Marea teorema a lui Fermat.

Rezumarea primului mesaj :

Teorema: Ecuația nu are soluții dacă n>2 este număr natural, iar x,y,z sunt numere naturale nenule.

Aici, propun, sa se prezinte (cit mai multe) demonstratii posibile a acestei teoreme (inclusiv si pentru cazuri particulare).

Am putea afla acest punct de intersecție și în modul următor :

considerăm h înălțimea triunghiului în care și p smiperimetrul triunghiului.
În acest caz, putem forma sistemul de unde putem separa înălțimea



Știind înălțimea ne-ar mai trebui cunoașterea lungimii uneia dintre laturile x și y, pentru a stabili cu exactitate punctul de intersecție al înălțimii cu latura z (fixată).
Dar chiar dacă nu am cunoaște una dintre laturile x și y, am putea arbitrar să stabilim punctul de intersecție a lui h și z într-un anumit loc, pentru o anumită valoare a înălțimii h, și în funcție de această valoare putem afla toate celelalte "poziții" ale înălțimii h, iar în acest mod am putea "vedea" forma liniei determinată de punctele de intersecție ale laturilor x și y.
Pentru că de fapt eu asta aș vrea să vad.
Pe acest principiu, ales în mod arbitrar, o să calculez pentru n=3, să vedem cam ce formă ar avea această linie.
Voi face și un desen și-l voi pune aici.

Deși nu le-am putut trasa așa cum mi-aș fi dorit, intuiția îmi spune că liniile descrise de intersecțiile laturilor x și y pentru exponentul n al ecuației îndeplinite de laturile triunghiului : x^n+y^n=z^n, ar trebui să arate cam așa :


Deși s-ar putea să mă înșel, intiuiția îmi spune că ar trebui să fie așa, pentru că mi-am amintit de un alt desen pe care l-am făcut într-un alt subiect:


Ar fi foarte interesant dacă aș avea dreptate, iar intuiția nu mă înșeală.
O să calculez să vedem în ce măsură mă înșel.
Aș aprecia mult un pic de ajutor din partea voastră pentru stabilirea liniilor din primul desen.
Vă mulțumesc !

Se pare că într-adevăr, punctele de intersecție ale laturilor x și y, astfel încât x^n+y^n=z^n, cu z>y>x, se găsesc distribuite pe linii curbe (nu arce de cerc) ca în figura de mai jos :

Cu cât n este mai mare cu atât linia curbă formată de punctele de intersecție ale laturilor x și y se află mai aproape de arcul de cerc maro din dreapta(teoretic, pentru n infinit de mare, punctele de intersecție ale laturilor x și y sunt arcul de cerc din dreapta)
Exact cum am intuit.
Există oare vreo legătură cu desenul de mai jos (?) :


Oricum, bănuiesc că o să trebuiască să-mi răspund tot singur.
De fapt... nu știu la ce mai îmi bat capul inutil.

In primul rand, imi place ideea pe care incerci sa o dezvolti. Mi se pare foarte interesanta.
Nici eu nu stau prea bine cu postarea pe forum a desenelor dar pe hartie ies mai bine.
Am remarcat ceva: desenul de mai sus cel cu triunghiul si liniile curbe nu e trasat asa cum ar trebui, in sensul ca nu respecta dimensiunile curbelor.Parerea mea este ca acele curbe nu "arata" chiar asa, si-mi dau seama ca nu ai avut cum sa le "desenezi" aici.
Insa de unde mi-am dat seama ca trebuie sa arate diferit?
Am privit cu atentie figura cu patratele.
Acolo se poate vedea ca e un fel de "harta" topografica.
Daca as "proiecta" curbele obtinute pe un plan dupa acele "coordonate" as obtine liniile drepte.
Ca sa fiu mai clar, cand sunt in 3D numerele sunt "curbe" ,cand le "proiectez" in 2D ele devin "drepte".
As mai adauga ceva la toata nebunia asta: in 3D numerele nu sunt doar curbe , ele se "rasucesc" si devin niste "tuburi" elicoidale!
Si uite asa, incet-incet se vor uni toate teoriile!

