Marea teorema a lui Fermat.

Rezumarea primului mesaj :

Teorema: Ecuația nu are soluții dacă n>2 este număr natural, iar x,y,z sunt numere naturale nenule.

Aici, propun, sa se prezinte (cit mai multe) demonstratii posibile a acestei teoreme (inclusiv si pentru cazuri particulare).

Dacu a scris:

curiosul a scris:La punctul 2, într-adevăr, inegalitatea se poate verifica prin "extracția" termenilor în logaritmul natural.

Nu înțeleg ce vrei să spui.Te rog, detaliaza.

Sigur, lasă-mi un pic de timp să îmi ordonez ideile.
Edit:
Scuze, nu știu de ce am crezut că ai citat aceea interpretare de proiecție geometrică.
Pai nu e așa complicat.
Folosești log(a^n) =nlog(a)
Și log(ab)=log(a) +log(b).
Prin log se înțelege logaritmul în bază e, logaritmul natural.

Altfel spus, dacă y>x, din inegalitatea ta se ajunge la a arăta că y este mai mare ca n.
log(x^n)>log(ny^(n-1))
nlog(x)>log(n)+(n-1)log(y)
log(y)-log(n)>n(log(y)-log(x))
Dacă y este mai mare ca x, atunci y este mai mare ca n.

M-a apucat si pe mine boala si am gasit o demonstratie cu binomul lui Newton considerand urmatoarele notatii pentru x,y,z :
x ia valori de la 1...n
y=x+1
z=x+2
Atunci potrivit Teoremei lui Fermat avem :

x^n+(x+1)^n=(x+2)^n
Daca punem conditia n>2 avem urmatoarea situatie in care se vede clar ca ecuatia
nu poate avea solutii:

CAdi a scris:M-a apucat si pe mine boala si am gasit o demonstratie cu binomul lui Newton considerand urmatoarele notatii pentru x,y,z :
x ia valori de la 1...n
y=x+1
z=x+2
Atunci potrivit Teoremei lui Fermat  avem :

x^n+(x+1)^n=(x+2)^n
Daca punem conditia n>2 avem urmatoarea situatie in care se vede clar ca  ecuatia
nu poate avea solutii:

În primul rând, te felicit chiar și numai pentru efortul depus.
Dacă îmi arăți cum se demonstrează faptul că x trebuie obligatoriu să fie de formă 3k+1, în condițiile pe care le-ai menționat, te pe cred pe cuvânt fără să am nevoie de alte explicații în demonstrația ta.

Din termenul general al binomului lui Newton. Nu mai stau sa fac calculele.

Am înțeles.
Cred că cea mai simplă variantă de a demonstra cazul particular pe care l-ai expus este prin analiza parității soluțiilor.
Nici nu ai nevoie de dezvoltare combinatorică.
O vezi?

Ce intelegi prin paritatea solutiilor ?

În primul rând, n nu poate fi impar, iar x+1 obligatoriu par.
Dacă n este par...
Mă rog, repet, eu apreciez efortul pe care l-ai depus.
Dacă contează cu ceva.

Curiosu daca ai demonstrat intr-un mod restul sunt variatiuni pe aceeasi tema.

Sper ca iti dai seama ca nu am ales
x si y=x+1 si z=x+2 intamplator .
Am ales sa respect teorema lui Pitagora care este exceptia de la regula in Teorema lui Fermat :
x=3
y=4
z=5
si n=2

Daca inlocuiesti x si x+1 si x+2 in binomul lui Newton cu n=2 , ajungi la x=3

În subiectul ăsta mă bag, CAdi.
Ca să ajungi la concluzia că x=3, concluzia trebuie condiționată de vreun raționament.
Așa cum și la mine, când am spus ca x trebuie să fie de formă 3k+1 era condiționat de n impar.
Dar nu e domeniul tău de interes și ne vorbim doar ca să ne demonstram unul altuia ceva.

curiosul a scris:În subiectul ăsta mă bag, CAdi.
Ca să ajungi la concluzia că x=3, concluzia trebuie condiționată de vreun raționament.
Așa cum și la mine, când am spus ca x trebuie să fie de formă 3k+1 era condiționat de n impar.
Dar nu e domeniul tău de interes și ne vorbim doar ca să ne demonstram unul altuia ceva.

Curiosule vad ca ti-e cam lene sa rezolvi. Iti dai seama ca nu vorbesc ca sa ma aflu in treaba.
Am rezolvat ecuatia si in final ajungi la o ecuatie de gradul 2 , ale carei solutii sunt x=3 si x=-1
Bineinteles ca am ales solutia x=3

Bravo, CAdi, felicitări!
Îți dai seama că nu pot să afirm altceva mai obiectiv despre ce ai spus.

Multumesc, multumesc , Curiosul  Dar ceea ce intereseaza este demonstratia pentru n>3 .
Eu am expus o varianta.

Permite-mi, te rog, să îți spun că îndrăznesc să am curajul să nu mai pun la îndoială ce spui.

CAdi a scris:M-a apucat si pe mine boala si am gasit o demonstratie cu binomul lui Newton considerand urmatoarele notatii pentru x,y,z :
x ia valori de la 1...n
y=x+1
z=x+2
Atunci potrivit Teoremei lui Fermat  avem :

x^n+(x+1)^n=(x+2)^n
Daca punem conditia n>2 avem urmatoarea situatie in care se vede clar ca  ecuatia
nu poate avea solutii:

Dacă "x ia valori de la 1 până la n" atunci asta nu este corect deoarece x>=n+1, x+1>= n+2, x+2>=n+3 ceea ce contrazice condiția "x ia valori de la 1 până la n" impusă de tine.
Pentru n>2 din x^n+(x+1)^n=(x+2)^n rezultă o ecuație de gradul n de forma x^n+(n-2n)x^(n-1)+....+[n-2^(n-1)]x+1-2^n=0 și din această ecuație rezultă că x trebuie să fie divizor al lui [2^(n-1)]-1 adică [2^(n-1)]-1=tx unde t trebuie să fie un număr natural nenul astfel ca {[2^(n-1)]-1}:t=x>=n+1.
Cum demonstrezi că nu există niciun număr natural nenul t astfel ca {[2^(n-1)]-1}:t=x>=n+1?

Adica de ce nu este corect x=1 ? 1 nu este numar natural ?

CAdi a scris:Adica de ce nu este corect x=1 ? 1 nu este numar natural ?

S-a demonstrat că în cazul "MTF" adică în cazul x^n+y^n=z^n unde n>=2 că este necesar ca x>=n+1, y>=n+2 și z>=n+3 si deci asta este valabil și în cazul particular propus de tine.

Dacu a scris:

CAdi a scris:Adica de ce nu este corect x=1 ? 1 nu este numar natural ?

S-a demonstrat că în cazul "MTF" adică în cazul x^n+y^n=z^n unde n>=2 că este necesar ca x>=n+1, y>=n+2 și z>=n+3 si deci asta este valabil și în cazul particular propus de tine.

Daca vrei simetrie da. Insa nu s-a demonstrat nicaieri asta . Cel putin nu in teorema pe care a publicat-o Meteor.
In teorema se enunta doar ca pentru n > 2 nu exista solutii. Asa ca forma generala in care am scris ecuatia ramane. La fel si demonstratia.

