Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Scris de **Abel Cavaşi** Vin 29 Noi 2013, 22:41

Ştim că, dată fiind o traiectorie oarecare netedă şi continuă, putem defini un triedru drept format cu versorii tangentă ( $\vec{T}$ ), normală ( $\vec{N}$ ) şi binormală ( $\vec{B}$ ), care triedru să satisfacă următoarele formule, stabilite de Frenet:

$\frac{d\vec{T}}{ds}=\kappa\vec{N}$ ,

$\frac{d\vec{N}}{ds}=-\kappa\vec{T}+\tau\vec{B}$ ,

$\frac{d\vec{B}}{ds}=-\tau\vec{N}$ ,

unde $\kappa$ şi $\tau$ sunt curbura şi, respectiv, torsiunea traiectoriei date.

Să arătăm acum că, alături de triedrul lui Frenet asociat unei traiectorii, mai putem construi un alt triedru special asociat traiectoriei date, format tot cu versorii triedrului lui Frenet, astfel încât şi noul triedru să satisfacă formulele lui Frenet.

Pentru aceasta, vom demonstra următoarea

Teoremă:

Triedrul drept format cu versorii $\vec{T'}=\vec{B}$ , $\vec{N'}=-\vec{N}$ şi $\vec{B'}=\vec{T}$ satisface şi el formulele lui Frenet corespunzătoare

$\frac{d\vec{T'}}{ds}=\kappa'\vec{N'}$ ,

$\frac{d\vec{N'}}{ds}=-\kappa'\vec{T'}+\tau'\vec{B'}$ ,

$\frac{d\vec{B'}}{ds}=-\tau'\vec{N'}$ ,

unde $\kappa'=\tau$ şi $\tau'=\kappa$ .

Demonstraţie.

Făcând înlocuirile necesare şi folosindu-ne de formulele lui Frenet asociate triedrului ( $\vec{T}$ , $\vec{N}$ , $\vec{B}$ ), obţinem

$\frac{d\vec{T'}}{ds}=\frac{d\vec{B}}{ds}=-\tau\vec{N}=\kappa'\vec{N'}$ ,

$\frac{d\vec{N'}}{ds}=-\frac{d\vec{N}}{ds}=-(-\kappa\vec{T}+\tau\vec{B})=\kappa\vec{T}-\tau\vec{B}=-\kappa'\vec{T'}+\tau'\vec{B'}$ ,

$\frac{d\vec{B'}}{ds}=\frac{d\vec{T}}{ds}=\kappa\vec{N}=-\tau'\vec{N'}$ ,

ceea ce trebuia demonstrat.

Definiţia 1. Numim triedru ortogonal al lui Frenet, triedrul ( $\vec{T'}$ , $\vec{N'}$ , $\vec{B'}$ ) .

Definiţia 2. Numim traiectorie ortogonală, acea traiectorie care ar fi parcursă de un mobil aflat în originea triedrului ortogonal al lui Frenet.

Să vă fie cu folos!

Scris de **curiosul** Vin 29 Noi 2013, 23:39

Mult mai simplu, dar de unde-ți rezultă:

Abel Cavaşi a scris:
unde $\kappa'=\tau$ şi $\tau'=\kappa$ .

Scris de **curiosul** Vin 29 Noi 2013, 23:42

Da, din modul în care sunt exprimate formulele precedente, inițiale.

Scris de **curiosul** Vin 29 Noi 2013, 23:59

Și totuși, de unde-ți rezultă:

Abel Cavaşi a scris:
unde $\kappa'=\tau$ şi $\tau'=\kappa$ .

Scris de **Abel Cavaşi** Sam 30 Noi 2013, 00:33

curiosul a scris:Și totuși, de unde-ți rezultă:
Abel Cavaşi a scris:
unde $\kappa'=\tau$ şi $\tau'=\kappa$ .

Făcând această alegere, putem demonstra teorema. Altfel spus, aceste relaţii nu „rezultă” din altele, ci ele implică demonstraţia teoremei. Ele nu sunt un efect, ci o cauză.

Scris de **curiosul** Sam 30 Noi 2013, 09:11

Abel, din punct de vedere logic și ținând cont de ce ai afirmat :

Abel Cavaşi a scris:Făcând această alegere, putem demonstra teorema. Altfel spus, aceste relaţii nu „rezultă” din altele, ci ele implică demonstraţia teoremei. Ele nu sunt un efect, ci o cauză.

această afirmație schimbă raționamentul demonstrației.