Fie p un număr prim.
Pot să arat că dacă x, y, z ar fi soluțiile naturale ale ecuației x^p+y^p=z^p, atunci x+y-z se divide cu p.
Cum ar putea fi folosită această observație pentru a demonstra că dacă x+y-z se divide cu p, atunci x, y, z nu pot fi soluțiile ecuației ?

Syntax a spus :

Insa de unde mi-am dat seama ca trebuie sa arate diferit?
Am privit cu atentie figura cu patratele.

Într-adevăr, ele ar trebui să arate diferit, dar nu am avut mijloacele corespunzătoare să trasez curbele cum trebuie.
Le-am făcut în word. Îți dai seama de precizia de trasare.

Dar oricum, soluțiile reale x,y,n ale ecuației x^n+y^n=1 descriu niște elipse (cerc în cazul n=2).
Analog, pentru latura fixată a unui triunghi ca fiind soluția la puterea n a sumei puterilor n a celorlalte două laturi, descrie aceleași elipse.

În figura cu pătrățele există o simetrie, în sensul că oricare linie orizontală am trasa, una din acele linii împarte linia orizontală respectivă, în 1/x, unde x-1 este numărul liniei de la dreapta la stânga(de la cea în 45 de grade din dreapta, până la marginea din stânga).

Am încercat să văd dacă există o simetrie asemănătoare în desenul cu triunghiurile și acele curbe, dar nu există.

Oricum, este mai important pentru mine acum, pentru că nu pot să dezvolt mai departe deocamdată, să știu cum m-ar putea ajuta faptul că dacă x+y-z se divide cu un număr prim p, atunci acele soluții x, y, z, p nu pot fi soluțiile ecuației x^p+y^p=z^p.

O altă abordare a demonstraţiei privind Marea Teoremă a lui Fermat:
Fie funcţia şi numerele întregi atunci putem scrie următoarele ecuaţii:
unde , unde şi respectiv unde .Analizând aceste ecuaţii putem trage nişte concluzii interesante privind natura numerelor .Această idee poate fi dezvoltată ţinând cont şi de faptul că în general unde iar în cazul Marii Teoreme a lui Fermat şi .

Știm, cel puțin din ceea ce se vehiculează pe internet, că nu există o demonstrație elementară a acestei teoreme, iar cu ajutorul calculatorului s-a verificat această teoremă pentru valori ale lui n foarte mari.
Ceea ce nu înțeleg și mi se pare curios este cum au verificat valabilitatea ei cu ajutorul calculatorului ?
Au luat fiecare n și au calculat infinitatea valorilor pentru x, y și z pentru acel n ?
Sau au avut o relație care trebuia îndeplinită, verificând-o doar pe aceea ?

Are cineva vreo idee ?

Eu personal nici cea mai mica idee nu am cum au facut programul.
Trebuie sa vezi efectiv programul ,precis au facut ceva optimizari nu s-au apucat sa forjeze calculatorul si sa faca calculul pentru pentru fiecare pereche de numere in parte.

gandindu-ma la ce optimizari puteau face mi-a venit o idee (nu neaparat folositoare) dar macar interesanta.Ce ar fi sa faci o analiza a numerelor din componenta teoremei dupa ultima cifra (in prima etapa considerand cifrele in baza zece)?

Hai sa-ti scriu asa in mare cam care ar fi ideea  dezvoltarea ei banuiesc ca necesita zeci de pagini.
Ultima cifra a oricarui numar ridicat la o putere n >0 poate sa fie de 4 feluri

(xxx...x1)^n are ultima cifra 1 oricare ar fi n.         Scriem (1,k),(1,k+1),(1,k+2),(1,k+4),
(xxx...x2)^n are ultima cifra 2,4,8,6 oricare ar fi n. Scriem (2,k),(4,k+1),(8,k+2),(6,k+3)
(xxx...x3)^n are ultima cifra 3,9,7,1 oricare ar fi n. Scriem (3,k),(9,k+1),(7,k+2),(1,k+3)
(xxx...x4)^n are ultima cifra 4,6 oricare ar fi n.      Scriem (4,k),(6,k+1),(4,k+2),(6,k+3)
.............................
Nu le mai scriu pe toate
Suma a doua asfel de puteri se poate termina doar in anumite numere date de suma ultimelor doua si ce este important ca ai si o "restrictie" asupra lui n
Banuiesc ca in baza zece se pot elimina anumite triplete de numere ce ramane ar trebui analizata in baza 100 (sau mai exact o analiza pe ultimele doua cifre) si asa marind numarul de cifre pana cand le elimini pe toate pentru n mai mare de trei.
Ai prins ideea ? Crezi ca este functionabil un astfel de rationament ?

