai mare decat x, iar produsul celor doua factoriale il scriem ca:


Din relatia de mai sus, se observa ca pentru x=1, produsul celor doua factoriale poate fi un alt factorial dar asta inseamna ca y=z si nu corespunde conditiilor pe care le-ai pus, adica x,y,z naturale diferite.
Daca x este mai mare ca 1, atunci prima serie de produse, adica a acelor patrate perfecte, nu sunt numere naturale consecutive pana la x+1, deci nu poate fi un factorial.

curiosul,
Rationamentul tau este gresit...... Sunt solutii x,y,z naturale diferite intre ele!Astept si alte raspunsuri de la tine si de la altii.......

Iata o solutie:
.
Mai sunt si alte solutii.....

Cercetati (cautati) toate solutiile??????

Ai dreptate. Sunt o infinitate de solutii.
Si sunt date de formula
Ecuatia nu are solutii pentru z numar prim, pentru ca acesta nu poate fi exprimat ca produs de mai mult de doua numere naturale consecutive, singurul caz fiind z=2, care nu este o solutie a ecuatiei.
Ecuatia nu cred ca poate avea alte solutii decat cele care rezulta prin formula de mai sus, dar n-am analizat-o mai detaliat.
Nici nu sunt o prioritate pentru mine ecuatiile astea.
Si daca nu ti-a mai raspuns si altcineva pana acum, inseamna ca nici pentru altcineva nu sunt o prioritate.

curiosul,
Asa zisele solutii date de tine sunt evidente caci rezulta din insasi identitatea pentru si care nu sunt interesante deoarece te folsesti de trucul identitatii banale...... Cu ce formula obtii solutia ???
Din ecuatia propusa de mine rezulta imediat ca exista o relatie de ordine intre .....Care este aceasta relatie de ordine si cum putem incerca,avand in vedere aceasta relatie de ordine,sa rezolvam deci ecuatia ???

Da Amot.
Ai dreptate.
Si se pare ca ecuatia este un pic mai interesanta decat pare la prima vedere, pentru ca in cautarea solutiilor, intervine ceea ce imi place:
factorizarea.
Pentru ca 1x2x3x4x5x6=1x(2x4)x(2x5)x(3x3)=1x8x9x10 si este exact continuarea factorialului 7.
O sa o analizez deseara mai detaliat, sa vad daca gasesc o relatie care ordoneaza solutiile ecuatiei.
Intr-adevar e interesanta.
Pentru in factorizare apar numerele prime si o astfel de relatie poate fi exprimata in functie de numerele prime.
Iti raspund diseara ca acum tre sa plec la servici.
Cu stima.

curiosul,
Incepi sa te apropii de rezolvare...... Cum putem gasi toate solutiile ecuatiei?????Exista vreo formula???

curiosul a scris:Ecuatia nu are solutii pentru z numar prim, pentru ca acesta nu poate fi exprimat ca produs de mai mult de doua numere naturale consecutive, singurul caz fiind z=2, care nu este o solutie a ecuatiei.

Necunoscuta z din acea ecuatie poate fi numar impar????????

Ti-am analizat ecuatia.
Este intr-adevar interesanta.
Dar nu cred ca mai sunt alte solutii in afara celor care rezulta din formula clasica, pe care ti-am aratat-o,
n! x (n!-1)!=(n!)!
si exceptia pe care ai spus-o tu 6! x 7!= 10!.
O demonstratie pentru asta este ceva mai costisitoare pentru ca rationamentul demonstratiei este strans legat de distributia numerelor prime.
Oricum, eu am inceput sa plec de la rationamentul:
Daca notam t! cu
,
atunci

Daca este cel mai mare numar prim care divide produsul ,
acesta din urma nu este in niciun caz un factorial daca nu se divide cel putin cu ,
unde este mai mic decat ,

adica .

Pentru ca de la 1 la , din 2 in 2 sunt numere care se divid cu 2, din 4 in 4 sunt numere care se divid si cu 4, din 8 in 8 numere care se divid si cu 8 etc, iar pentru ca factorialul este un produs trebuie sa se divida cel putin cu .
Dar nu numai.

La fel trebuie procedat si cu toate numerele prime mai mici decat cel putin.

Cu alte cuvinte, produsul trebuie sa se divida cu cel putin toate numerele prime mai mici decat .
Este prima conditie insuficienta dar NECESARA ca produsul sa poata fi un factorial.
Implica cumva indirect ca niciunul din termenii produsului sa nu fie prim, ca acest produs sa poata fi un factorial.
Pentru moment nu reusesc sa demonstrez dar din cate am calculat sansele sunt mici sa mai fie o astfel de solutie care sa fie exceptia de la formula clasica.
O sa mai incerc totusi.
Poate ma insel.

curiosul,
Obsesia ta pentru numerele prime te departeaza de gasirea solutilor ecuatiei......
Demonstratia ca z nu e numar prim in cazul ecuatiei propuse in acele conditii este simpla si evidenta daca tu incerci sa rezolvi ecuatia considerand o relatie ordine intre numerele x,y,z pentru ca acestea sa fie diferite intre ele....
Numarul z din ecuatia propusa de mine in acele conditii poate fi numar impar????????

Obsesia mea pentru numere prime, nu ma departeaza de gasirea solutiilor ci ma ajuta sa inteleg ca nu mai pot fi altele.
Ai mai gasit tu vreuna?

Pentru ca daca P(n) este cel mai mare numar prim care divide produsul :
a(a+1)(a+2)(a+3)...(a+k), conditia numarul 1 ca acest produs sa fie un factorial 1*2*3*4*..*t, este ca produsul
a(a+1)(a+2)(a+3)...(a+k) sa se divida cu cel putin orice numar prim mai mic/egal cu P(n).
Daa exista vreun numar prim mai mic decat P(n) care nu divide a(a+1)(a+2)(a+3)...(a+k), atunci factorialul t! nu contine nici acel numar prim nici vreun multiplu al sau, si pentru ca factorialul nu poate fi mai mic decat acel numar prim P(n) adica cel mai mare numar prim care divide a(a+1)(a+2)(a+3)...(a+k), produsul a(a+1)(a+2)(a+3)...(a+k), nu poate fi un factorial.
Daca a(a+1)(a+2)(a+3)...(a+k) nu este un factorial t!, atunci nu are loc relatia
t! * (a-1)!=(a+k)!
De aceea cred eu ca nu mai pot fi alte solutii, nu din cauza obsesiilor.
Singurele solutii sunt exceptia pe care ai aratat-o:
6!*7!=10! si cele care rezulta din formula:
n!*(n!-1)!=(n!)!
Ai mai gasit tu vreuna?

curiosul,
Eu am propus o problema si te rog foloseste datele problemei adica x,y si z ca e greu sa inteleg ce spui.....ai obsesia numerelor prime si mai bagi si alte necunoscute cum ar fi Pn si a.......Cine este a si de unde rezulta prin rationamentul tau???????

Sa vad cat timp am acum.
Daca nu o sa-ti dezvolt mai logic toata explicatia diseara pentru ca acum nu am timp sa folosesc LaTex-ul.
Oricum,
deci putem gasi solutii, acestea fiind infinite, prin formula generala a factorialului, inlocuind necunoscuta cu un factorial:
n! * (n!-1)! = (n!)!
Tu ai gasit o exceptie de la regula prin exemplul :
6! * 7! = 10!

Din cate am analizat, nu mai pot exista alte solutii, sau sansele sunt extrem de mici ca sa mai poata fi o alta solutie ca si exceptie de la prima formula.