Dacu, în interpretarea ta la nivel de triunghi, cu x, y, z laturi ale unui triunghi, te-ai gândit să folosești teorema lui Stewart cu y și (z-y) separate pe latura z, respectiv x și z-x?
După care să îl exprimi pe p^2 în funcție de cosA și cosB și ținând cont că z-y este factorul lui x^n și z-x factorul lui y^n.
N-am pus creionul pe hârtie, dar așa, calculand doar în mintea mea, ar duce la o concluzie interesantă parcă.
La nivel de factorizare da ceva cu virgulă.

curiosul a scris:Dacu, în interpretarea ta la nivel de triunghi, cu x, y, z laturi ale unui triunghi, te-ai gândit să folosești teorema lui Stewart cu y și (z-y) separate pe latura z, respectiv x și z-x?
După care să îl exprimi pe p^2 în funcție de cosA și cosB și ținând cont că z-y este factorul lui x^n și z-x factorul lui y^n.
N-am pus creionul pe hârtie, dar așa, calculand doar în mintea mea, ar duce la o concluzie interesantă parcă.
La nivel de factorizare da ceva cu virgulă.

Nu văd cu ce ar ajuta....Dacă considerăm triunghiul ABC cu unghiurile A,B,C cu laturile respective opuse BC=z,CA=y,AB=x și condțiile evidente z>=n+3,y>>=n+2,x>=n+1, atunci confrm ideii tale rezultă că trebuie rezolvat sistemul de ecuații:
x^n+y^n=z^n
y^3-2zy^2+(z^2-x^2)y+zAD^2=0
unde D este un punct pe latura BC=z astfel încât BD=z-y și DC=y.
Nu văd ce s-ar mai putea face în continuare cu acest sistem....Continuă ideea...

Reiau :
Am gasit o demonstratie cu binomul lui Newton considerand urmatoarele notatii pentru x,y,z :
Avem :
x ia valori in n
y=x+1
z=x+2
Atunci potrivit Teoremei lui Fermat avem :

x^n+(x+1)^n=(x+2)^n

Daca punem conditia n>2 avem urmatoarea situatie in care se vede clar ca ecuatia
nu poate avea solutii:

Demonstratie :
Deci :
X^n+Y^n=z^n
Avem :
x
y=x+1
Z=X+2
Rezulta ca ecuatia lui Fermat mai poate fi scrisa astfel :
X^n + (X+1)^n=(X+2)^n

Iata demonstratia pentru Teorema lui Pitagora verificata cu ecuatia scrisa sub forma de mai sus :

Pt.n=2
Avem ;
X^2 + (X+1)^2=(X+2)^2
X^n=x^2
(x+1)^2= x^2+2x+1
(x+2)^2=x^2+4x+4
Deci ecuatia lui Fermat poate fi scrisa :
X^2+ x^2+2x+1= x^2+4x+4
Deci :
2x^2-x^2+2x-4x+1-4=0
X^2-2x-3=0 ecuatia rezultanta de gradul 2
Radacinele ecuatiei de gradul 2 pentru delta D=b^2-4a.c unde b= -2, a = 1, c = -3
=(-2)^2-4.1.(-3)=4+12=16 iar sqrt 16 =4
X1,2= -b +/- sqrt (16) / 2.a
X1 = [ - (-2) + 4] / 2.1= (2+4) /2  = 6/2 =3
Si
X2=[ - (-2) -4 ] / 2.1= (2-4) /2  =  -2/2 = -1  deci Solutia este x=3 rezulta :
Y=x+1=3+1=4
Z=x+2=3+2=5 si deci :
Pt n=2 avem:
3^2+4^2=5^2  adica 9+16=25 -verifica ecuatia lui Fermat si varianta corecta expusa.

@Dacu
Îți scriu la repezeală acum pentru că sunt în pauză la muncă, dar îți detaliez diseară mai exact.
Ideea ar fi să alegi pe latura z punctul D astfel încât să împartă z în y și z-y.
Conform teoremei lui Stewart trebuie să ai
y^2(z-y) + x^2y - p^2z = zy(z-y)

p^2 trebuie să fie întreg, nu neapărat și p, dar sigur p^2 este întreg.
Desfaci parantezele , izolezi termenii cu z factor, de unde rezultă că z trebuie să se regăsească complet în y(y-x)(y+x).
Pentru n impar, o parte din z se regăsește în x+y, dar nu complet.
Cealaltă parte trebuie să se regăsească în y-x.
Dar e imposibil cu x, y, z prime între ele.
Dar îți detaliez diseară.

As vrea să mă uit un pic și peste ce a expus CAdi anterior, dar o voi face după ce expun părerile următoare.
Chiar sunt curios să văd cum a analizat, ce e corect și ce nu.

Așadar,  Dacu, cum ai spus, fără doar și poate, x, y, z pot fi considerate laturile unui triunghi, în ce ne privește pe noi doi, sărim peste a demonstra asta, o știm amândoi.
La fel de bine, știm amândoi că ecuația trebuie redusă la o formă primitivă cu x, y, z prime între ele.
Pentru n IMPAR, și doar pentru n impar, ecuația poate fi scrisă sub forma:



Se poate arăta că pentru n prim impar, SINGURUL factor comun al celor două "paranteze" de mai sus poate fi p și doar p, dar este aproape irelevant în această analiză cu excepția faptului că dacă z nu se divide cu p, atunci cele două "paranteze" sunt numere prime între ele și considerăm factorizarea lui z ca fiind z_1 și z_2 , caz în care


și


Ceea ce putem afirma de aici este faptul că z și (x+y) au un factor comun, z și
au un factor comun.
Adică z nu se divide cu x+y, ci z^n se divide cu x+y, dar z și (x+y) au un factor comun conținut în x+y la puterea n.
Sau p, dacă n este prim impar.
Adică cum ar fi 6 și 32.
6 îl conține pe 2 factor, dar 32 îl conține la puterea 5.
6 nu se divide cu 32, dar 6^5 se divide cu 32, motiv pentru care 6 și 32 au un factor comun asemănător cum are z și (x+y).

La fel e și cu cealaltă paranteză.
Motiv pentru care dacă cealaltă "paranteză", ca factor al lui z^n, nu are niciun factor comun cu y-x, atunci z și y-x nu pot avea factori comuni.
Un factor comun conținut atât în x+y, cât și în y-x ar trebui să fie un factor comun conținut, de asemenea, atât în x, cât și în y.
Dacă x și y sunt prime intrevele este imposibil.
Adică contradictoriu.

Să arătăm așadar că paranteza mare ca și factor al lui z^n nu poate avea niciun factor comun cu y-x, dacă x și y sunt prime între ele.
Paranteza mare conține n termeni, reamintim n este impar, cu o desfășurare a parității termenilor în mod consecutiv diferită.
Adică +, - , + , - , ...+ .
Cu excepția ultimului termen, impreunandu-le două câte două  poate fi extras (y-x) factor comun, ceea ce înseamnă că dacă (y-x) și  
au un factor comun, atunci acel factor comun trebuie conținut în x și în y, în funcție de cum "izolam" primul sau ultimul termen din dezvoltarea respectivă.

Dacă x și y sunt prime între ele, mai ales, oricare dintre x și y, coprim cu z, acest factor comun a lui (y-x) și
este un factor a lui z ce trebuie obligatoriu conținut atât în x, cât și în y.
Deci în concluzie z și (x+y) AU un factor comun, dar z și (y-x) nu au NICIUN factor comun.

Să trecem la legătură dintre asta și ceea ce afirmă teorema lui Stewart.
Am găsit pe internet o imagine și vorbim pe baza ei.

AB=y, AC=x, BC=z, BD=y, DC=(z-y), AD=p.
Prin teorema lui Stewart ar trebui să avem:


Dacă x, y, z sunt întregi, obligatoriu p^2 trebuie să fie întreg.
Nu neapărat p, ci p^2.
Adică ca și cum 2 e întreg, dar radical din 2, nu.
Și ce este important aici este doar că p^2 este întreg astfel încât analiza distribuției factorilor să aibă sens.
Nu poți să vorbești despre distribuția factorilor unui număr irațional, motiv pentru care trebuie menționat că p^2 este și trebuie să fie întreg, dacă x, y, z sunt întregi, și asta este tot ce contează.
În ecuația de mai sus, prin teorema lui Stewart, aceasta este congruentă mod z, dacă și doar dacă în factorizarea lui y(y-x)(y+x) se regăsește complet factorizarea lui z.
Și ea se regăsește doar parțial în (x+y).
Factorizarea lui z se regăsește complet în y(y-x)(y+x) dacă și doar dacă, fie y, fie y-x conțin vreun factor de a lui z.
Ceea ceste imposibil și am arătat mai sus, motiv pentru care am și început expunerea în acest mod.

Acum vreau să mă uit un pic peste ce a scris CAdi.

În alta ordine de idei, analizarea ecuației prin teorema lui Stewart ca și soluții x, y, z considerate ca putând fi laturi ale unui triunghi, fie factorizarea lui z se regăsește complet doar în x+y, caz în care una din soluțiile x sau y este 0, fie factorizarea completă a lui z se regăsește și în y(y-x) caz în care x, y, z nu pot fi prime între ele.

curiosul a scris:As vrea să mă uit un pic și peste ce a expus CAdi anterior, dar o voi face după ce expun părerile următoare.
Chiar sunt curios să văd cum a analizat, ce e corect și ce nu.

Așadar,  Dacu, cum ai spus, fără doar și poate, x, y, z pot fi considerate laturile unui triunghi, în ce ne privește pe noi doi, sărim peste a demonstra asta, o știm amândoi.
La fel de bine, știm amândoi că ecuația trebuie redusă la o formă primitivă cu x, y, z prime între ele.
Pentru n IMPAR, și doar pentru n impar, ecuația poate fi scrisă sub forma:



Se poate arăta că pentru n prim impar, SINGURUL factor comun al celor două "paranteze" de mai sus poate fi p și doar p, dar este aproape irelevant în această analiză cu excepția faptului că dacă z nu se divide cu p, atunci cele două "paranteze" sunt numere prime între ele și considerăm factorizarea lui z ca fiind z_1 și z_2 , caz în care


și


Ceea ce putem afirma de aici este faptul că z și (x+y) au un factor comun, z și
au un factor comun.
Adică z nu se divide cu x+y, ci z^n se divide cu x+y, dar z și (x+y) au un factor comun conținut în x+y la puterea n.
Sau p, dacă n este prim impar.
Adică cum ar fi 6 și 32.
6 îl conține pe 2 factor, dar 32 îl conține la puterea 5.
6 nu se divide cu 32, dar 6^5 se divide cu 32, motiv pentru care 6 și 32 au un factor comun asemănător cum are z și (x+y).

La fel e și cu cealaltă paranteză.
Motiv pentru care dacă cealaltă "paranteză", ca factor al lui z^n, nu are niciun factor comun cu y-x, atunci z și y-x nu pot avea factori comuni.
Un factor comun conținut atât în x+y, cât și în y-x ar trebui să fie un factor comun conținut, de asemenea, atât în x, cât și în y.
Dacă x și y sunt prime intrevele este imposibil.
Adică contradictoriu.

Să arătăm așadar că paranteza mare ca și factor al lui z^n nu poate avea niciun factor comun cu y-x, dacă x și y sunt prime între ele.
Paranteza mare conține n termeni, reamintim n este impar, cu o desfășurare a parității termenilor în mod consecutiv diferită.
Adică +, - , + , - , ...+ .
Cu excepția ultimului termen, impreunandu-le două câte două  poate fi extras (y-x) factor comun, ceea ce înseamnă că dacă (y-x) și  
au un factor comun, atunci acel factor comun trebuie conținut în x și în y, în funcție de cum "izolam" primul sau ultimul termen din dezvoltarea respectivă.

