Oare "constanta" gravitaţiei chiar este o constantă?

Undeva printre cercetările mele stă ascunsă presupunerea că valoarea „constantei” gravitaţionale depinde de raportul dintre curbura şi torsiunea traiectoriei pe care se deplasează corpurile aflate în câmpul gravitaţional respectiv.
Să fie oare greşită această presupunere?

Putem lua o curba concreta (definita matematic), adica o spirala de grad 2 , sa zicem?
Adica o traiectorie elicoidala a unui punct material [rotirea unui satelit in jurul Pam. care executa si el o elicoidala datorita rotirii sale in jurul Soarelui (si care soare se deplaseaza liniar, sa zicem)]?

Ok, să presupunem că Soarele se deplasează rectiliniu şi uniform cu energie, impuls şi moment cinetic constante şi că în jurul său se deplasează planete precum Pământul, Jupiter, Saturn, comete, etc.

În aceste condiţii, eu presupun că toate corpurile amintite au raportul dintre curbură şi torsiune constant (deci se deplasează pe o elice), iar acest raport este în strânsă legătură cu constanta gravitaţiei.

Din păcate, încă nu cunosc forma matematică exactă a dependenţei dintre raport şi constanta gravitaţională.

Formula dependentei dintre rap. K/T si K_g poate fi determinata plecand de la ecuatiile respective ale traiectoriei elicoidale si aceasta a fost prima mea propunere - scrierea acestor ecuatii. Cred ca poti sa scri din memorie aceste formule si te rog sa le propui. [Eu trebuie sa ma uit prin carti asa ca imi poate lua ore sau zile.] Ar fi de preferat o forma explicitata de scriere a formulelor [x(t), y(t), z(t) ar fi ideala] pentru a calcula mai apoi cu usurinta derivatele E, F si G. Ce zici?

Într-un sistem de coordonate cartezian, putem scrie că mişcarea unui corp pe o elice circulară are legea dată prin

r(t)=[a*cos(w*t),a*sin(w*t),b*w*t] ,

unde a este raza cilindrului pe care se deplasează corpul, b înălţimea cilindrului raportată la 2*pi, iar w viteza unghiulară de rotaţie a corpului în jurul axei cilindrului.

Nu ma multumeste acest tip de scriere. Strict vectoriala. Intrucat iti cunosc pasiunea pentru vectori propun in paralel si scrierea :
x = R cos(w*t)
y = R sin(w*t)---------[2]
z = z(t) = w*t*p
Astfel si cei care nu lucreaza cu vectori, respectiv persoanele cu o pregatire generala, vor putea urmari calculele. Calculul vectorial, desi mi-e cunoscut, nu ma ajuta deloc sa-mi imaginez spatial cele descrise sub aceasta forma. Deci propun ca sa se faca calculele de doua ori, atat in forma stiuta de toata lumea cat si in cea generalizata, vectoriala. Ar trebui acolo unde avem vector sa folosim notatia ingrosata, de ex: r(t), in loc de r(t)

In al doilea rand, nu sunt multumit de ecuatia precedenta, indiferent de exprimarea ei, pentru ca avem doua asemenea curbe, una din ele depinzand de cealalta, respectiv o elice/spira de grd. II (sat.) se infasoara in jurul elicei/spirei de grd. I (Pam.). Prin urmare, ecuatia de mai sus nu exprima decat elicea/spira I; m-as fi asteptat sa o scri si pe cealalta, de grd. II, (mai grea), in raport cu acelasi sistem de coordonate folosit la prima. [Stiu ca "spirala" e in plan si elicea in tridim. ; numele de spira se foloseste curent in tehnica pentru a denumi exact traiectoria, infasurarea pe un singur pas, de la un arc elicoidal cilindric/conic/etc. Intr-o exprimare f. exacta/corecta ar trebui sa folosim spira elicoidala cand ne referim la o portiune de elice de 2pi/un pas/.]

Marcheaza prin da /sau nu/ propunerile mele ca sa stiu pe care le accepti si sa vorbim "la fel".

Am facut unele rectificari prin care am eliminat confuzia ce o faceam: elice in loc de elicoid.

In legatura cu subiectul discutat, poate ca ati citit deja urmatoarele doua lucrari, daca nu, veti gasi multe explicatii relevante.

