Vectorii şi dimensiunile

Am scris pe blogul meu un articol despre o legătură interesantă dintre derivatele vectorilor şi dimensiunile lor, iar un anonim mi-a propus să iniţiez o discuţie pe această temă pe forum.

Ce părere aveţi despre legătura dintre derivata unui vector şi faptul că aceasta introduce o dimensiune suplimentară?

Eu am alt punct de vedere aici. Scrierea unui vector ca este într-un alt sistem de coordonate față de scrierea standard . În loc să specifici componenta pe fiecare axă carteziană, ai luat direct modulul și ai specificat direcția cu formula standard în coordonate sferice pentru un vector de modul unitate (n-o rescriu aici dar cred că înțelegi la ce mă refer).

Ideea e că derivata e aceeași în ambele scrieri, și e tot un vector tridimensional.
Dacă folosești coordonatele carteziene, direcțiile fiind fixe, derivata ar fi , deci o combinație de trei termeni liniar independenți. Dacă o să lucrezi în coordonate sferice, tot la trei termeni liniar independenți ajungi într-un final: vectorul obținut din derivata modului are în mod evident trei componente (cele care alcătuiesc versorul radial) + cel din derivata versorului însuși. Și acesta din urmă are tot trei componente în aceeași bază carteziană, deoarece la derivare variază numai unghiurile care specifică direcția în baza dată.

omuldinluna a scris:Scrierea unui vector ca este într-un alt sistem de coordonate față de scrierea standard . În loc să specifici componenta pe fiecare axă carteziană, ai luat direct modulul și ai specificat direcția cu formula standard în coordonate sferice pentru un vector de modul unitate (n-o rescriu aici dar cred că înțelegi la ce mă refer).

Corect. Dar nu văd de ce ar conta asta.

Ideea e că derivata e aceeași în ambele scrieri, și e tot un vector tridimensional.

Într-adevăr, derivata e aceeaşi (doar matematica n-o să se contrazică), dar nu sunt de acord că este tot un vector tridimensional. Ce numeşti tu un vector tridimensional? Unul la care toate cele trei componente sunt nenule? Dacă nu, atunci de ce nu-l numeşti cuadridimensional?

Dimensiunea vectorului este aceeași cu a spațiului în care decizi să lucrezi. Dacă lucrezi în e tridimensional, dacă lucrezi în e cuadrimensional, și așa mai departe. Ideea e că și derivata vectorului o să aibă tot x componente, orientate de-a lungul celor x axe independente, unde x este dimensionalitatea spațiului tău. Evident unele pot să fie nule, dar într-un final și vectorul derivat poate fi scris ca o combinație liniară a vectorilor din aceeași bază în care era scris vectorul original, deci nu apare nici o dimensiune suplimentară.

omuldinluna a scris:Dimensiunea vectorului este aceeași cu a spațiului în care decizi să lucrezi. Dacă lucrezi în e tridimensional, dacă lucrezi în e cuadrimensional, și așa mai departe.

Tocmai asta este şi problema pusă de articol. În care spaţiu este bine să decizi să lucrezi? Pe ce criterii stabileşti dimensiunea unui vector? De ce nu stabileşti ca având doar o singură dimensiune toţi vectorii cu care lucrezi?

Ideea e că și derivata vectorului o să aibă tot x componente, orientate de-a lungul celor x axe independente, unde x este dimensionalitatea spațiului tău. Evident unele pot să fie nule, dar într-un final și vectorul derivat poate fi scris ca o combinație liniară a vectorilor din aceeași bază în care era scris vectorul original, deci nu apare nici o dimensiune suplimentară.

Dacă decizi să porneşti cu vectorul de la o singură dimensiune, atunci inevitabil derivata îţi aduce o dimensiune în plus.

Aprofundează chestiunea şi vei găsi întâi o legătură cu formulele lui Frenet, după care cu teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet.

