Oscilatorul armonic liniar clasic

Pornesc acest subiect ca urmare a lecturilor lui Abel, in speranta ca-i va fi util pentru a intelege mai bine lucrurile citite. Discutia este deschisa pentru oricine doreste sa participe, fie cu intrebari, fie cu completari, dar am rugamintea sa ne straduim cu totii sa ramanem la subiect.

ATENTIE: glumetii, pacalicii si miticii care vor gasi de cuviinta sa bruieze topicul isi vor gasi mesajul sters si vor primi si o suspendare bonus. Cine se simte destept si vrea sa bage mesaje istete, sa stie de pe acum sa se abtina.

Desi extrem de simpla, problema pe care o discutam aici este fundamentala in intreaga fizica moderna. Fie ca vorbim de fenomene care se petrec in materiale ce poseda conductivitate electrica, fie ca vorbim de nuclee atomice sau campuri cuantice, oscilatorul armonic este elementul comun care leaga toate aceste sisteme, astfel ca intelegerea lui deschide drumul spre descifrarea multor altor fenomene fizice. Enuntul problemei este urmatorul:

Fie o particula de , asupra careia actioneaza forta , unde este o constanta. Stiind ca la momentul , particula se afla in punctul de coordonate si era in repaus, sa se studieze miscarea ei prin:

a) metoda lui Newton
b) metoda lui Lagrange
c) metoda lui Hamilton
d) metoda transformarilor canonice

Daca sunt neclaritati legate de enunt, acum este momentul sa le faceti cunoscute. Eu vreau sa expun aceste metode pe un exemplu simplu pentru a veni in ajutorul celor care sunt interesati sa le inteleaga, dar putem si chiar e recomandat sa incercam sa gasim metode noi de a rezolva problema.

Trebuie mentionat ca este vorba de o constanta de elasticitate K, a mediului, fie el un arc, sau alt ceva, care reprezinta legatura dintre particula care oscileaza si pozitia neutra fata de care are loc oscilatia.

Chiar sunt curios cum s-ar aplica vre-o metoda de analiza din acestea la pendulul lui Milan Milcovoci. Sa se demonstreze cum se obtine la acel pendul un plus de energie, fata de pendulul obisnuit.

Ce ar putea însemna „să se studieze mișcarea ei”? Să se găsească legea ei de mișcare?

Exact. Odata ce gasim legea de miscare, orice alta informatie o putem obtine in mod trivial. Voi incepe de maine sa prezint abordarea prin fiecare metoda, si astept comentarii sau intrebari dupa cum va fi cazul.

a) Metoda lui Newton

Pornim de la legea fundamentala a dinamicii, ce stabileste legatura dintre forta si acceleratia unui corp intr-un sistem de referinta inertial

.

Cum forta actioneaza numai pe axa x, sa studiem mai intai situatia triviala pe axa y (analog se rezolva si pentru axa z):

inseamna acceleratie nula pe directia y. Cum acceleratia este derivata in raport cu timpul a vitezei, asta inseamna ca viteza pe axa y este o constanta in raport cu timpul . Conditia initiala din ipoteza problemei este ca particula noastra sa fie in repaus la , deci am obtinut ca , iar analog rezulta si ca . Astfel, coordonatele y si z ale particulei pe toata durata miscarii sunt .

Pe axa x, ecuatia de miscare este , ce se poate rescrie ca . Observam ca dimensiunea raportului este inversul patratului secundei, deci este patratul unei frecvente (numita frecventa oscilatorului), astfel ca putem scrie rezultatul final ca .

Aici avem de-a face cu o ecuatie diferentiala liniara si omogena de ordinul doi, in care necunoscuta este functia de timp . Cea mai generala solutie a acestei ecuatii este o combinatie liniara de functii exponentiale complexe, de forma

, cu A si B doua constante ce urmeaza a fi determinate din conditiile initiale. Se poate verifica prin simpla derivare de doua ori in raport cu timpul ca aceasta functie satisface legea de miscare care ne intereseaza. Sa aplicam acum conditiile initiale.

La , avem . Prima derivata in raport cu timpul este si avem de impus conditia . In concluzie, din rezolvarea acestui sistem de doua ecuatii algebrice cu doua necunoscute, gasim imediat ca .

Iata ca am gasit solutia particulara a problemei noastre, legea de miscare care satisface conditiile initiale impuse de ipoteza. Folosindu-ne de formula lui Euler, , rezultatul final este

, o oscilatie armonica pe axa x, de amplitudine si frecventa .

In figura atasata, puteti vedea coordonata pe axa (panoul a) si viteza asociata (panoul b) ca functii de timp, pentru cazul in care pozitia initiala si frecventa este .



Daca sunt intrebari sau comentarii pentru primul punct al problemei, acum este un moment bun sa le ridicati.

Pentru mine e clar, desigur, în ipoteza masei constante. Am adăugat și lincul aferent în primul mesaj.

Eu sunt de parere eugen, ca putem generaliza situatia prezentata de omuldinluna, iar calculele sunt corecte.

Adica, aparatul matematic folosit pentru oscilatia intrinseca a unui sistem in care fiecare componenta a sa poate oscila intr-o oarecare alta maniera, trebuie sa corespunda intocmai cu aparatul matematic folosit pentru stabilirea oscilatiei acelei componente pe care am analiza-o.
De altfel, asta implica matematica situatiei, ea trebuie sa functioneze si sa stabileasca in aceeasi maniera oscilatia oricarui sistem il luam in considerare, indiferent ca el este compus din microsisteme care oscileaza de asemenea.
La orice scara de proportie, matematica folosita trebuie sa functioneze si sa poata exprima cu aceeasi obiectivitate starea de oscilatie a sistemului de la nivelul la care il analizam.

Parerea mea, desigur.
S-ar putea, de altfel, sa nu fi interpretat corect nici ce ai vrut tu sa spui.

@virgil

Animatia lasata de tine nu este intru totul corecta pentru problema noastra, deoarece asupra acelui oscilator actioneaza si gravitatia (fiind lasat sa atarne liber). In cazul nostru ne putem imagina o greutate fixata de un resort la orizontala, si presupunem tacit ca frecarile cu suprafata de sprijin sunt suficient de mici incat sa le putem ignora pe durata experimentului studiat. Altfel, nu ai neaparat nevoie de un resort mecanic pentru a obtine miscare armonica. Multe interactii din natura pot fi aproximate, in anumite conditii, cu un potential armonic.

@Abel

Intr-adevar, aici presupunem ca masa este constanta, viteza de oscilatie fiind extrem de mica. Multumesc pentru link, uitasem sa-l pun!

@Eugen

Perioada unui oscilator armonic este timpul necesar pentru ca particula sa se intoarca de unde a plecat (in cazul nostru e vorba de punctul ). Inversul acestui timp este frecventa oscilatorului (deci cate cicluri complete face in unitatea de timp), care in cazul nostru este egala cu raportul , unde k este constanta oscilatorului (in cazul unui resort mecanic marimea descrie cat de "teapan" e) iar m masa greutatii.

@curiosul

Intr-adevar, ecuatia de miscare pe care am obtinut-o in problema aceasta se intalneste pentru extrem de multe sisteme, fie ele si de complexitate ridicata, atata timp cat au componente independente care se misca armonic.

Eugen, mișcarea resortului poate fi modelată foarte bine și ca rotație. Poți considera că obiectul agățat de resort este proiecția pe diametrul unui cerc a unui mobil care se rotește pe cerc cu viteză unghiulară constantă.

Foarte corecta remarca lui Abel. Este limpede ca frecventa acelei miscari circulare asociate este aceeasi cu frecventa oscilatiei discutate aici.

Abel Cavaşi a scris:Eugen, mișcarea resortului poate fi modelată foarte bine și ca rotație. Poți considera că obiectul agățat de resort este proiecția pe diametrul unui cerc a unui mobil care se rotește pe cerc cu viteză unghiulară constantă.

In acest caz cine asigura legatura elastica?

Nu e vorba de asta. Amplitudinea oscilatiei poate fi vazuta ca raza unui cerc. Daca din fiecare punct al oscilatiei duci o perpendiculara pana la punctul ce corespunde unei raze egale cu aceasta amplitudine (raza uneste originea sistemului tau cu acel punct), atunci la o perioada completa a oscilatiei ai trasat un cerc. Particula care se oscileaza si "imaginea" ei care se deplaseaza pe acest cerc au aceeasi frecventa.

Sper ca imaginea aceasta sa faca mai clar ce incerc sa spun.

b) Metoda lui Lagrange

Pornim de data aceasta de la un principiu mult mai general ca legea a doua a dinamicii, si incep cu un rezumat lipsit de demonstratii al ideilor teoretice care urmeaza a fi aplicate in problema. Definim gradele de libertate ale unui sistem fizic drept setul minimal de variabile independente care ii definesc starea, si introducem notiunea de spatiu al configuratiilor ca fiind acel spatiu in care coordonatele fiecarui punct (fiecare configuratie) sunt tocmai valorile gradelor de libertate ale sistemului la un timp dat . E limpede ca acest spatiu este unidimensional pentru problema noastra, bidimensional pentru miscarea in camp central, dar poate avea o dimensiune mult mai mare pentru un sistem de complexitate ridicata.

