Despre darbuzori

Voi vorbi aici, în acest topic, pe înțelesul vostru, despre darbuzori. Se pare că a venit vremea să fiu și aici la fel de explicit precum sunt pe blogul meu de matematică, deoarece se pare că nimeni nu înțelege mai nimic dacă vorbesc numai pe înțelesul meu.



Matematicianul francez Jean Frédéric Frenet a descoperit că, în orice moment al mișcării sale prin spațiul tridimensional, un corp (sistem) este însoțit de trei vectori foarte speciali, reciproc perpendiculari, de modul egal cu unitatea (vectori care se numesc, din acest motiv, versori). Cei trei versori sunt tangenta, normala și binormala și se pot defini în mod unic, fără niciun echivoc.

Astfel, tangenta este unicul versor mereu paralel cu traiectoria. Normala este unul dintre infinitatea posibilă de versori perpendiculari pe traiectorie (deci și pe tangentă), dar este singurul versor perpendicular pe traiectorie și, în același timp, coliniar cu derivata tangentei. Iar binormala este un versor care este, de asemenea, perpendicular pe traiectorie (deci și pe tangentă), doar că binormala este perpendiculară și pe normală. Mai exact, binormala este produsul vectorial dintre tangentă și normală.

Mulțimea acestor trei versori se numește „triedrul lui Frenet”, căci Frenet a fost primul matematician care a scos în evidență existența și unicitatea acestor trei versori.

Frenet nu a scos în evidență doar cei trei versori, ci ne-a dat și o legătură remarcabilă între ei, legătură numită „formulele lui Frenet”. În cuvinte, formulele lui Frenet ne spun că atât derivata tangentei, cât și derivata binormalei, sunt ambele coliniare cu normala. Vă dați seama ce interesant?! Ambele derivate sunt coliniare cu unul și același versor, normala!

Haideți să vedem cum arată efectiv aceste formule ale lui Frenet. Avem un set de trei formule, câte una pentru fiecare versor al triedrului lui Frenet, adică pentru derivata fiecăruia:





Derivarea se face în raport cu parametrul canonic, adică în raport cu distanța parcursă de corp de-a lungul traiectoriei, dar, dacă vreți, voi puteți folosi derivata (mai simplă) în raport cu timpul, numai că atunci va trebui să țineți seama de viteza cu care se deplasează corpul pe traiectorie (deci va apărea și viteza în formulele lui Frenet).

Cei doi coeficienți de proporționalitate care apar în formulele lui Frenet se numesc „curbură” și, respectiv, „torsiune”.


Cam în vremea în care Frenet făcea descoperirile sale ce i-au adus nemurirea se năștea un alt mare gigant al matematicii: Jean Gaston Darboux. Printre multele sale realizări, Darboux ne-a mai dăruit un vector important, alături de versorii lui Frenet, vector numit ulterior tocmai „vectorul lui Darboux”. Acesta nu mai este un versor, căci nu mai are modulul egal cu unitatea. Mai exact, vectorul lui Darboux este dat de expresia


Observați dintru început că acest vector al lui Darboux se află în planul format de tangentă și binormală. Asta mai înseamnă că vectorul lui Darboux este perpendicular pe normală. Faptul că vectorul lui Darboux este perpendicular pe normală ne sugerează (cel puțin, mie mi-a sugerat) existența unui nou versor pe care să-l analizăm: versorul vectorului lui Darboux. Notăm acest nou versor cu . Avem, deci


Și, din moment ce versorul vectorului lui Darboux este perpendicular pe normală, nu cumva am putea construi un nou triedru, format cu acest versor și normală și versorul perpendicular atât pe , cât și pe normală? Ei bine, răspunsul este afirmativ!

Și, mai ales, nu numai că putem construi un nou triedru interesant, diferit de triedrul lui Frenet, ci în mișcarea acestui nou triedru putem regăsi, din nou, formulele lui Frenet! Mai exact, dacă vă veți apuca să derivați versorul, veți găsi că derivata lui este coliniară cu un alt versor și, mai mult, derivata normalei este și ea coliniară cu unul și același versor cu care este coliniară derivata lui . Totul se petrece întocmai cum s-a petrecut mai sus cu derivata versorilor și despre care am văzut că au derivatele coliniare cu normala (formulele lui Frenet).

Este o descoperire uriașă! Ar trebui să urlu de bucurie! Aș vrea să mă înțelegeți, măcar până aici.

Am atasat acest desen pentru a intelege mai bine ce spui. Eu am inteles ca vectorul Darboux desenat cu galben se afla in planul orizontal determinat de tangenta si binormala. Am inteles bine? Evident ca torsiune si curbura determina marimea si pozitia lui in plan.
 

Sa inteleg ca noul triedru este format din Normala verde, T2 rosu si N2 violet.
Am inteles bine?

Mulțumesc, Virgil! Da, așa e, vectorul lui Darboux ar fi cel galben. Eventual, orientat puțin oblic, nu chiar la 45 de grade față de tangentă și eventual puțin mai lung sau mai scurt.

Și, da, noul triedru este exact cel desenat de tine! Yupppiiiii!

Abel Cavaşi a scris:Mulțumesc, Virgil! Da, așa e, vectorul lui Darboux ar fi cel galben. Eventual, orientat puțin oblic, nu chiar la 45 de grade față de tangentă și eventual puțin mai lung sau mai scurt.

Și, da, noul triedru este exact cel desenat de tine! Yupppiiiii!

La noul triedru, daca aplicam din nou formula lui Darboux, vom obtine un nou Darbuzian de ordinul 2, pe baza caruia putem atasa un nou triedru, si tot asa, ne putem invarti cu ajutorul triedrelor in jurul normalei, care este de sine statatoare in punctul considerat. Asa este?

virgil a scris:La noul triedru, daca aplicam din nou formula lui Darboux, vom obtine un nou Darbuzian de ordinul 2, pe baza caruia putem atasa un nou triedru, si tot asa,

Excelent! Exact!

ne putem invarti cu ajutorul triedrelor in jurul normalei, care este de sine statatoare in punctul considerat. Asa este?

Nu. Nu normala este importantă, ci vectorii lui Darboux (pe care îi numesc darbuzori, ca să nu folosesc trei cuvinte pentru a vorbi de ei).

Mai asteptam noutati.

Bun. Acum, dacă ai înțeles ce sunt darbuzorii, spune-mi ce se întâmplă în cazul unei elice circulare.

Mai ai putin si vei putea demonstra cu darbuzorii acestia ca la
parcurgerea unei curbe are loc o deplasare laterala la fiecare pas.
Curba poate fi si spatiala, nu ma deranjaza.

am sters ineptiile fara relevanta stiintifica. la urmatoarea provocare iei ban. omuldinluna

Pentru a vedea ce se intampla cu darbuzianul cand un corp se misca pe o elice. este necesar sa dam niste valori exacte parametrilor elicei si vitezei corpului. Spre exemplu un corp cu masa de un Kg, se misca cu viteza de 1 m/s, pe o traiectorie elicoidala cu raza de 10m si pasul elicei de 2m. tatonand din aproape in aproape vom vedea ce se intampla cu darbuzianul.

Hai să mai clarificăm ceva. Una este darbuzorul, alta este darbuzianul, alta este lancretianul. Darbuzorul este un vector, ceilalți sunt niște scalari. Darbuzianul este modulul darbuzorului, iar lancretianul este raportul dintre curbură și torsiune. Le-am dat câte un nume pentru că apar prea des în discuții și să nu folosim prea multe cuvinte pentru o noțiune.

Deci, pentru elicea circulară (și pentru orice elice) darbuzorul (de fapt, toți darbuzorii, de orice ordin) sunt paraleli cu axa și păstrează aceeași direcție în spațiu.

Abel Cavaşi a scris:Hai să mai clarificăm ceva. Una este darbuzorul, alta este darbuzianul, alta este lancretianul. Darbuzorul este un vector, ceilalți sunt niște scalari. Darbuzianul este modulul darbuzorului, iar lancretianul este raportul dintre curbură și torsiune. Le-am dat câte un nume pentru că apar prea des în discuții și să nu folosim prea multe cuvinte pentru o noțiune.

Deci, pentru elicea circulară (și pentru orice elice) darbuzorul (de fapt, toți darbuzorii, de orice ordin) sunt paraleli cu axa și păstrează aceeași direcție în spațiu.

Daca toti darbuzorii sunt paraleli cu axa, Inseamna ca se suprapun peste binormala, ce alte informatii aflam de la ei, deoarece ai spus ca sunt foarte importanti.