Dacă x și y sunt prime între ele, mai ales, oricare dintre x și y, coprim cu z, acest factor comun a lui (y-x) și  
este un factor a lui z ce trebuie obligatoriu conținut atât în x, cât și în y.
Deci în concluzie z și (x+y) AU un factor comun, dar z și (y-x) nu au NICIUN factor comun.

Să trecem la legătură dintre asta și ceea ce afirmă teorema lui Stewart.
Am găsit pe internet o imagine și vorbim pe baza ei.

AB=y, AC=x, BC=z, BD=y, DC=(z-y), AD=p.
Prin teorema lui Stewart ar trebui să avem:


Dacă x, y, z sunt întregi, obligatoriu p^2 trebuie să fie întreg.
Nu neapărat p, ci p^2.
Adică ca și cum 2 e întreg, dar radical din 2, nu.
Și ce este important aici este doar că p^2 este întreg astfel încât analiza distribuției factorilor să aibă sens.
Nu poți să vorbești despre distribuția factorilor unui număr irațional, motiv pentru care trebuie menționat că p^2 este și trebuie să fie întreg, dacă x, y, z sunt întregi, și asta este tot ce contează.
În ecuația de mai sus, prin teorema lui Stewart, aceasta este congruentă mod z, dacă și doar dacă în factorizarea lui y(y-x)(y+x) se regăsește complet factorizarea lui z.
Și ea se regăsește doar parțial în (x+y).
Factorizarea lui z se regăsește complet în y(y-x)(y+x) dacă și doar dacă, fie y, fie y-x conțin vreun factor de a lui z.
Ceea ceste imposibil și am arătat mai sus, motiv pentru care am și început expunerea în acest mod.

Acum vreau să mă uit un pic peste ce a scris CAdi.

Observație:
Neștiind câți divizori are z nu putem fi siguri că demonstrația ta este corectă  și deci nici completă, nici chiar pentru n impar mai mare sau egal cu 3.Câți divizori poate avea numărul z? Nu uita că este necesar ca x>=n+1 , y>=n+2 , z >n+3 și evident z>y>x.Cu ce te ajută Teorema lui Stewart în cazul particular cu punctul D care împarte latura z în z-y și y și cazul particular z=z_1z_2 din Marea Teoremă a lui Fermat?Dacă este o legatură atunci trebuie să rezovi sistemul de ecuații dat de celele doua teoreme chiar și pentru cazul particular cu n număr impar.Nu uita că z>y-x , y>z-x și x>z-y.
___________________________________
Fă niște verificări pentru n=3 și n=5 pentru diferite valori ale lui z cu doi sau mai mulți divizori.Numărul z poate fi un număr prim?

După modul în care te-ai exprimat părerea mea este că n-ai înțeles exact cum și ce am analizat.
Nu are importanță câți divizori are z, separi factorizarea lui în doi factori, cele două paranteze.
Ele, "parantezele" se mai pot divide la rândul lor cu alte numere, care, într-un final, tot ca factori ai lui z vor trebui să fie, dar ce am expus nu este condiționat de numărul divizorilor lui z.

Adică numărul 2310 poți să îl exprimi ca produs de 2 factori 30×77, deși 30, la rândul său este factorizabil (2×3×5), precum și 77 (7×11).

Eu mai sus l-am considerat pe z ca produs de doi factori, deși fiecare dintre ceilalți doi pot fi, de asemenea, la rândul lor factorizabili, exact ca în exemplul de mai sus.

Ca z, y, x sunt mai mari ca n, nu are nicio legătură aici.

Dar ceva îmi spune că mă obosesc degeaba să îți explic lucrurile astea.
Cel puțin din modul în care ai formulat răspunsul tău îmi vorbește clar că nu ai înțeles mare lucru din ce am scris.
Și rămâne așa.
O fi greșit, o fi corect, nici nu mai are importanță.
Ai formulat răspunsul tău neașteptat de mediocru.