Principiul pe care il aplicam spune ca traiectoria sistemului intre doua configuratii date se face astfel incat cantitatea numita "actiune" sa aiba o valoare extrema, ceea ce inseamna ca valoarea ei pe traiectoria reala este intotdeauna ori mai mare, ori mai mica, decat valoarea ei pe drumuri infinitezimal apropiate. Actiunea este integrala peste functia lagrangeana a sistemului intre timpii ce corespund capetelor traiectoriei si se poate arata ca functia lagrangeana are in general expresia , unde T este energia cinetica a sistemului iar V energia potentiala. Aceasta este deci o functie care depinde in general de coordonatele si vitezele si sistemului, si eventual si de timp.

Se mai poate arata ca traiectoria pentru care actiunea are o valoare extrema este cea pentru care fiecare dintre gradele de libertate satisface o ecuatie Euler-Lagrange

, unde variabila punctata este viteza asociata.

Sa vedem ce inseamna toate acestea pentru problema noastra.

Singurul nostru grad de libertate este coordonata a particulei, iar viteza asociata este , deci energia cinetica este pur si simplu . Pentru a gasi potentialul observam ca forta din cazul nostru este derivabila dintr-un potential scalar, deci aplicam formula pentru expresia noastra particulara. Avem deci

, iar daca luam produsul scalar cu elementul de drum , gasim expresia

.

Tot ce avem de facut acum e sa integram din origine pana intr-un punct arbitrar , adica avem de efectuat . Calculul e absolut banal, iar rezultatul este

. Daca renuntam la indicele prim, formula finala este

. Se observa din formula de la care am pornit (forta gradient al potentialului) ca relevanta fizica are numai variatia potentialului, si nu valoarea sa absoluta. In definitiv, este o constanta ce dispare in urma derivarii, astfel ca am regasit potentialul elastic binecunoscut .

Am obtinut deci functia lagrangeana . Sa scriem ecuatia Euler-Lagrange, adica ecuatia de miscare asociata.





Introducem rezultatele in ecuatia Euler-Lagrange, si dam tocmai peste , adica tocmai ecuatia de miscare ce rezulta din legea a doua a dinamicii!

De aici, rezolvarea merge mai departe exact ca la punctul anterior. E limpede astfel ca pentru o problema atat de simpla, metoda lagrangeana nu inseamna decat batai de cap inutile. La ce este ea buna, atunci? Metoda lui Lagrange este utila pentru sistemele mecanice mai complexe, supuse la legaturi complicate (pe vremea lui erau importante mecanismele pe baza de parghii, rotii zimtate si pendule din diverse masinarii) pentru care gasirea legii de miscare folosind metoda lui Newton este extrem de laborioasa. Mai important de atat insa este faptul ca odata cunoscuta functia lagrangeana a unui sistem, invariantii miscarii (cantitatile care se conserva) pot fi gasiti prin operatii simple aplicate functiei. Nu in ultimul rand, principiul actiunii minime este valabil pentru orice sistem fizic, nu numai pentru sisteme mecanice, deci metoda lui Lagrange se poate aplica la probleme care ies cu mult din cadrul mecanicii clasice.

Intrebari si comentarii sunt asteptate cu mare interes!

Când se calculează , de ce nu se ține seama de faptul că și este funcție de ?

.  Si eu cred ca raportul k/m a primit denumirea de frecventa unghiulara fara a fi de fapt. Cele doua sisteme - real si matematic (liniar si circular) - se suprapun ca descriere matematica, ne spun experientele. Dar numai pentru ce s-a verificat pana in prezent. In cazul unei eventuale extrapolari (pe care cred ca intentionezi sa o faci), este posibil ca cele doua sisteme sa nu mai aiba aceeasi descriere matematica (comuna).

.  Ecuatia diferentiala de org. doi are acea solutie, pe care ai folosit-o. Fara sa fiu sigur, opinez ca ar putea fi cautate si solutii de alta forma ceea ce ar putea conduce la alt rezultat.

Frecventa definita de acel raport este frecventa oscilatorului (greutatii agatate de resort sa spunem), adica inversul perioadei (timpul necesar ca sa execute o oscilatie completa). Nu trebuie sa-ti bati prea mult capul cu acea miscare circulara. Ideea e ca intr-adevar, pentru o miscare circulara la viteza unghiulara constanta, proiectia miscarii pe diametrul cercului este o oscilatie armonica la aceeasi frecventa. Nu aceasta este insa esenta discutiei de aici.