De ce s-ar suprapune peste binormală? Se suprapun peste binormală doar atunci când torsiunea este nulă, deci pentru curbe plane. Dar pentru curbele spațiale, precum este elicea, ei nu se suprapun niciodată pe binormală.

Abel Cavaşi a scris:De ce s-ar suprapune peste binormală? Se suprapun peste binormală doar atunci când torsiunea este nulă, deci pentru curbe plane. Dar pentru curbele spațiale, precum este elicea, ei nu se suprapun niciodată pe binormală.

Da, ai dreptate, nu se suprapun, dar desenul meu m-a dus in eroare. Daca toti darbuzienii sunt paraleli cu axa elicei, si binormala are mereu aceiasi orientare la o elice circulara uniforma, inseamna ca unghiul intre darbuzian si binormala este totdeauna constant. Asa este?

Unghiul dintre DARBUZOR și binormală, da, este constant. Iar asta este valabil pentru orice elice, nu doar pentru elicea circulară. Cu toate acestea, binormala nu are mereu aceeași orientare, ci doar atât: face un unghi constant cu darbuzorul (precesează în jurul darbuzorului).

Abel Cavaşi a scris:Unghiul dintre DARBUZOR și binormală, da, este constant. Iar asta este valabil pentru orice elice, nu doar pentru elicea circulară. Cu toate acestea, binormala nu are mereu aceeași orientare, ci doar atât: face un unghi constant cu darbuzorul (precesează în jurul darbuzorului).

Da asa este pentru ca punctul se roteste in jurul axei elicei, in timp ce se deplaseaza. Insa nu stiu cum ai ajuns la ideia ca Darbuzorul este totdeauna paralel cu axa elicei, desi cred ca asa este.

Dacă vei calcula derivata darbuzorului în cazul elicei, vei constata că aceasta se anulează. Asta înseamnă că darbuzorul este constant, deci păstrează o direcție fixă în spațiu.

Abel Cavaşi a scris:Dacă vei calcula derivata darbuzorului în cazul elicei, vei constata că aceasta se anulează. Asta înseamnă că darbuzorul este constant, deci păstrează o direcție fixă în spațiu.

Pai singura directie fixa in cazul elicei trebuie sa fie paralel cu axa acesteia. Daca darbuzorul ne da directia de deplasare (axa elicei), trebuie sa fie si un vector perpendicular pe darbuzor, care sa reprezinte viteza de rotatie pe elice. Astfel vom avea un vector pe tangenta care reprezinta viteza luminii, darbuzorul care reprezinta viteza de deplasare axiala, si vectorul perpendicular care reprezinta viteza de rotatie pe cilindrul pe care se infasoara elicea. In acest fel putem explica dilatarea timpului din relatiile de relativitate, la fel cum am determinat eu cresterea masei relativiste.
Dupa cum am mai spus cu alte ocazii, si cum sustii si tu, ori ce punct al unui corp se deplaseaza cu viteza luminii, dar nu in linie dreapta, ci pe o elice. Aceasta viteza se descompune o data pe directia darbuzorului si ne da viteza reala de deplasare a punctului in linie dreapta, si o viteza de rotatie a punctului in jurul axei elicei, care fiind o miscare periodica ne va da informatii despre timp. Cu cat viteza axiala pe directia darbuzorului este mai mare si se apropie de viteza luminii, cu atat punctul maaterial face mai putine rotatii, elicea fiind mai intinsa, deci timpul parcurs va fi mai mic. La vitezze mici punctul material va descrie o elice cu multe spire, ceia ce va face ca timpul parcurs sa fie mult mai mare. Cum un corp contine o cantitate incomensurabila de astfel de puncte, acestea nu pot fi puse in evidenta, dar fiecare atom si fiecare particula nu reprezinta decat un pachet de unde, care la randul lor contin o infinitate de puncte care se deplaseaza cu viteza luminii pe elicii proprii, respectand principiul relativitatii.

Mă bucur că vrei deja să faci legătura între această teorie și practică. Dar eu zic să mai așteptăm puțin și să înțelegem bine de tot teoria.

După ce vom înțelege bine teoria, vom obține mai multe rezultate teoretice. Printre aceste rezultate teoretice vom putea observa proprietăți ce apar și în lumea reală și atunci vom putea să identificăm noțiunile teoretice cu noțiunile experimentale.