În linii mari, dacă identitățile

Abel Cavaşi a scris:
$\kappa'=\tau$ şi $\tau'=\kappa$ .

nu sunt demonstrate, ele reprezentând o cauză, atunci din analiza primei postări rezultă că :

Plecând de la triedrul inițial format cu versorii tangentă ( $\vec{T}$ ), normală ( $\vec{N}$ ) şi binormală ( $\vec{B}$ ), care satisface următoarele formule, stabilite de Frenet:

$\frac{d\vec{T}}{ds}=\kappa\vec{N}$ ,
$\frac{d\vec{N}}{ds}=-\kappa\vec{T}+\tau\vec{B}$ ,
$\frac{d\vec{B}}{ds}=-\tau\vec{N}$ ,

putem construi triedrul drept format cu versorii $\vec{T'}=\vec{B}$ , $\vec{N'}=-\vec{N}$ şi $\vec{B'}=\vec{T}$ .

Acesta din urmă satisface la rândul lui formulele lui Frenet (și acum apare cauza), dacă $\kappa'=\tau$ şi $\tau'=\kappa$ .

După cum vezi, am evidențiat dacă.
În această situație, concluzia, implicația este adevărată dacă identitățile cauzei implicării sunt adevărate.
Deci satisfacerea formulelor lui Frenet pentru triedrul ortogonal depinde de aceea cauză,
iar valoarea de adevăr a concluziei este determinată de valoarea de adevăr a ipotezei presupuse, a cauzei.
Cauza adevărată, concluzie adevărată ; cauza falsă - concluzia falsă.
Deci trebuie stabilită valoarea de adevăr a cauzei.

Scris de **curiosul** Sam 30 Noi 2013, 09:49

Sau altfel, schimbând ordinea de implicare parametrizând-o prin logica
DACĂ -> ATUNCI
putem verifica corectitudinea implicării în alt mod.

DACĂ atât triedrul inițial, cât și triedrul ortogonal satisfac formulele lui Frenet, ATUNCI $\kappa'=\tau$ şi $\tau'=\kappa$ .

În funcție de ce vrei să demonstrezi, stabilești cauza DACĂ și concluzia ATUNCI.

În oricare situație, cauza trebuie să fie adevărată ca să implice concluzia.

Scris de **Abel Cavaşi** Sam 30 Noi 2013, 12:02

Păi, în orice teoremă este valabil acest lucru. Nu se pune problema falsității premiselor, ci se pune problema aplicabilității teoremei respective.

Scris de **curiosul** Sam 30 Noi 2013, 12:38

Dacă premisele sunt false, sau nedemonstrate, atunci demonstrația nu este corectă sau completă, ceea ce face ca aplicabilitatea teoremei să fie cel puțin discutabilă din punctul meu de vedere.
Dar o să-i las pe alții mai experimentați să-și spună părerea.

Scris de **Abel Cavaşi** Sam 30 Noi 2013, 14:40

Propoziția "Dacă P atunci Q" poate fi adevărată chiar dacă P este falsă.

Scris de **curiosul** Sam 30 Noi 2013, 20:39

Abel Cavaşi a scris:Propoziția "Dacă P atunci Q" poate fi adevărată chiar dacă P este falsă.

Foarte adevărat !
Propoziția "Dacă P atunci Q", în esența ei ca și propoziție este adevărată indiferent de valoarea de adevăr a lui P.
Însă propoziția, nu implicarea Q.
Dacă P este fals, Q este fals, atât timp cât Q este implicată de P fals, iar cel puțin în ce privește teorema ta P trebuie să fie adevărat.
Ori tu consideri că ai demonstrat că Q este adevărat.
Din păcate, din punctul meu de vedere nu rezultă.
Dar cine știe, s-ar putea să mă înșel, deși mă îndoiesc.

Chiar dacă părerile mele deranjează, îți sunt mai utile decât o susținere fără rost.
Eu știu că ai muncit mult cu teorema asta și ți-ai făcut multe speranțe, dar s-ar putea să nu fie chiar așa cum susții.

Scris de **curiosul** Sam 30 Noi 2013, 20:55

De fapt nu, chiar ai dreptate.
Din propoziția dacă P, atunci Q, Q poate fi adevărat chiar dacă P este fals.
Scuze că m-am răzvrătit așa.
Dar în cazul demonstrației tale P trebuie să fie adevărat, pentru că implică direct și în același fel valoarea de adevăr a lui Q, dar trebuie să găsești valoarea de adevăr a lui P, ca să stabilești valoarea de adevăr a lui Q.
Ori tu ai considerat ca fiind adevărată din start.
De unde rezultă ?

Scris de **Abel Cavaşi** Sam 30 Noi 2013, 23:02

P este adevărată deoarece formulele lui Frenet sunt adevărate. Restul au fost doar înlocuiri.

Scris de **curiosul** Dum 01 Dec 2013, 11:04

Dacă $\kappa'=\tau$ şi $\tau'=\kappa$ asta ar însemna că torsiunea triedrului 1 este curbura triedrului 2 și curbura triedrului 1 este torsiunea triedrului 2, nu ?

Scris de **Abel Cavaşi** Dum 01 Dec 2013, 13:28

Scris de Continut sponsorizat

Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Re: Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Re: Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Re: Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Re: Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Re: Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Re: Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Re: Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Re: Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Re: Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Re: Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Re: Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Re: Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Re: Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Re: Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Re: Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală