Relații dintre n și pₙ

O să prezint în acest subiect, pe rând, prin mesaje separate, 3 expresii matematice despre anumite relații dintre n și pₙ care ar putea avea o oarecare utilitate practică.
Prima dintre ele pe care o să o prezint în această postare face o legătură între n și pₙ corelată cu diferențele dintre numerele prime consecutive.
Relația este următoarea cu mențiunea că se iau în calcul doar numerele prime impare, unde considerăm primul număr prim ca fiind 3, nu 2:





Formula nu poate identifica al n-lea număr prim, dar aș înclina să cred că ar putea avea o eventuală utilitate raportată la o analiză în care este implicată diferența dintre numerele prime consecutive, cum ar fi, de exemplu, conjectura numerelor prime gemene.

Din aceste considerente am putea extinde dezvoltarea raportat la numărul de perechi de numere prime consecutive mai mici egale cu pₙ astfel încât diferența dintre ele este aceeași.
Dacă am presupune, să zicem, funcția D(m) o funcție care calculează numărul de perechi de numere prime consecutive ambele mai mici, cel mult egale cu pₙ astfel încât diferența dintre ele este aceeași, 2m, atunci formula de mai sus ar putea fi scrisă sub forma:

Si de ce nu ai scris cum ai dedus acea formula ?
Ea necesita mici corecții:


Apoi Suma diferențelor nr prime consecutive mai mari ca 3 este :

Meteorr a scris:Si de ce nu ai scris cum ai dedus acea formula ?

În esență, nu este complicat deloc cum se deduce formula, meteor.
Fluctuațiile diferenței dintre n și p_n depind de numărul de numere impare nonprime până la p_n.
În acest caz, numărul de numere nonprime dintre p_n și p_(n+1) este determinat de jumătatea diferenței dintre ele minus 1, ceea ce face ca, din aproape în aproape, numărul total de numere impare nonprime până la p_n să poată fi relaționat cu toate diferențele dintre numerele prime consecutive.
Formula asta nu știu dacă are neapărat vreo utilitate, dar cred că mi s-a părut interesant doar faptul că este o relație dintre n, p_n și numerele prime până la p_n.
Ceea ce ar putea fi eventual fructificat, cum spuneam, ar putea fi faptul că această relație vorbește despre diferențele dintre numerele prime consecutive, cum ar fi numerele prime gemene.
Am mai dedus alte două relații care fac o oarecare legătură între n și p_n în alt mod, dar tot la fel, fără o importanță practică clară, cel puțin în ochii mei și pentru moment.
O să le expun și pe acelea la un moment dat.

Tu nu ai înțeles ce am întrebat: cum ai obținut acea suma și rezultatul ei sau o faci pe neintelesul.

Se vede din suma jumătatea sumei consecutivelor minus 1 egal.... dar cum ai ajuns la aceasta.

Dacă ai pornit butonul ca nu înțelegi întrebarea atunci rost nu vad din discuție.

Eu am înțeles ce ai întrebat, meteor, numai că răspunsul meu nu este pe măsura așteptărilor tale.
Mai încerc o dată.
Așadar...
Primul număr impar mai mare ca 1 este 3, al doilea număr impar este 5, al treilea număr impar este 7,..., al n-Lea număr impar este 2n+1.
Vorbim de numere impare, deocamdată, nu prime.
Deci până la 7 ca fiind și p₃, indicele corespunde cu cel de-al 3-lea număr impar mai mare ca 1.
În ce privește numărul prim 11 el este al 4-lea număr prim, dar este al 5-lea număr impar.
De ce?
Pentru că între 7 și 11, ca numere prime consecutive, există un număr impar nonprim.
Aceasta este ideea de bază.
Acum considerând generalizat, numărul prim impar pₙ ca fiind al x-lea număr impar, diferența dintre x și n este determinată de numărul de numere impare nonprime mai mari ca 1 și mai mici ca pₙ.
Din această cauză începem să numărăm numerele prime impare nonprime mai mari ca 1.
Câte numere impare nonprime sunt între doua numere prime consecutive?
Exact cât am spus și anterior, jumătate din diferența dintre ele minus 1.
Deci ce am făcut în formula aia a fost doar să stabilesc o relație între n și x, adică între al n-Lea număr prim care este și al x-Lea număr impar. Atât, nimic altceva.
E mai clar un pic acum?

Da e simplu și clar.

Evita exprimări greșite. Numere pare prime e numai unul-2.
Numerele impare neprime se numesc impare compuse.

Suma începe de la 2 însemna că gata uitam de 2 de expresii numere prime pare sa impare,...

Supa exprima diferența sumelor între 2 prime consecutive și mai corect reformulata e ce am postat eu la urma.

De fapt la orice șir care are o regula se reduc toți termenii și rămâne ultimul termen - primul termen.
Asa e și cu suma distantelor între nr prime consecutive.
Asa e și la suma distantelor spre exemplu între nr prime vecine, mersese,....orice altele

Meteorr a scris:Evita exprimări greșite.

Din păcate, mesajele tale abuzează de exprimări greșite. Nu ești în măsură să dai asemenea sfaturi.

Nu cred că este cazul să facem atâta caz pentru un caz.
Probabil meteor s-a exprimat mai degrabă la modul incomplet al exprimării mele greșite, decât la modul incorect, motiv pentru care observația lui este destul de indicată, nu obligatorie.
În sfârșit, să trecem la următoarea formulă

No_name a scris:Nu cred că este cazul să facem atâta caz pentru un caz.

Nu cred că este cazul să susții că am făcut un caz atât de mare din acest caz.

Dar superficialitatea în lucrurile mici duce la superficialitate și în lucrurile mari! Nu fiți superficiali! Fiți foarte atenți la cele mai mici detalii în comunicare! O asemenea atenție vă va ajuta și în gândire.

Abel Cavaşi a scris:

No_name a scris:Nu cred că este cazul să facem atâta caz pentru un caz.

Nu cred că este cazul să susții că am făcut un caz atât de mare din acest caz.  

Dar superficialitatea în lucrurile mici duce la superficialitate și în lucrurile mari! Nu fiți superficiali! Fiți foarte atenți la cele mai mici detalii în comunicare! O asemenea atenție vă va ajuta și în gândire.

Ba da!
Ai făcut din problema noastră, a lui eu și meteor, problema ta.
De fapt... acesta este rolul tău ca administrator.
Și nu numai al tău, de altfel.
Să (vă) faceți probleme din alte probleme.
Chestiunea cu superficialitatea nu ar fi o problemă ea însăși, ci doar atunci când este corelată cu lucruri mici și lucruri mari.
Offf....
Ce vă mai plac lucrurile mari!!!!

A doua relație pleacă de la faptul că 1+3+5+7+....+2n+1=(n-1)².
N-am timp să dezvolt acum, meteor, dar ca idee, pe 9 îl scrii ca 11-2, pe 11 ca 13-2, pe 15 ca 17-4 etc, și încerci să scrii suma doar ca expresie de numere prime.
Poți să mai calculezi și tu dacă vrei...

Mai corectez și completez un pic ce am vrut să spun mai sus.
Plecând de la 1+3+5+7+...+(2x+1)=(x+1)² scrii suma folosind doar numerele prime:
1+p₂+p₃+p₄+(p₅-2)+(p₆-2)+(p₇-4)+....+(pₙ-2m)=n².
Ce te interesează acum este să găsești o relație între acești -2, -2, -4,...,-2m.
În dezvoltarea pe care am făcut-o eu am adus-o la o formă în care m-am folosit și de prima relație.

Dacă te ajută cu ceva, apare o aproximare interesantă între π(p²ₙ) și π²(pₙ)=n², dar nu se respectă pentru numere mari totuși, dar ar putea fi utilă pentru determinarea unui număr minim de numere prime până la p²ₙ.