Răspunsul la prima întrebare ține de natura problemei tale. Un răspuns foarte general, dacă ne referim la fizică, este următorul: într-un spațiu având o dimensiune egală cu numărul gradelor de libertate ale sistemului pe care îl studiezi. Exemple: pentru un sistem mecanic, alcătuit din puncte materiale, acesta este egal cu triplul numărului de puncte materiale care îl alcătuiesc, din care scazi numărul de legături la care acestea sunt supuse (am mai discutat la câmpul central); pentru o suprafață elastică, numărul este egal cu 2*l+1, unde l este multipolaritatea vibrației pe care o descrii (poți avea mișcare de monopol, dipol, cuadrupol, octupol, hexadecapol și așa mai departe).

N-ai cum să pornești cu un vector având o singură dimensiune, decât dacă baza în care îl descompui are un singur element. Derivata nu poate decât să varieze componentele, fără să schimbe numărul de elemente din bază. Își repet ce ți-am mai spus odată, în exemplul din articolul tău nu ai introdus nici o dimensiune suplimentară, ambii termeni obținuți la derivare se descompun în aceeași bază cu vectorul nederivat.

Abel Cavaşi a scris:Tocmai asta este şi problema pusă de articol. În care spaţiu este bine să decizi să lucrezi? Pe ce criterii stabileşti dimensiunea unui vector? De ce nu stabileşti ca având doar o singură dimensiune toţi vectorii cu care lucrezi?

Referitor la "rostul modulului derivat r" (nu am putut copia exact forma lui r cu punct) , spuneati ca: " el ne arata cat de variabil este in directie vectorul r, deci cat de repede se abate de la directia instantanee vectorul r"
Asta nu este exact "curbura" si "torsiunea"?
Un vector poate avea modul constant (versor) ,directie constanta, si totusi sa isi modifice "proprietatile" rasucindu-se de exemplu.
Daca se "pierd" pe drum din proprietatile traiectoriei atunci sistemul cartezian ales ca reper nu este suficient.
Asta inseamna ca poate exista inca o "dimensiune" din care pot "privi" traiectoria si care imi "dezvaluie" alte "proprietati" ale traiectoriei.
Problema este care dimensiune imi " arata" toate proprietatile traiectoriei?
Din recurenta teoremei lui Fernet se poate observa ca exista o anumita "dimensiune" (ordinul maxim al triedrului Frenet ce "caracterizeaza" traiectoria, sau cum a mai fost numita de Abel :"ordinul" miscarii.)
Din ce in ce mai interesant.

omuldinluna a scris:Răspunsul la prima întrebare ține de natura problemei tale. Un răspuns foarte general, dacă ne referim la fizică, este următorul: într-un spațiu având o dimensiune egală cu numărul gradelor de libertate ale sistemului pe care îl studiezi. Exemple: pentru un sistem mecanic, alcătuit din puncte materiale, acesta este egal cu triplul numărului de puncte materiale care îl alcătuiesc, din care scazi numărul de legături la care acestea sunt supuse (am mai discutat la câmpul central); pentru o suprafață elastică, numărul este egal cu 2*l+1, unde l este multipolaritatea vibrației pe care o descrii (poți avea mișcare de monopol, dipol, cuadrupol, octupol, hexadecapol și așa mai departe).

Nu poţi stabili numărul gradelor de libertate fără derivată. Altfel spus, ceea ce propui tu este echivalent cu ceea ce propun eu, doar că propunerea mea este mai clară şi mai simplă.

N-ai cum să pornești cu un vector având o singură dimensiune, decât dacă baza în care îl descompui are un singur element.

Baza are un singur element atunci când ai un singur vector fără termen de comparaţie. Orice dimensiune suplimentară este necesară doar atunci când ai cu ce să compari comportarea unui vector. În ultimă instanţă, orice comparaţie cu alţi vectori implică o derivată şi orice derivată implică o comparaţie între doi vectori. Dacă nu există vectori de direcţii diferite, atunci nu ai nici dimensiuni diferite.

