Conjectură

Dacu a scris:Dacă şi sunt cel mai mic număr prim şi respectiv cel mai mare număr prim din intervalul unde atunci pentru orice .

curiosul a scris:Dacule,
raportat la conjectura lui Andrica,
conjectura ta este buna, dar este insuficienta.
Ca sa rezulte conjectura lui Andrica din conjectura ta, trebuie demonstrat mai intai ca pentru orice k natural al intervalului conjecturii tale, exista cel putin doua numere prime in acel interval, iar pentru k suficient de mare, rezulat conjectura lui Andrica.

Dar ideea de baza este buna si prin rationamentul pe care l-ai folosit am putea verifica conjectura lui Andrica, raportand la logaritmul natural valoarea lui k, pentru care oricare doua numere prime consecutive se pot gasi in intervalul (nk , n(k+1) ).
Daca in jurul valorii lui n(k+1) diferenta medie aproximativa dintre doua numere prime consecutive este logaritmul natural al lui n(k+1), ai putea sa stabilesti valoarea aproximativa minima a lui k in functie de logaritmul natural al lui n(k+1).
Dar analizand in acest fel conjectura se ofera doar o anumita probabilitate de adevar a conjecturii ( mare ce-i drept), insa nu o demonstratie elementara.

1.- Este posibil ca să existe vreun interval de numere naturale definit de conjectura mea în care să fie cel mult un număr prim?

Este posibil chiar , pentru numere suficient de mari, sa nu existe niciun numar prim, pentru ca ar insemna ca in orice interval de 100 de numere naturale consecutive sa existe cel putin un numar prim, presupunere foarte probabil falsa dupa parerea mea.

2.- Este posibil ca să existe vreun interval oarecare şi oricât de mare de numere naturale consecutive în care să fie cel mult un număr prim?

Sigur ca da. Exista intervale de numere naturale consecutive care tind catre infinit in care nu exista niciun numar prim chiar. Un exemplu simplu este intervalul ( n!+1 , n!+n). Imagineaza-ti un n infinit de mare. Vei vedea ca in acel interval nu exista niciun numar prim.

3.- Cât de mare poate fi diferenţa dintre două numere prime consecutive?

Asta este o intrebare buna iar raspunsul la ea este dificil.

meteor a scris:

Dacu a scris:Dacă şi sunt cel mai mic număr prim şi respectiv cel mai mare număr prim din intervalul unde atunci pentru orice .

Ideea e ca dupa un anumit numar, vei putea intilni o infinitate de intervale (100k, 100k +100) care sa contina unu sau nici un numar prim. In asa caz, conjectura nu mai merge la nimic.
Pun pariu ca asa e.

nu poate fi oricât de mare

totedati a scris:

nu poate fi oricât de mare

dar ce înțelegem prin oricît de mare!? cum formulăm dpdv matematic această afirmație!? oricît de mare față de ce? de alt număr natural? alt număr prim?

totedati a scris:
nu înțeleg rolul unor limite arbitrare de genul 100k +100 și k≥21 cînd pentru orice nr. prim Pₖ avem un număr mai mare ca el care nu e prim!

și din acest simplu fapt se poate demonstra că există un număr M pentru care Pₖ+1=M număr natural mai mare ca acesta!

e ca și cum am încerca să arătăm că ultimul număr natural din șirul numerelor naturale, cel mai mare decît toate celelalte, e un număr prim sau nu!

interesantă problemă dar demonstrabil inconsistentă dpdv logic pentru că din momentul în care am ales acest cel mai mare număr prim automat apare și numărul (Pₖ+1) care e tot număr natural!

și e de domeniul evidenței că (Pₖ+1)>Pₖ! deci diferența nu poate fi cea mai mare pentru că Pₖ nu e cel mai mare număr natural!

mai interesante mi se par relațiile de genul

pt (a,b,c)∈ℕ*

√a+√b+√c>√(a+b)
√a+√b+√c>√(a+c)
√a+√b+√c>√(b+c)
√a+√b+√c>√(a+b+c)

și din ele să ajungem cumva la conjectura lui andrica care empiric pare adevărată ...

concret pentru expresia ta
pt. k∈(1,10000) avem MAX(P₍ₖ₊₁₎ - Pₖ)=72
P₃₃₈₆ - P₃₃₈₅ = 31469 - 31397 = 72

și e doar una bucată în tot șirul cel 10k primele nr. prime!

următorul MAX e 64, tot exemplar unic:

P₈₆₈₉ - P₈₆₈₈ = 89753 - 89689 = 64

și după aia următorul e 62 ... cu cît scade diferența cu atît mai multe numere prime apar

meteor a scris:nis eu nu inteleg patratelele alea

Character: √ U+221A
Name: SQUARE ROOT
Alias names: radical sign