Dr. I.N. Popescu, Gravitatia - pledoarie pentru a noua teorie a gravitatiei, ed. St./Encic., 1982

Dr. I.N. Popescu, C.P. Bursuc, Pendulul gravito-electro-magnetic, Royal Academy, London 1991

"Gravitatia" lui Ion Popescu se gaseste in biblioteca mea. Nivelul meu de pregatire modest in Mecanica Fluidelor si matematica m-au impiedicat insa sa-i patrund intelesurile in profunzime. Am retinut cu stupoare ca toate formulele si aplicatiile lor la nivel cosmic, galactic, planetar au fost deduse plecand de la presiunea cosmica. Vortexul este principalul "instrument de lucru" si legatura pe care ai propus-o, sandokhan, cu teoria (elicoidala) a lui Abel este directa intrucat o spirala elicoidala e un simplu fir de curent dintr-un vartej.
L-am cunoscut personal pe I.P. si din discutia cu el am aflat ca a lucrat 13 ani la aceasta carte si ca se astepta la o reactie puternica din partea specialistilor (ceea ce nu s-a intamplat).

mm a scris:Nu ma multumeste acest tip de scriere. Strict vectoriala. Intrucat iti cunosc pasiunea pentru vectori propun in paralel si scrierea :
x = R cos(w*t)
y = R sin(w*t)
z = z(t) = w*t*p
Astfel si cei care nu lucreaza cu vectori, respectiv persoanele cu o pregatire generala, vor putea urmari calculele. Calculul vectorial, desi mi-e cunoscut, nu ma ajuta deloc sa-mi imaginez spatial cele descrise sub aceasta forma. Deci propun ca sa se faca calculele de doua ori, atat in forma stiuta de toata lumea cat si in cea generalizata, vectoriala. Ar trebui acolo unde avem vector sa folosim notatia ingrosata, de ex: r(t), in loc de r(t)

Ai dreptate cu îngroşarea vectorului. Cât despre scrierea amănunţită, din nou, sunt de acord.

mm a scris:In al doilea rand, nu sunt multumit de ecuatia precedenta, indiferent de exprimarea ei, pentru ca avem doua asemenea curbe, una din ele depinzand de cealalta, respectiv o spira de grd. II (sat.) se infasoara in jurul spirei de grd. I (Pam.). Prin urmare, ecuatia de mai sus nu exprima decat spira I; m-as fi asteptat sa o scri si pe cealalta, de grd. II, (mai grea) in raport cu acelasi sistem de coordonate folosit la prima.

Superb! Mă bucur că ai observat şi asta. Ca să scriem elicea de ordinul doi va trebui să vedem cum putem scrie o curbă atunci când îi cunoaştem curbura şi torsiunea. Bună problemă! În cazul elicei de ordinul doi vom şti că între curbură şi torsiune există o asemenea relaţie încât derivata de primul ordin a raportului este variabilă, iar derivata de al doilea ordin este constantă. Adică, dacă dacă t este parametrul, vom avea kappa/tau=const*t. Mai rămâne să vedem cum putem obţine ecuaţia curbei atunci când cunoaştem curbura şi torsiunea. O să mă gândesc şi eu la asta. Faină problemă!

mm a scris:[Stiu ca "spirala" e in plan si elicea in tridim. dar elicea e o suprafata si ceea ce ai scris ca intersectie intre cilindru si "ea" ar trebui sa poarte alt nume caci e o curba si nu o suprafata; in plus, numele de spira se foloseste curent in tehnica pentru a denumi exact traiectoria, infasurarea pe un singur pas, de la un arc elicoidal cilindric/conic/etc. Daca dorim o exprimare f. exacta/corecta ar trebui sa-i spunem spira elicoidala in loc de spira sau de elice.]

Elicea este o curbă, nu o suprafaţă. Spira ar putea fi de cel puţin două tipuri: circulară şi elicoidală. Spira elicoidală propusă de tine este mai generală. Hai s-o folosim în discuţiile noastre, ştiind că această spiră elicoidală este o porţiune elementară de elice. Cândva o numeam „elicor” cu gândul că o porţiune elementară de elice ar putea fi un vector generalizat.

Elicea este o curbă, nu o suprafaţă

Ai dreptate, eu confundam elicoidul cu elicea! Scuzele mele! Ceea ce avem noi aici este elicoidul surub ale carui ecuatii parametrice sunt:
x = u*cosv
y = u*sinv-------[3]
z = k*v
Curbele parametrice sunt generatoarele, la v=ct, si elicele, la u=ct. Din ecuatiile elicoidului surub noi am obtinut elicea intrucat R e o constanta [raza]. Putem lucra insa si pe ecuatia mai generala, a elicoidului, adica pe suprafata riglata ce este el, poate ca ar fi mai avantajos asa.