Nu ai idee câte îmi trec și mi-au trecut prin cap, Geza !
Asta cu ultima cifră, am analizat-o deja.
Și încă cum !
Am încercat chiar să mă iau după ultimele câteva cifre prin care se termină puterile, aducând ecuația la una de forma plecând de la faptul că putem aduce ecuația la unde cele două fracții sunt subunitare,, iar dacă am înmulți cu un , ar trebui să ajungem la o ecuație de forma .
Crede-mă, e și mai complicat, sau eu personal, n-am ajuns la niciun rezultat.
Am putea afirma cel mult, că dacă această teoremă e adevărată, atunci pentru n mai mare ca 2 nici nu are soluții.
Situația inversă ar valida teorema.
Dar n-am reușit.
Este interesant pentru mine cel puțin, pe ce criterii au stabilit ei cu ajutorul calculatorului că pentru un anumit n ecuația nu are soluții.
Poate m-ar mai ajuta vreun pic.

Mezei Geza a scris:
Ai prins ideea ? Crezi ca este functionabil un astfel de rationament ?

Cred c-am prins-o, dar nu cred că e prea folositoare, pentru că sunt, sau se pot alege trei numere prime între ele (ca și condiție a teoremei), la aceeași putere astfel încât să coincidă toate la ultimele cifre până la un număr foarte mare.
De fapt, greșesc, până la un număr foarte, foarte, extrem de mare de ultime cifre.
Ai putea efectiv să spui că ele sunt soluțiile ecuației, analizate după ultimele cifre, dar nu e deloc așa.
Dar mai gândindu-mă un pic și plecând de la această idee este posibil ca ei să fi luat în calcul doar anumite cifre cheie, să le spunem, de pe anumite poziții în reprezentarea numărului, deși cred că și aici situația e discutabilă, neputând fi o certitudine.

curiosul a scris:

Cred c-am prins-o, dar nu cred că e prea folositoare, pentru că sunt, sau se pot alege trei numere prime între ele (ca și condiție a teoremei), la aceeași putere astfel încât să coincidă toate la ultimele cifre până la un număr foarte mare.

Daca afirmatia ta se poate demonstra (si cel mai probabil ca se poate) intradevar tot rationamentul meu pica !
Pacat! Parea interesant ! 

curiosul a scris:Știm, cel puțin din ceea ce se vehiculează pe internet, că nu există o demonstrație elementară a acestei teoreme, iar cu ajutorul calculatorului s-a verificat această teoremă pentru valori ale lui n foarte mari.
Ceea ce nu înțeleg și mi se pare curios este cum au verificat valabilitatea ei cu ajutorul calculatorului ?
Au luat fiecare n și au calculat infinitatea valorilor pentru x, y și z  pentru acel n ?
Sau au avut o relație care trebuia îndeplinită, verificând-o doar pe aceea ?

Are cineva vreo idee ?

Eu cred ca simplu, am sa arat pe miine banueala mea.

Mezei Geza a scris:

curiosul a scris:

Cred c-am prins-o, dar nu cred că e prea folositoare, pentru că sunt, sau se pot alege trei numere prime între ele (ca și condiție a teoremei), la aceeași putere astfel încât să coincidă toate la ultimele cifre până la un număr foarte mare.

Daca afirmatia ta se poate demonstra (si cel mai probabil ca se poate) intradevar tot rationamentul meu pica !
Pacat! Parea interesant ! 

Eu pot să mă bazez doar pe ce am observat.
Am analizat doar pentru cazul n=3, am scris pe un caiet foarte multe puteri consecutive și le-am analizat după ultimele cifre, astfel încât suma a două dintre ele să coincidă după ultimele cifre cu o altă putere.
Într-adevăr, după ultima cifră sunt o infinitate care coincid, după două cifre sunt ceva mai puține, adică mai rare, după trei cifre sunt și mai rare, după patru cifre sunt și mai rare care coincid și tot așa, dar întotdeauna există astfel de trei numere pentru care suma a două dintre ele să coincidă după ultimele cifre cu un al treilea, până la un număr foarte mare de ultime cifre.
Cred că așa stau lucrurile și cu celelalte puteri, pentru că deși e destul de complicat, se poate totuși stabili o constantă în repetiția unei secvențe de cifre reprezentând ultimele cifre ale acelorași puteri.

meteor a scris:Eu cred ca simplu, am sa arat pe miine banueala mea.

Chiar sunt curios.
Aștept bănuielile tale. s-ar putea să-mi dea ceva idei noi.

Banueala mea nu merge pina ce asa incit sa verifice calculatorul fiecare caz n, ceva ceva am observat , insa nu pune capat jocului.

Nici nu prea cred ca exista asa tehnici.

In genere ajutor in ziua de azi din partea calculatorului la cercetat in matematica nuuu cred ca poate fi.

Ceva parca am vazut pe wiki despre aceea ca Kramer ar fi verificat pina la n=100, posibil folosind tehnica lui sa o dezvolti cu calculatorul mai departe.

Eu mă gândesc că s-a calculat altfel.
În principiu, ei au calculat pentru n prim.
De la ecuația , aceasta se poate aduce la forma unui produs cu factorii și , sau cazul în care în loc de y poate fi x, astfel încât, obligatoriu, într-unul din cele două cazuri, cei doi factori trebuie să fie ambii numere la puterea p, pentru că acești doi factori pot avea doar p singur factor comun, iar dacă una dintre cele două reprezentări îl conține pe p factor, atunci cealată sigur nu-l conține, prin condiția x, y, z prime între ele, de unde rezultă că din acea reprezentare, ambii factori trebuie să fie numere la puterea p.
Probabil, cu ajutorul calculatorului s-a stabilit o relație pentru care factorul poate fi determinat de o formulă cu ajutorul căreia s-a stabilit că simultan, z-y, sau z-x în celălalt caz, nu poate fi un număr la puterea p.
Asta cam încerc să fac și eu acum.

In subiectul dat am dorit sa prezint demonstratii (mai in special cele elementare, de fapt ca asa si este) atit complet (daca se gaseste) cit si a unor cazuri particulare a Marii Teoreme a lui Fermat.
Daca nu ma credeti, atunci priviti primul mesaj din subiectul dat.

Titlul la fel doresc sa se modifice putin, ca sa fie mai clar ce se discuta, si anume asa sa fie:
"Demonstratii a cazurilor particulare si sau generale a Marii Teoreme a lui Fermat"
(in loc de "Marii Teoreme a lui Fermat" pentru reducerea spatiului se poate de pus abriviatura MTF)

Propun asa:
1. Incepind cu mesajul https://cercetare.forumgratuit.ro/t649-marea-teorema-a-lui-fermat#16381 pina la acesta (acesta din urma sau sa fie si el mutat sau sters) sa fie mutate in un subiect intemeat de curiosul si sa se modifice putin titlul asa sa fie:
" Cercetari asupra demonstratiei a cazurilor particulare si sau generale a Marii Teoreme a lui Fermat"
(la fel si aici se poate de pus abriviatura)

2. Subiectele:
https://cercetare.forumgratuit.ro/t1065-o-demonstra539ie-elementara-pentru-marea-teorema-a-lui-fermat
https://cercetare.forumgratuit.ro/t13-marea-teorema-a-lui-fermat#44
https://cercetare.forumgratuit.ro/t1163-s-o-numim-conjectura
https://cercetare.forumgratuit.ro/t1156-cazul-np-p-prim-impar-al-teoremei-lui-fermat
https://cercetare.forumgratuit.ro/t1142-demonstra539iile-cazurilor-particulare-ale-marii-teoreme-a-lui-fermat
https://cercetare.forumgratuit.ro/t964-demonstraia-elementara-a-marii-teoreme-lui-fermat
https://cercetare.forumgratuit.ro/t978-cea-mai-simpla-demonstra539ie-elementara-a-marii-teoreme-a-lui-fermat

sa fie concatenate in un subiect cu numere:
" Cercetari asupra demonstratiei a cazurilor particulare si sau generale a Marii Teoreme a lui Fermat"

3. Daca autorul nu e convins ca e corecta varianta sa de demonstratie, atunci intii sa o scrie in subiectul cu cercetari.