Dacu a scris:Cu ce te ajută Teorema lui Stewart în cazul particular cu punctul D care împarte latura z în z-y și y și cazul particular z=z_1z_2 din Marea Teoremă a lui Fermat?

Relația lui Stewart este valabilă pentru oricare ar fi x, y, z laturi ale unui triunghi.
În schimb, pentru că x, y, z sunt și soluții ale ecuației x^n+y^n=z^n , între aceste soluții se pot stabili niște relații suplimentare care nu sunt compatibile cu cele din relația lui Stewart.
Carevasăzică, x, y, z, întregi fie nu pot fi laturi ale unui triunghi, fie nu pot fi soluții ale ecuației x^n+y^n=z^n.
Pentru n impar.
Pentru n par care nu se divide cu niciun număr impar n este o putere de 2 și este suficientă demonstrația pentru n=4.

Și totuși nu e corect.
Iar greșeala este în considerarea lui p^2 întreg.
Întreg este produsul p^2z, nu doar p^2, caz în care z nu mai poate fi extras factor comun analizând situația la fel cum am facut-o mai sus.
p^2 este rațional cu z la numitor.

Concluzia rămâne totuși valabilă:

Curiosul a scris:În ecuația de mai sus, prin teorema lui Stewart, aceasta este congruentă mod z, dacă și doar dacă în factorizarea lui y(y-x)(y+x) se regăsește complet factorizarea lui z.
Și ea se regăsește doar parțial în (x+y).
Factorizarea lui z se regăsește complet în y(y-x)(y+x) dacă și doar dacă, fie y, fie y-x conțin vreun factor de a lui z.

curiosul a scris:Concluzia rămâne totuși valabilă:

Curiosul a scris:În ecuația de mai sus, prin teorema lui Stewart, aceasta este congruentă mod z, dacă și doar dacă în factorizarea lui y(y-x)(y+x) se regăsește complet factorizarea lui z.
Și ea se regăsește doar parțial în (x+y).
Factorizarea lui z se regăsește complet în y(y-x)(y+x) dacă și doar dacă, fie y, fie y-x conțin vreun factor de a lui z.

Pentru ca să convingi pe toată lumea te rog frumos dă o demonstrație completă măcar pentru n=3 și n=5 conform raționamentului tău bazat pe Teorema lui Stewart.
Folosind teorema lui Stewart va trebui să găsești obligatoriu expresia lui AD care este o funcție de x, y, z și cosB sau o funcție de x, y, z și cosC după cum dorești tu și rezolvă sistemul de două ecuații.Cert este că dacă x mai mic ca y mai mic ca z sunt numere naturale nenule atunci în mod sigur AD este un număr rațional mai mare ca zero.Care poate fi relația de ordine între numerele x, y, z și AD?Cât de mare poate fi z-y?
z-y poate fi egal cu 1000?

N-ai zis rău ce ai zis, dar nu trebuie neapărat rezolvat vreun sistem de ecuații.
S-ar putea să fie nevoie de implicarea exprimării unui cosinus, dar ideea în sine este că dacă x, y, z sunt întregi, iar p^2 rațional, în exprimarea lui p^2 sub formă de fracție ireductibila a/b , a, b, ar trebui să fie pătrate perfecte.
Trebuie arătat că rădăcina pătrată a lui p este un număr rațional, nu irațional.
Revin.

Dacu a scris:Cert este că dacă x mai mic ca y mai mic ca z sunt numere naturale nenule atunci în mod sigur AD este un număr rațional mai mare ca zero.

Dacă îmi demonstrezi asta, eu demonstrez restul.
Dar AD, nu AD^2.
Dacă x, y, z sunt întregi.
Dacă AD este rațional, sub formă de fracție ireductibila a/b, atunci AD^2 trebuie obligatoriu să fie cu numărătorul și numitorul pătrate perfecte.