Postulatul constanţei vitezei luminii şi parametrizarea canonică

Ce înseamnă, mai precis, a parametriza canonic o traiectorie?

A scrie ecuaţia traiectoriei într-o asemenea formă încât derivata poziţiei să aibă modulul egal cu unitatea.

Adica sa treci intr-un sistem de referinta in care viteza particulei este pur si simplu ?

Imposibil nu e, dar zau de vad la ce te-ar putea ajuta, pentru ca e un sistem de referinta neinertial. In problema celor doua corpuri de exemplu, ar fi un sistem de referinta atasat unuia dintre corpurile antrenate in miscarea gravitationala, accelerand si franand odata cu acesta pentru a satisface in permanenta acea constrangere. Nu poti sa faci nimic din punctul de vedere al fizicii teoretice in asa ceva, si nici din punct de vedere practic nu prea are aplicatii.

Miscarea e intotdeauna mai simpla intr-un referential inertial, iar legile mecanicii sunt invariante la referentialul inertial ales, deci nu vad pentru ce nevoia de a ne complica.

Din câte ştiu eu, parametrizarea canonică simplifică ecuaţiile. Mai mult, o asemenea parametrizare (ridicată la rangul de postulat, aşa cum propune Fizica elicoidală) leagă ecuaţiile de corpuri reale (deci, de traiectoriile lor), nu de sisteme de referinţă utopice aflate undeva în repaus. Astfel, Fizica elicoidală devine o Fizică a traiectoriilor (materiale), nu a punctelor (materiale). Pesemne că ar trebui inventat un aparat matematic ad-hoc pentru Fizica elicoidală prin care să putem opera direct cu traiectoriile, fără să le mai reducem la o infinitate de puncte.

Uite, în problema câmpului central, eu lucrez în acel sistem de coordonate în care viteza centrului de masă a sistemului fizic e nulă. Poți să lucrezi și într-un sistem în care centrul de masă se află la rândul său în mișcare, dar nu adaugi decât o translație trivială a întregului sistem peste mișcarea sa internă, care este de fapt cea interesantă din punct de vedere fizic.

Fie că lucrezi așa, fie că alegi acel sistem de referință care să satisfacă constrângerea canonică propusă de tine, cu modulul unitar al vitezei, tot mișcarea corpurilor este cea pe care o studiezi. Mă îndoiesc însă că această variantă are cum să fie mai simplă. Încearcă să scrii ecuații de mișcare având această constrângere, să vezi ce iese.

Că tot am adus vorba, lagrangianul general al problemei celor două corpuri era



Am luat cel mai general potential, viteza cu majuscula este a centrului de masa iar cea cu minuscula este viteza relativa dintre corpuri. Pe care dintre cele doua aplici conditia de canonicitate?

Gata! Mi-am amintit! 

Ceea ce propui tu se folosește și în fizica actuală. Se numește teoria Hamilton-Jacobi și în esență constă în găsirea acelor transformări care să-ți transforme gradele de libertate ale sistemului fizic supus interacțiilor în grade de libertate independente, căci numai aceastea evoluează cu o viteză constantă (deci corespunde parametrizării tale canonice). E o poveste întreagă chestia asta, atât în fizică cât și în geometrie pură (s-ar putea să fie chiar ceea ce propui tu, dar cu alt nume). Eu unul n-am folosit-o concret niciodată și mare lucru nu-mi amintesc acum, dar ea există.

Mă bucur că există!
Nu pricep eu prea multe de-acolo, dar mă bucur că poate constitui o punte de legătură cu Fizica actuală. Şi sunt o mulţime de alte punţi, sunt convins. Totul este să avem mintea deschisă şi să vedem ce putem face pentru Fizica viitorului.

M-am exprimat și eu ca din drujbă. Ideea e așa. Presupunem că avem un sistem fizic făcut din N particule. Ăsta are 3N grade de libertate carteziene, care însă pot fi supuse la diverse legături (particule constrânse să se miște pe diverse suprafețe, la distanțe fixe unele față de altele etc.).

Dacă aceste legături sunt olonome, adică pot fi exprimate sub forma unor egalități între coordontele particulelor, numărul de grade de libertate independente ale sistemului este 3N-k, k fiind numărul legăturilor. Să presupunem că rămânem astfel cu n grade de libertate independente.

Fiecare dintre aceste grade de libertate satisface o ecuație diferențială de ordinul doi, numită ecuație Lagrange. Dacă rezolvi acest set de n ecuații, ai determinat evoluția în timp a fiecărui grad de libertate și ai obținut traiectoria sistemului. Acest lucru poate să fie însă extrem de complicat.

Alternativa este următoarea. Efectuezi o transformare Legendre în urma căreia dublezi numărul de variabile ale sistemului, cu simplificarea că fiecare variabilă satisface o ecuație diferențială de ordinul 1. Acestea se numesc ecuațiile lui Hamilton, iar noile variabile se numesc variabile canonice, și sunt de două feluri, coordonate și impulsuri.

Problema care se ridică acum în teoria canonică e următoarea: ce transformări ale variabilelor canonice îți fac impulsurile constante? Acest detaliu este foarte important, căci dacă ai găsit transformarea care să îți facă impulsurile constante, noile coordonate conjugate lor sunt pur și simplu funcții liniare de timp, deci în acea parametrizare sistemul tău are o soluție banală. Această parametrizare canonică constă deci în echivalarea sistemului supus interacției cu un sistem liber. În această parametrizare, toate forțele, fie ele de legătură sau aplicate, au dispărut.

Se pare că vorbim atunci de lucruri diferite. Una este parametrizarea canonică a unei traiectorii şi alta este semnificaţia canonicităţii în mecanica analitică. Asta din câte am înţeles eu...

Oricum, sunt convins că nu trebuie mari ajustări mecanicii analitice pentru a putea aborda Fizica elicoidală. Probabil, trebuie umblat pe la condiţia aceea cu impulsul constant şi trebuie conştientizat că acela este de fapt impulsul mediu doar şi să se pună condiţia de constanţă asupra lancretianului şi darbuzianului, nu asupra impulsului mediu. Nu ştiu, zic şi eu aşa, din câte am priceput din mecanica analitică...

Eu cred că e același lucru, pentru că ceea ce vrei tu este o parametrizare în care traiectoria sistemului este parcursă cu viteză constantă, ori tocmai asta obții prin transformarea canonică adecvată. Mecanica analitică și geometria diferențială merg mână în mână, spun aceleași lucruri dar în forme aparent diferite.

Încă susţin că nu este acelaşi lucru. Parametrizarea canonică a traiectoriei se referă doar la modulul vitezei, ori văd că în mecanica analitică cereţi impuls constant, deci viteză constantă chiar şi în direcţie.

Hai să-ți dau un exemplu. Pentru un oscilator armonic cu un grad de libertate, știi că există o parametrizare în care poziția și impulsul oscilează în timp. Ei bine, există și o parametrizare în care impulsul este constant în timp, iar poziția variază liniar cu timpul, și cele două sunt echivalente. Dacă oscilatorul are două grade de libertate, poți ajunge la o parametrizare similară, cu două impulsuri impulsuri constante și poziții care variază liniar cu timpul. În fine, pentru un sistem oarecare cu n grade de libertate, poți să încerci să găsești această parametrizare în care toate impulsurile sunt constante iar coordonatele variază liniar cu timpul.

Îți garantez că același lucru îl faci și în geometrie, doar că limbajul este diferit. Lasă-mi eventual sursa de unde ai luat acest rezultat, ca să mă uit pe ea.

Bună ideea cu sursa. Vezi cursul lui Liviu Ornea, chiar la început.