(* mesajul dat sa ramina in subiectul cutare)

Fermantisti: Persoane pasionate si preocupate de Marea Teorema a lui Fermat. Ei se ocupa cu gasirea unei (unor) demonstratii elementare (sau sau neelementara), cel mai des cu scopul de a gasi presupusa demonstratie care ar fost descoperita de Fermat.
Adesea se considera ca fermantistii nu au cunostinte profunde in matematica si comit deseori greseli la demonstratie.

Asa notiune am gasit-o pe un site rus, si,   , totus e adevarat, multi din noi suntem fermantisti (insa cu palaria mare  ), sper ca nu am scapat vreo greseala, daca da atunci sa ma anuntati.
---------------------------------------------------

De vreo 2 saptamini stau cu ghindul la ceva interesant (mai demult aveam aceasta banueala, insa acum a aparut ceva argumente).

Foarte posibil ca exista mari legaturi intre Mica teorema a lui Fermat cu Marea teorema a lui Mermat.
Altfel spus daca ai Mica teorema, demosntrezi si Marea teorema.

Sa incepem cu niste rezultate obtinute si cred dupa parerea mea importante:
Avem :

-daca demonstram pentru cazurile chind e prim, atunci demonstram complet teorema.
1. Fie atunci trebue sa avem ca:

(Aceasta inseamna ca numerele x,y,z sa fie laturi ale unui triunghi.
Din figura :  daca AD ar fi z, atunci x si y ar trebui sa fie in sectoarele ACD si sau in ABDC. )
2. Daca notam ecuatia de mai sus in:

atunci vom afla ca:
mai general:
(observam caci chiar daca s ar fi 1, oricum x-ul trebue sa fie mai mare ca n, ca sa existe solutii.
* Am incercat sa gasesc vreo relevanta intre n si x, atunci chind x ar fi extrem de mare fata de n, adica un fel ca sa fie o "inchisoare" pentru x,y,z insa nu a iesit nimic [probabil de aceea ca e valabil si pentru multiplii lui n..] )

3. Exista doar 2 cazuri care trebue verificate:

(deci exista cel putin chite un termen din ecuatie care este prim cu puterea)

-------------------------------------------------------------------
Mica teorema a lui Fermat spune:
1)  Daca e un numar prim, iar un intreg oarecare, atunci:

2) Daca nu e divizibil cu (nu e multiplu de ), atunci :

-------------------------------------------------------------------------

Variante pot aparea pe parcurs mai multe si mai dezvoltate eu incep cu cea mai simpla.

Varianta 1. Daca:

Atunci foarte simplu si interesant se demonstreaza cu ajutorul Miciii teoreme a lui Fermat ca ecuatia pentru puterile lui p-1  nu poate avea solutii, adica:


Se demonstreaza asa:
Din cazul 2) de la Mica teorema a lui Fermat rezulta ca  fiecare termen la puterea cutare am putea sa ii scriem in urmatorul mod:

Prin am notat un multiplu de care rezulta din ecuatia ceea exprimata prin x.
Ecuatia noastra deci va fi:

Adica:

Ceea ce este clar ca buna ziua ca  cel putin unul din acei 3 multipli nu e natural pentru ecuatia cutare, ceea ce inseamna ca pentru asa caz ecuatia nu are solutii in N.
Varianta aceasta spune ca nu exista solutii pentru cazurile impuse, daca cel mai mic p ar fi 2, atunci stim doar din conditii ca termenii trebue sa fie primi cu p-ul (adica cu 2), adica nu exista solutii pentru cazul chind puterea este 1 (e clar, deoarece nici numere nu sunt care sa fie prime cu 1 si prime intre ele).