Poti sa imparti un factorial in doua produse, unul care contine numerele naturale consecutive pana la m, sa spunem si unul care sa contina toate numerele naturale consecutive de la m+1 la t.
Ecuatia ta are solutii daca putem exprima produsul de la m+1 la t ca un factorial de x, adica un produs de la 1 la x.
Dar daca produsul de la m+1 la t se divide cu cel mai mare numar prim p(n), ca sa poata fi un factorial, produsul de la m+1 la t, trebuie sa se divida cu toate numerele prime mai mici decat P(n).
Pentru ca daca produsul de la m+1 la t se divide cu P(n), nu poti exprima acest produs sub forma de alt produs care sa nu contina ca si factor , acest numar prim P(n).
Deci asta inseamna ca si factorialul sub forma in care ar putea fi scris produsul de la m+1 la t, trebuie sa contina pe P(n).
Dar si orice numar prim mai mic decat P(n), pentru ca factorialul trebuie sa contina TOATE numerele prime pana la P(n).
Alegand aleatoriu un interval de numere consecutive, asta inseamna ca in factorizarea acelor numere sa apara orice numar prim pana la un cel mai mare numar prim care divide unul dintre acei factori.
Probabilitatea este mica.
Foarte mica.
O sa-ti explic mai detaliat diseara, cu un rationament mai simp[lu.

curiosul,
Ma exasperezi cu numerele tale prime!!!!Conform ecuatiei propuse rezulta ori ori .Sa presupunem atunci evident rezulta ca si si deci ecuatia devine adica .Putem scrie ca unde .Cum rezolvam in continuare?????Recunosc ca inca mai cercetez sa gasesc si alte solutii diferite de cele evidente rezultate din identitatea banala si solutia x=6,y=7,z=10.

Salut AMOT !
In primul rand te exasperezi degeaba.
Ai dezvoltat corect factorialii, insa aceasta dezvoltare nu te ajuta sa gasesti solutii.
Rationamentul meu care te exaspereaza, arata ca probabilitatea sa mai existe alte solutii este foarte, foarte mica.
De ce ?
Pentru ca:


Pana aici suntem de acord.
Daca necunoscuta n de mai sus este z-ul din ecuatia ta,atunci z il putem exprima ca fiind produsul dintre numerele consecutive pana la x,
unde si ceilalti factori care raman pana la z, adica:




Singura problema care se ridica acum este, exista x, z astfel incat:
???

Nu stim, dar incercam sa intelegem daca exista o conditie minima ca acel produs,

sa poata fi un factorial, adica:


Si se pare ca exista o asemenea conditie.
Fie , cel mai mare numar prim care divide produsul .
Asta inseamna ca, fie unul din factorii produsului este numarul prim , fie unul din factori se divide cu .

Mai babeste, fie factorii produsului:

In acest caz, 23 este cel mai mare numar prim care divide produsul respectiv.
Dar pentru ca pe 23 nu il poti exprima ca un produs de numere prime mai mici decat acesta, inseamna ca nu poti exprima produsul fara ca unul din factori sa fie 23,
iar asta inseamna si ca incercand sa scrii produsul ca fiind un factorial, adica ca un produs de la 1 la y, implica direct ca 23 trebuie sa fie mai mic cel putin egal cu y,
pentru ca daca desfaci in factori primi produsul , obtii :


Dar acesta nu este un factorial ; nu contine toate numerele consecutive pana la 23.

Din ce am scris mai sus, rezulta, dupa cum te-am exasperat si pana acum, ca produsul TREBUIE sa se divida cu cel putin toate numerele prime mai mici decat ,

unde este cel mai mare numar prim care divide produsul
.
Este prima conditie.
Daca nu este indeplinita nu poti exprima acel produs ca fiid un factorial.
Din exemplul tau, , rezulta ca

deci ca:
.

Din ceea ce ti-am scris, pentru mine probabilitatea sa mai fie inca o solutie, exceptie de la formula clasica, din cate inteleg distributia numerelor prime, NU MAI EXISTA.
Pentru mine nu mai este important sa incerc sa-ti si demonstrez asta.
Tu poti sa cauti in continuare daca tii neaparat sa gasesti solutii, asa ca :
Exasperare placuta in continuare si Paste fericit!

Salut curiosul!
Din si unde rezulta ca unde este un numar intreg.....
Iti doresc sa pasti in liniste si pace pe campul tau de numere prime pana la batranete.......