Spira elicoidala e definita in manualele ingineresti si prin urmare e o formulare corecta. Ca sa scriem ecuatiile elicei de grd. II, ar trebui sa scriem mai intai ecuatia unei elice fata de triedrul lui Frenet atasat elicei [spirei elicoidale] de grd. I , triedru fata de care ea (elicea II) ramane invariabila [am impresia; sau poate gresesc?]. Triedru al carui vector de pozitie [r_o1] il stim deja. Nu stiu cum se va scrie in ecuatii sensul infasurarii [pe stg. sau pe dr.].

Să încercăm, deci, să stabilim ecuaţia elicei faţă de triedrul Frenet.
Cum singurul element care face deosebire între o curbă oarecare şi elice este raportul constant dintre curbură şi torsiune kappa/tau=raport, rezultă că putem scrie ecuaţia parametrică a elicei în funcţie de torsiune

r(t)=v*T
dT/dt=raport*tau*N
dN/dt=-raport*tau*T+tau*B
dB/dt=-tau*N .

Poate ar fi mai bine să folosim forma trigonometrică a formulelor lui Frenet, înlocuind raport cu tg(alpha) şi radical(kappa^2+tau^2) cu lambda.

Ecuatia carei elice ai scris-o? Eu ziceam ca elicea II ramane invarianta (descrisa de ec. [2]) fata de triedrul (TF I) lui Frenet al elicei I .... ?
N-am inteles ce-ai scris acolo. T este vector torsiune? Parca era vorba sa scriem doua randuri de formule, unul vectorial si al doilea rand (aceleasi) cartezian. T, N si B trebuie mai intai definite, precizate in functie de (plecand de la) ecuatia elicei; e o aplicatie pe acea ecuatie, de aceea cer precizarea ei/lor/ ff. bine.

Am scris doar ecuaţia elicei de ordinul I.

Interesant de văzut este dacă această constantă a gravitaţiei se aplică sau nu şi pentru inelele lui Saturn. Pe astronomy.ro se testează aplicabilitatea teoriei actuale a gravitaţiei la inelele lui Saturn. Am putea oare găsi noi aici mai eficient un răspuns?

Abel, pe astrosnoby nu se testeaza nici un fel de teorii. Eventual se testeaza rezistenta la mistouri. Utilizatorii acelui forum sunt pasionati de "astronomie in curte" adica un fel de astronomie "la purtator". Domeniul lor e pur tehnic, nu sunt interesati de cercetare stiintifica si in nici un caz de teorii fantastice.

Am putea oare găsi noi aici mai eficient un răspuns?

Adica ce vrei sa spui, ca suntem mai incapabili? Ai incredere mai multa in altii decat in tine insuti?

Ecuatia elicei de ord. I o poate scrie oricine, nu e nevoie de un matematician. Este nevoie de el de-abia la elicea de ord. II . Eu ma bazam pe tine....

În general, triedrul Frenet asociat unei curbe se roteşte cu o viteză unghiulară variabilă. În cazul elicei de ordinul unu, viteza unghiulară a triedrului Frenet are direcţia constantă (şi, eventual, modulul variabil).

Am impresia că dacă modulul vitezei unghiulare este constant şi variază doar direcţia vitezei unghiulare, atunci curba este o elice de ordinul doi.

Ar însemna că dacă admitem că Soarele merge rectiliniu şi uniform prin Galaxie, atunci Saturn merge pe o elice de ordinul unu, iar inelele lui Saturn merg pe o elice de ordinul doi.

Da, Saturn pe elice I iar bolovanii din inelele sale pe elice II. Situatie identica cu miscarile Pamantului si satelitului sau presupuse initial in acest topic.