Citindu-vă mesajele, nu știu în ce măsură mai sunt luate în considerare părerile mele, dar o să-ți răspund totuși meteor, pentru că mă gândesc că așa cum eu aș fi așteptat să-mi răspundă cineva, probabil că și tu, la rândul tău, aștepți o părere din partea celorlalți.
Din păcate raționamentul tău nu demonstrează teorema.
În marea lor majoritate, concluziile la care ai ajuns sunt corecte, dar nu este suficient să demonstreze teorema.
În primul rând, folosind mica teoremă a lui Fermat, din raționamentul pe care l-ai folosit:

meteor a scris:
Se demonstreaza asa:
Din cazul 2) de la Mica teorema a lui Fermat rezulta ca  fiecare termen la puterea cutare am putea sa ii scriem in urmatorul mod:

Prin am notat un multiplu de care rezulta din ecuatia ceea exprimata prin x.
Ecuatia noastra deci va fi:

Adica:

Ceea ce este clar ca buna ziua ca  cel putin unul din acei 3 multipli nu e natural pentru ecuatia cutare, ceea ce inseamna ca pentru asa caz ecuatia nu are solutii in N.
Varianta aceasta spune ca nu exista solutii pentru cazurile impuse, daca cel mai mic p ar fi 2, atunci stim doar din conditii ca termenii trebue sa fie primi cu p-ul (adica cu 2), adica nu exista solutii pentru cazul chind puterea este 1 (e clar, deoarece nici numere nu sunt care sa fie prime cu 1 si prime intre ele).

rezultă doar că una din soluțiile x, y sau z trebuie să fie divizibilă cu p în cazul în care n=p-1.
Pentru că tu ai luat în calcul doar situația în care niciuna din soluțiile x, y, z, aducând ecuația, corect de altfel, la forma iar de aici rezultă doar că cel puțin una din soluții trebuie să se dividă cu p, altfel se ajunge la exprimarea la care ai ajuns tu, imposibilă.

Dar cum rămâne cu situația în care una din soluțiile x, y, sau z se divide cu p ?
Asta nu ai luat în calcul.
În această situație, dacă x, y, z sunt prime între ele, pentru cazul n=p-1 doar una dintre soluții poate fi divizibilă cu p.
Presupunem că este x, ecuația devine sau ceva de genul, în funcție de cum vrei s-o dezvolți.
Deja e altă situație, nu ?

Dar oricum, acest raționament ia în calcul doar cazul n=p-1.
Însă tu trebuie să demonstrezi cazul n=p...

Sau, să mă exprim mai clar ca să înțelegi.
Ai scris :

meteor a scris:Din cazul 2) de la Mica teorema a lui Fermat rezulta ca  fiecare termen la puterea cutare am putea sa ii scriem in urmatorul mod:

Este corect, dar doar pentru cazul în care nici x, nici y, nici z nu se divid cu p. Ai ajuns în continuare, dezvoltând și înlocuind în ecuația inițială, la o egalitate evident imposibilă.
Din punct de vedere logic matematic asta înseamnă că ipoteza de la care s-a plecat este incorectă.
În situația de față, egalitatea la care ai ajuns contrazice doar faptul că x, y, z nedivizibile cu p, nu pot fi soluțiile ecuației.
Pentru a demonstra complet cazul n= p-1 trebuie să demonstrezi și cazul în care una din soluțiile x, y sau z este o soluție divizibilă cu p.
Pentru că raționamentul tău demonstrează frumos și simplu doar că nu este posibilă situația în care toate trei soluții ale ecuației sunt nedivizibile cu p, pentru cazul n= p-1
Sper că am fost mai explicit și ai înțeles ce-am vrut să spun.

Asteptam comentariile motănoiului Cadi, ca rau tare ultimul timp s-a facut.

La cercetari cu extraterestri e primul, la matematica e lenos si doarme.
 

Meteor eu am terminat matematica acum 25 de ani ...
Acum de abia am luat-o de la inceput si sunt la nivel de clasa a VII-a  
Insa ai vazut ca ma mai desmortesc si eu din cand in cand , insa nu la
acest nivel.