Dacă n-ar exista decât vectori coliniari, atunci ar fi suficient spaţiul unidimensional. Dacă nu ar exista decât vectori coplanari, atunci ar fi suficient spaţiul bidimensional. Şi aşa mai departe. Aşadar, faptul că există spaţiu tridimensional se datorează existenţei unor vectori care nu sunt coplanari, vectori care ies din plan, mai precis, versori care sunt perpendiculari pe plan, deci perpendiculari pe alţi doi versori reciproc perpendiculari ei înşişi.

Orice dimensiune în plus aduce cu ea în plus un alt versor perpendicular pe versorii cunoscuţi deja. Ea (dimensiunea în plus) nu este necesară dacă nu ar exista versori suplimentari perpendiculari ca termeni de comparaţie. Deci o dimensiune în plus nu e necesară dacă niciun versor nu se poate mişca (şi) în acea dimensiune. Dar orice mişcare implică o derivată. Şi astfel apare legătura între derivata vectorilor şi dimensiunea spaţiului.

Derivata nu poate decât să varieze componentele, fără să schimbe numărul de elemente din bază.

Nu. De exemplu, derivata tangentei aduce cu sine un versor suplimentar, perpendicular pe tangentă: normala. Deci, în acest exemplu se vede că derivata unui versor dintr-o dimensiune ne obligă să introducem încă un versor perpendicular pe dimensiunea versorului derivat. Chiar dacă mişcarea ar avea loc doar în linie dreaptă, normala continuă să coexiste alături de tangentă (tangentă la dreaptă), doar că modulul derivatei tangentei ar fi nul în acest caz.

Altfel spus, există toate elementele bazei deja, numai că valorile componentelor pot să difere, pot să fie nenule sau nule. Iar de aici până la a conveni că valorile componentelor sunt date tocmai de derivatele celorlalţi versori (precum arată formulele lui Frenet) nu este decât un pas.

Își repet ce ți-am mai spus odată, în exemplul din articolul tău nu ai introdus nici o dimensiune suplimentară, ambii termeni obținuți la derivare se descompun în aceeași bază cu vectorul nederivat.

Gândeşte-te la exemplul cu derivata tangentei şi vei înţelege că derivata tangentei te obligă să iei în considerare două dimensiuni.

Syntax a scris:Referitor la "rostul modulului derivat r" (nu am putut copia exact forma lui r cu punct) , spuneati ca: " el ne arata cat de variabil este in directie vectorul r, deci cat de repede se abate de la directia instantanee vectorul r"
Asta nu este exact "curbura" si "torsiunea"?

Ba, cum să nu? Observaţia este excelentă! Evident, prima derivată a unui vector ne dă „curbura” acelui vector. Numai că în lumea de astăzi nu se ştie asocia „curbură” oricărui vector, ci numai vectorului tangent la o traiectorie parcursă de un mobil. Atunci când toţi vor înţelege ceea ce ai observat tu, şi anume că orice vector are o „curbură”, atunci Fizica va arăta altfel.

Un vector poate avea modul constant (versor) ,directie constanta, si totusi sa isi modifice "proprietatile" rasucindu-se de exemplu.
Daca se "pierd" pe drum din proprietatile traiectoriei atunci sistemul cartezian ales ca reper nu este suficient.
Asta inseamna ca poate exista inca o "dimensiune" din care pot "privi" traiectoria si care imi "dezvaluie" alte "proprietati" ale traiectoriei.
Problema este care dimensiune imi " arata" toate proprietatile traiectoriei? Din recurenta teoremei lui Fernet se poate observa ca exista o anumita "dimensiune" (ordinul maxim al triedrului Frenet ce "caracterizeaza" traiectoria, sau cum a mai fost numita de Abel :"ordinul" miscarii.)
Din ce in ce mai interesant.

