Amănunte privind traiectoria unui mobil

Frământat fiind încă de o problemă lansată de omuldinluna (pe care, din păcate, am catalogat-o drept banală), deschid aici un topic în care să analizăm traiectoriile din perspectivă teoretică. Sper că în acest topic omuldinluna va primi răspunsul complet pe care mi l-a cerut.



Pentru a determina pe cale experimentală traiectoria unui mobil suntem nevoiţi să facem măsurători ale poziţiilor succesive pe care le ocupă de-a lungul timpului acel mobil în mişcarea sa prin spaţiu.

Dacă vom determina un singur punct P0 al traiectoriei, aceasta va rămâne totuşi nedeterminată, deşi vom avea o informaţie suplimentară preţioasă prin care am eliminat o groază de îndoieli. Mai exact, având determinat un punct, putem şti deja măcar pe unde trece traiectoria, chiar dacă prin acel punct pot trece o infinitate de alte traiectorii.

Dacă vom mai găsi un punct P1 în care se află mobilul la un moment ulterior, vom fi în situaţia în care cunoaştem deja două puncte distincte ale traiectoriei mobilului. În această situaţie am mai eliminat una dintre nedeterminările noastre privind traiectoria mobilului (nedeterminări în număr infinit). Mai exact, în porţiunea în care am găsit cele două puncte, traiectoria poate fi aproximată cu dreapta unică ce trece prin acele două puncte, dreapta P0P1. Aşadar, cunoscând două puncte distincte ale traiectoriei, cunoaştem dreapta pe care se deplasează mobilul în acea regiune şi chiar şi viteza (medie) cu care se deplasează. Dacă cele două puncte determinate la momente diferite de timp coincid, atunci putem trage concluzia că viteza mobilului este nulă.

Dar, desigur, două puncte nu vor fi suficiente pentru a putea decide care este forma traiectoriei într-o anumită porţiune a ei. Aceasta deoarece între cele două puncte mobilul se poate deplasa într-o infinitate de moduri, pe o infinitate de drumuri ce trec prin acele două puncte. Aşadar, vom purcede la determinarea a încă unui punct ulterior P2 al traiectoriei. Fiind acum în posesia a trei puncte distincte, precizia cu care am determinat traiectoria a crescut. Acum avem nu doar o singură dreaptă ce aproximează traiectoria (dreapta P0P1), ci chiar două asemenea drepte, P0P1 şi P0P2. Dacă cele două drepte sunt distincte (caz în care cele trei puncte P0, P1 şi P2 sunt necoliniare), atunci cunoaştem deja chiar şi planul în care se află traiectoria în acea regiune. Mai exact, cum prin trei puncte distincte trece un unic cerc, dacă cunoaştem trei puncte distincte şi necoliniare ale traiectoriei, atunci traiectoria poate fi aproximată cu cercul unic care trece prin cele trei puncte. Acest cerc are o anumită curbură, deci putem spune că trei puncte distincte ale traiectoriei ne furnizează deja nu doar viteza (cum ne furnizau primele două puncte), ci chiar şi curbura traiectoriei. Dacă cele două drepte determinate la momente diferite de timp coincid, atunci putem trage concluzia că curbura traiectoriei mobilului este nulă.

Evident, nici trei puncte nu vor fi suficiente pentru a ne putea elimina complet orice îndoială privind traiectoria mobilului. Aşadar, determinarea celui de-al patrulea punct P3 nu poate fi decât binevenită. Dar să vedem ce informaţie suplimentară ne aduce acest al patrulea punct. În primul rând, vom presupune că (aşa cum se întâmplă în general) al patrulea punct nu se află în planul primelor trei puncte. Altfel spus, punctele P0, P1, P2 şi P3 sunt necoplanare. În acest caz, cercurile unice P0P1P2 şi P0P1P3 determinate de primele trei puncte şi de primele două cu al patrulea vor fi necoplanare. Din acest motiv, dreptele perpendiculare pe planele celor două cercuri vor face un unghi nenul. Dar acest unghi nenul este tocmai unghiul dintre binormalele la traiectorie. Ori, acest unghi ne dă tocmai torsiunea traiectoriei. Dacă cele două cercuri determinate la momente diferite de timp coincid, atunci putem trage concluzia că torsiunea traiectoriei mobilului este nulă. Dar atunci cu ce poate fi aproximată traiectoria când cunoaştem patru puncte distincte necoplanare (deci şi neconciclice) ale ei?



Înainte de a trece mai departe, voi aştepta răspunsul vostru la această ultimă întrebare, pentru a mă asigura că aţi înţeles până aici demersul meu. Căci mai încolo am să vă introduc într-o lume complet nouă şi virgină pe care n-a mai întâlnit-o nimeni până în prezent: lumea de după cele patru puncte, văzută ca o continuare a raţionamentelor anterioare.