Pentru ecuatia de miscare pe care am prezentat-o, cea mai generala solutie este cea expusa. Se poate scrie si in alte forme, dar pana la urma spune acelasi lucru. Forma particulara a solutiei depinde de conditiile initiale ale problemei. Eu am ales niste conditii care sa-i dea o forma cat mai simpla solutiei particulare.

@Abel

Scuze pentru raspunsul intarziat, nu ti-am vazut mesajul mai devreme. nu este functie de , ci functie de , cum este si cazul lui . Derivata unei functii de variabila data nu este functie de functie, ci tot functie de respectiva variabila. In notatii care poate sunt mai clare, f'(x) nu este functie de f, ci functie de x.

omuldinluna a scris:@Abel

Scuze pentru raspunsul intarziat, nu ti-am vazut mesajul mai devreme. nu este functie de , ci functie de , cum este si cazul lui .

Adică viteza nu este și funcție de poziție?

Nu, deoarece pozitia nu joaca rol de parametru in aceasta problema. Parametrul este timpul, iar atat pozitia cat si viteza sunt functii de timp.

Bine, dar e vorba de derivata parțială ÎN RAPORT CU POZIȚIA. Nu? Nu asta conține ecuația lui Lagrange? Ori, derivata parțială nu mai are sensul ei normal?

Ba da. L este functie (sau mai bine zis, o functionala) de pozitie si viteza ca variabile independente, iar ambele sunt parametrizate dupa timp. E ca si cum ai avea o functionala f(a(t),b(t)), unde a si b sunt cele doua argumente ale functionalei (la randul lor functii) iar t este parametrul lor comun. Daca faci derivata totala a lui L dupa t, obtii termeni si din viteza si din pozitie, dar daca derivezi partial dupa oricare dintre ele, afectezi numai termenul corespunzator din moment ce sunt variabile independente ale functionalei.

Poziția și viteza sunt variabile independente? Dacă ambele depind de timp, nu putem elimina timpul și să facem una să depindă de cealaltă?

Ba da, dar nu pare extrem de util, din moment ce gandesti pozitia ca functie de timp si nu timpul ca functie de pozitie. Dar desigur, poti face si altfel, dar ai nevoie de alta teorie cu alte ecuatii de miscare, ce intr-un final te duc la aceeasi solutie scrisa mai alambicat (o sa ai functii trigonometrice avand argumente inversele altor functii trigonometrice in cazul de fata).

Semnificatia derivatelor superioare a sinusoidalelor

Omuldinluna,
Ce semnificatie dai derivatelor de ordin  mai mare ca doi a lui x(t) , ca functii sinusoidale finite ?
Unde apar ele ?

Ecuatiile de miscare ale multor sisteme sunt ecuatii diferentiale de ordinul 2. Exista insa si sisteme care au ecuatii de miscare neliniare (vezi curgerea unui fluid vascos, ecuatiile Navier-Stokes) si sisteme care au ecuatii de miscare in care apar derivate de ordin superior. Aici e vorba in general de deformarea corpurilor solide, fenomene de incovoiere, forfecare si alte asemenea. Pentru a descrie aceste fenomene intervin si derivate de ordin mai mare ca doi, dar nu e un subiect la care sa ma pricep foarte bine. Ai nevoie de un inginer bun pentru asta.

Oricum, pentru problema noasta e foarte simplu. Derivata lui cosinus (pozitia) e sinus cu semnul minus in fata (viteza), deci derivata de ordinul doi o sa fie cosinus cu minus in fata (acceleratia). Derivata de ordinul trei o sa fie iar un sinus, iar cea de ordin 4 un cosinus. Nu stiu ce semnificatie sau relevanta au in aceasta problema derivatele de ordin mai mare ca 2 (supraacceleratii, cum mai sunt numite).

Problema pe care am ridicat-o mi se pare de CORECTITUDINE a calculului. Din moment ce lagrangeanul este
și din moment ce viteza depinde de poziție, cum este posibil să avem
? Altfel spus, de ce se anulează termenul
?

Dupa cum am spus deja, viteza si pozitia sunt variabile independente, ambele avand ca parametru timpul. Reiau analogia cu f(x) si f'(x), unde f'(x) este functie tot de x, nu functie de f. Atunci .

Ca sa fie altfel cred ca trebuie sa pornesti de la o actiune de tipul , deci cu timpul si viteza variabile independente si pozitia ca parametru, iar problema este cum construiesti un L in aceasta parametrizare. Mie imi este familiara parametrizarea cu pozitia si viteza variabile independente, din care rezulta formula L=T - V pentru functia lui Lagrange din principiul lui d'Alembert.