M-am apucat sa scriu aceste ecuatii si pentru elicea II. Intrucat nu stiu sa desenez, voi descrie figura:
-Sistemul de coordonate Oxyz, cu Soarele in centru, este cel folosit in Geom. Descriptiva, y la dreapta, z in sus, x dinspre planul hartiei spre observator. Elicea I, infasurata pe dreapta pe directia axei Oz, cu pornire din O₁, aflat "la plecare" pe axa Ox, la distanta R de O.
-O₁x₁y₁z₁ - triedrul Frenet atasat elicei I.
-Cand O₁ se afla "la plecare", pe Ox, O₁x₁ se suprapune peste Ox; in timpul miscarii pe elicea I, O₁x₁ se va afla mereu "in prelungirea" generatoarei elicoidului (si mereu paralela cu planul xOy).De asemenea planul x₁O₁y₁ va forma mereu unghi constant φ cu planul xOy.
-Punctul M, satelitul, se afla permanent in planul x₁O₁z₁, in miscare de rotatie circulara [si nu de miscare elicoidala cum am afirmat gresit intr-o postare anterioara) si datorita miscarii triedrului pe elicea I va descrie o elice II pe dreapta.
-R, raza cilindrului = raza orbitei Pamantului (aproximare); r, raza orbitei satelitului ; ω si ω₁ - vitezele unghiulare ale Pamantului, respectiv, satelitului.
-Iata (daca nu le-am gresit) ecuatiile celor doua elici fata de sistemul Oxyz:

x_I = R*cosωt
y_I = R*sinωt
z_I = pωt

x_II = x_I + r*sinω1t*cosωt
y_II = y_I - r*cosω1t*cosφ*cosωt
z_II = z_I + r*cosω1t*sinφ

Îmi place abordarea ta şi mă bucur că te pricepi la asemenea amănunte. Din păcate, încă nu am reuşit să înţeleg notaţiile, pentru că n-am înţeles, de exemplu, de ce la plecare, O₁x₁ se suprapune peste Ox. Din câte ştiu eu, tangenta triedrului lui Frenet face un unghi constant şi nenul cu planul Oxy, după cum se poate vedea şi în imaginea de mai jos

de ce la plecare, O1x1 se suprapune peste Ox.

Ptr. ca "la plecare" eu am pus elicea I sa aiba ca punct de plecare, continut in planul xOy, exact punctul de pe Ox . Elicea I are ca punct de plecare un punct de pe Ox, aflat la dist. "R" de O. Tot de acolo pleaca si triedrul Frenet (al elicei I) cu al sau O₁, care O₁ se va plimba pe elice in sus, dar la momentul t=0 O₁ se afla chiar acolo, pe axa Ox.[nu am discutat inca despre triedrul Frenet al eli. II]
La momentul t=0, axa O₁x₁ se suprapune/confunda cu Ox, [care Ox e si generatoarea elicei I la momentul t=0; am spus in postarea anterioara ca O1x1 este tot timpul coliniara/confundata cu generatoarea eli. I ].

Adica lucrurile nu stau asa cum le-ai desenat. Daca vei duce axa Oz prin mijlocul elicei iar capatul de jos al elicei desenate de tine il pui sa apartina axei Ox, se va vedea ce spun eu. Tangenta triedrului Frenet face unghiul phi constant cu planul Oxy, ai dreptate.

Din păcate, mă depăşeşte . Nu am acum timp să aprofundez chestiunea într-atât încât să o înţeleg şi eu. În legătură cu poziţia tangentei, însă, te-am înţeles şi ai dreptate. Te felicit din toată inima pentru inteligenţa pe care o ai!

Nu-i vorba de inteligenta, cu astea "ne jucam" la servici. Am sa-ti trimit o poza pe email cu figura pe care "am descris-o" deoarece altfel, lucruri chiar simple, sunt greu de inteles..

Şi nu avem voie s-o postăm aici? Este ceva poză cu drept de autor?


EDIT: Ok, mersi de poză şi de efortul temporal depus pentru crearea ei. O postez aici pe forum ca să o poată vedea şi alţi cititori dragi.

Bravo, credeam ca o sa o prelucrezi mai intai, inainte sa o mai vada si altii asa. Intre timp am avansat putin cu studiul banal matematic si am determinat derivatele ecuatiilor parametrice ale elicei de grd. II care arata cam asa:

x' = -ωRsinωt + rω₁cosω₁tcosωt - rωsinω₁tsinωt
y' = ωRcosωt + ω₁rcosφsinω₁tcosωt + rωcosφcosω₁tsinωt
z' = pω - ω₁rsinφsinω₁t

x'' = -Rω²cosωt - r(ω² + ω₁²)cosωtsinω₁t - 2rωω₁sinωtcosω₁t
y'' = -Rω²sinωt + r(ω² + ω₁²)*cosφcosωtcosω₁t - 2rωω₁cosφsinωtsinω₁t
z'' = -rω₁²sinφcosω₁t

x''' = Rω³sinωt - rω₁(3ω² + ω₁²)cosωtcosω₁t + rω₁(ω² + 3ω₁²)sinωtsinω₁t
y''' = -Rω³cosωt - rω(ω² + 3ω₁²)sinωtcosω₁tcosφ - rω₁(3ω² + ω₁²)cosωtsinω₁tcosφ
z''' = rω₁³sinφsinω₁t