Altă observaţie excelentă! Într-adevăr, ordinul maxim ne dă dimensiunea, iar acel ordin depinde de „cât de derivabil” este lancretianul (raportul dintre curbură şi torsiune). Dacă lancretianul este nul, atunci dimensiunea este unu, traiectoria fiind o dreaptă. Dacă lancretianul este constant, atunci dimensiunea este doi, traiectoria fiind o elice. Dacă lancretianul este variabil, dar este constant lancretianul de ordinul doi, atunci dimensiunea este trei, traiectoria fiind o curbă de precesie constantă. Şi aşa mai departe.

Razvan a scris:
Dacă toate evenimentele se produc într-un spaţiu euclidian plat pe aceaşi axă temporală, n-am putea interpreta deformarea acelui spaţiu ca fiind produsă de către o altă dimensiune temporală, perpendiculară pe prima?
În acest caz, masa de repaus n-ar fi decât deplasarea unui obiect, cu o anumită viteză, pe acea axă a timpului, la fel cum masa inerţială este determinată de viteza obiectului în raport cu axa temporală ataşată spaţiului euclidian plat?

Dar de ce va opriti la o singura dimensiune temporala perpendiculara pe prima?
Abel deja a aratat ca daca exista un triedru sa-i spunem "temporal" in cazul nostru atunci exista inca unul de ordin superior.
Ar fi interesant de analizat matematic aceasta "dinamica" a timpului si pana la ce "ordin" se ajunge?Sa fie o elicoida? Ce se intampla cu "dinamica" timpului daca timpul il "readuc" spre 0?
Inca nu sunt in stare sa lucrez cu versori la nivelul asta. Poate ca nu e nimic deosebit de aflat.Dar pana nu incerc , nu am de unde sa stiu!

Razvan a scris:

încerc să-mi imaginez producerea unor fenomene fizice ca fiind efectul unor dimensiuni temporale suplimentare.

Eu prefer să epuizăm întâi posibilităţile de studiu pe care ni le oferă dimensiunile pe care le avem deja. Oare le-am epuizat?

Syntax a scris:Abel deja a aratat ca daca exista un triedru sa-i spunem "temporal" in cazul nostru atunci exista inca unul de ordin superior.
Ar fi interesant de analizat matematic aceasta "dinamica" a timpului si pana la ce "ordin" se ajunge?Sa fie o elicoida? Ce se intampla cu "dinamica" timpului daca timpul il "readuc" spre 0?

Să nu uităm că teorema de recurenţă este foarte generală. În sensul că se aplică oricărui sistem de trei versori, de orice natură ar fi aceştia, spaţială, temporală, electrică, termică sau mai ştiu eu ce altă natură fizică vreţi să aibă. De aceea, poate ar fi mai bine să vă concentraţi întâi la dimensiunile spaţiale, mai uşor de înţeles, după care puteţi aplica teorema în orice spaţiu, cu orice dimensiuni fizice pe axe.

In electromagnetism marimile fundamentale (sarcina electrica, curent electric, tensiune electrica, inductie magnetica, intensitate a campului electric) au fost tratate premergator in ecuatiile lui Maxwell si ale celor de dupa el.
Interactiunile specifice sunt descrise de vectorii marimilor specifice.
Un caz interesant este cand marimile vectoriale au module sinusoidale.
O marime sinusoidala presupune -teoretic-o derivabilitate de un numar infinit de ori.
Se cunosc semnificatiile marimilor pana la derivate de ordin redus. Derivatele de ordin superior sunt finite. Ce marimi ar putea reprezenta aceste derivate superioare?
Eu cred ca se poate intui un univers turbionar, in care notiunea de rotor sau alte marimi specifice sa duca la o reprezentare-cel putin matematica- a unor fenomene "ascunse". Astfel de fenomene le-a abordat printre altii si Maxwell, in a carui viziune el intuia un eter , local turbionar.
Pe topicul Fenomene electromagnetice s-a abordat la un moment dat acest subiect al derivatelor de ordin superior al unei marimi sinusoidale ( Eugen, MM, Cadi).