Nu e vorba de acest nivel Cadi, pentru că sunt sigur că eu nu știu matematica pe care o știi tu.
Singura diferență este că eu rod foarte bine o problemă pe care vreau să o rezolv. La un nivel elementar, desigur.
Și o întorc pe toate părțile pe care sunt capabil s-o întorc.
Ori, multe din concluziile la care a ajuns meteor am ajuns și eu.
De aceea sunt în măsură să-mi spun părerea, la acest nivel, mai ales că eu am început matematica cu numerele prime, deci implicit cu factorizarea și divizibilitatea.
La un nivel elementar, mi-e greu să cred că-mi scapă vreo greșeală după o analiză atentă, în acest domeniu, oricât de nepregătit mă credeți.
S-ar putea să par a fi din nou plin de încredere în mine însumi, dar ...așa cred că sunt.

P.S
Vorbește personalitatea de bază, CAdi.  

Iată o altă încercare de demonstraţie privind MTF pentru numere naturale diferite de zero şi prime între ele:
Se demonstrează uşor că pentru numerele naturale trebuie să reprezinte laturile unui triunghi ABC având unghiurile A,B,C respectiv opuse laturilor .
Din ecuaţia rezultă .
Întrucât este de fapt o identitate atunci rezultă imediat că este necesar si suficient ca să existe ce anume relaţii?  

Într-adevăr Dacule, se poate, dacă nu cumva am greșit la calcule.
Ce înseamnă să mai iei o pauză !

Îți scriu mai târziu concluzia actuală, dar s-o mai verific un pic, s-ar putea să fie greșită, ca toate celelalte de până acum, vis-a-vis de această modalitate de a interpreta teorema lui Fermat.

Oricum, după aceea tu poți să scrii concluziile tale, că sigur ai ajuns la ceva, dar la fel de bine este posibil să fie și ceva greșit.
Revin eu în câteva ore cu dezvoltarea mea, chiar dacă este greșită.
Poate-ți dă idei totuși.

RELUARE
Iată o altă încercare de demonstraţie privind MTF pentru numere naturale diferite de zero şi prime între ele:
Se demonstrează uşor că pentru numerele naturale trebuie să reprezinte laturile unui triunghi ABC având unghiurile A,B,C respectiv opuse laturilor .
Din ecuaţia rezultă .
Întrucât este de fapt o identitate atunci rezultă imediat că este necesar şi suficient ca să existe relaţiile:
(1)
(2) .
Din teorema sinusurilor rezultă relaţiile:
(3)
(4) .
Din relaţiile (1),(2),(3),(4) ţinând cont şi de faptul că există relaţiile şi  atunci rezultă în final relaţia:
(5) .
Din relaţia (5) rezultă foarte uşor că deoarece este necesar ca atunci se demonstrează foarte simplu că doar pentru se obţine iar pentru ar rezulta că şi deci ar rezulta că ceea ce ar fi absurd.
---------------------------------------------
Aştept replicile celor interesaţi de Marea Teoremă a lui Fermat.  

Dacu a scris:RELUARE
Iată o altă încercare de demonstraţie privind MTF pentru numere naturale diferite de zero şi prime între ele:
Se demonstrează uşor că pentru numerele naturale trebuie să reprezinte laturile unui triunghi ABC având unghiurile A,B,C respectiv opuse laturilor .
Din ecuaţia rezultă .
Întrucât este de fapt o identitate atunci rezultă imediat că este necesar şi suficient ca să existe relaţiile:
(1)
(2) .

Aici este greșeala Dacule !
Ți-am completat eu în dreapta, față de cum ai postat, prin adăugarea produsului y(cosC).
Cu siguranță a fost doar o greșeală de redactare.
Faptul că  

Dacu a scris:atunci rezultă imediat că este necesar şi suficient ca să existe relaţiile:
(1)
(2) .

nu rezultă direct, ci este doar un caz particular, pe care l-ai demonstrat deja în mesajele anterioare, aceea primă demonstrație a ta, că nu poate avea soluții întregi, prin discriminantul sistemului. Pentru acest caz nu am nimic de obiectat.
Dar acesta este doar un caz particular.
Ca să-l generalizezi, trebuie să demonstrezi că unica soluție a sistemului admite doar :

(1)
(2) .