Deoarece e greu de lucrat cu aceste expresii in continuare la scrierea curburii si torsiunii, ne folosim de valorile locale ale acestor derivate, de ex. la t=0 care vor fi:

x' = rω₁
y' = Rω
z' = pω

x'' = -ω²R
y'' = r(ω² + ω₁²)cosφ
z'' = -rω²sinφ

x''' = -rω1(3ω² + ω₁²)
y''' = -Rω³
z''' = 0

N-am facut altceva decat sa anulam termenii ce contineau sin din expresiile dinainte. Chiar si asa, pentru a scrie raportul K/T, lucrurile se complica f. mult. Ne folosim insa de observatia ca la fel de bine ne putem folosi de raportul K²/T deoarece si el va fi proportional (asa cum presupui tu, Abel) cu constanta gravitatiei. Avantaj - se simplifica f. mult expresia caci acest raport este egal cu un determinant de ord 3 , adica: K²/T = (dr,d²r,d³r) , in scriere condensata. [Unde linia intai a determinantului e constituita din componentele diferentialei de ord I : dr = x'i + y'j + z'k, cu r, i, j, k vectori/versori, linia a doua - cea de ord. II, etc.]

Se obtine:
K²/T = pω⁷R² + r²Rω³ω₁(3ω² + ω₁²)sinφ - r²Rω⁵ω₁sinφ + pr²ωω₁(3ω² + ω₁²)(ω² + ω₁²)cosφ

[Daca nu cumva am gresit la calcule.] Cu aceasta expresie e f. usor sa calculezi in mod repetat, pe diverse cazuri, valoarea raportului K²/T si sa determini din valorile numerice obtinute daca exista sau nu acea legatura cu constanta gravitatiei, pe care legatura doresti/dorim sa o dovedim. Nu ramane decat sa inlocuiesti valorile vitezelor unghiulare (Pamant + satelit, ori Saturn + bolovan din inelele sale ori alte cazuri). Aici te las pe tine sa continui deoarece ca si colaborator si specialist la astronomy ma depasesti f. mult .

În primul mesaj al topicului „Formulele lui Frenet generale” de pe astronomy.ro pot fi găsite formulele de definiţie ale curburii şi torsiunii. De acolo se poate vedea că produsul dintre pătratul curburii şi torsiune ar putea fi mai simplu decât raportul dintre curbură şi torsiune (deoarece se simplifică pătratul modulului produsului vectorial).

Din păcate, încă nu simt utilitatea acestui chin. Încă nu văd clar esenţa lucrurilor în acest domeniu, nu ştiu cum am putea găsi o legătură concretă între constanta gravitaţiei şi raportul dintre curbura şi torsiunea traiectoriilor corpurilor care se deplasează sub influenţa câmpului gravitaţional respectiv, încât să merite să ne angajăm în nişte calcule atât de laborioase. Ipoteza conform căreia constanta gravitaţiei depinde proporţional de raportul dintre curbură şi torsiune este departe de a fi demonstrată. Eu unul nu sunt atât de capabil încât să mă pot concentra numai la o singură direcţie de studiu, aşa cum poţi tu.

Şi când te gândeşti că este vorba doar de elicea de ordinul doi. Ce ne-am face cu elicea de ordinul zece sau o sută? Trebuie să găsim ceva mai simplu. Trebuie să găsim întâi esenţa acestui demers.

Da, ai dreptate, eu urmez un fir caruia "nu-i dau drumul din mana", il exploatez si asa am lucrat cu succes dintotdeauna cu rezultate bune de fiecare data. Daca nu poti sa urmezi riguros o asemenea munca, te inteleg caci fiecare are abilitatile sale specifice, dar asta inseamna ca acest studiu in colaborare nu este posibil intrucat, pe de alta parte, eu nu pot sari la alte aspecte colaterale intrerupand "firul". Pentru mine munca asta e un fel de minerit iar pentru tine e un fel de dans gratios si acrobatic peste campul inflorat cu vectori. Pentru mine importanta e extractia obositoare a unui minereu util, pentru tine pare sa fie important dansul in sine. Poate de aceea am senzatia ca nu ne putem sincroniza. Inclin sa cred ca abordarea mea de tip "minier" este gresita constituind si cauza nesincronizarii.