Din păcate, este incomplet, pentru că poate exista o aceeași valoare, k să-i spunem, adunată și scăzută la cosinusurile respective, pentru care se respectă egalitățile sistemului:

(1)
(2) .

Mai trebuie să demonstrezi că aceea valoare k este 0, ca să reduci soluțiile sistemului doar la soluțiile
(1)
(2) .

Dacă aceea valoare K este nenulă, raționamentul se schimbă și face demonstrația incompletă,
demonstrând doar unul din cele două cazuri posibile.

REEDITARE
Iată o altă încercare de demonstraţie privind MTF pentru numere naturale diferite de zero şi prime între ele:
Se demonstrează uşor că pentru numerele naturale trebuie să reprezinte laturile unui triunghi ABC având unghiurile A,B,C respectiv opuse laturilor .
Din ecuaţia rezultă .
Întrucât este de fapt o identitate atunci rezultă imediat că este necesar şi suficient ca să existe relaţiile:
(1)
(2) .
Din teorema sinusurilor rezultă relaţiile:
(3)
(4) .
Din relaţiile (1),(2),(3),(4) ţinând cont şi de faptul că există relaţiile şi  atunci rezultă în final relaţia:
(5) .
Din relaţia (5) rezultă foarte uşor că deoarece este necesar ca atunci se demonstrează foarte simplu că doar pentru se obţine iar pentru ar rezulta că şi deci ar rezulta că ceea ce ar fi absurd.
---------------------------------------------
Aştept replicile celor interesaţi de Marea Teoremă a lui Fermat.  

curiosul a scris:Aici este greșeala Dacule !
Ți-am completat eu în dreapta, față de cum ai postat, prin adăugarea produsului y(cosC).
Cu siguranță a fost doar o greșeală de redactare.
Faptul că  

Dacu a scris:atunci rezultă imediat că este necesar şi suficient ca să existe relaţiile:
(1)
(2) .

nu rezultă direct, ci este doar un caz particular, pe care l-ai demonstrat deja în mesajele anterioare, aceea primă demonstrație a ta, că nu poate avea soluții întregi, prin discriminantul sistemului. Pentru acest caz nu am nimic de obiectat.
Dar acesta este doar un caz particular.
Ca să-l generalizezi, trebuie să demonstrezi că unica soluție a sistemului admite doar :

(1)
(2) .

Din păcate, este incomplet, pentru că poate exista o aceeași valoare, k să-i spunem, adunată și scăzută la cosinusurile respective, pentru care se respectă egalitățile sistemului:

(1)
(2) .

Am reeditat completând omisiunea făcută......Mulţumesc!
În ceea ce priveşte identitatea despre care am vorbit , eu ştiu că o identitate presupune faptul că toţi termenii din stânga trebuie să fie egali cu cei din dreapta a acelei identităţi.Ce este o identitate din punct de vedere matematic?O identitate ori este adevărată,ori este falsă!Ce reprezintă altceva decât o identitate?Ce reprezintă altceva decât o ecuaţie?    "

Este corectă dacă demonstrezi și că soluțiile unice ale sistemului sunt:

(1)
(2) .

Ar mai putea fi și alte soluții ?
Da.

Dacu a scris:
În ceea ce priveşte identitatea despre care am vorbit , eu ştiu că o identitate presupune faptul că toţi termenii din stânga trebuie să fie egali cu cei din dreapta a acelei identităţi.

3+7=5+5
Sunt egali termenii din dreapta cu cei din stânga ?
Nu, deși este o egalitate.

Sau altfel spus,
xa+yb=xc+yd.
Singura soluție este a=c și b=d ?
Nu!
Dacă a=c-k, atunci b=d+k.

De fapt nu, le-am cam încurcat eu.
Dacă xa+yb=xc+yd,
iar a diferit de c și b diferit de d,
atunci soluțiile sunt:

c=a-ky
d=b+kx

unde a-ky poate fi diferit de a, iar b+ky poate fi diferit de b.
Tu trebuie să mai demonstrezi că valoarea k este zero,
pentru a reduce soluțiile doar la cele menționate.