Forum pentru cercetare
Doriți să reacționați la acest mesaj? Creați un cont în câteva clickuri sau conectați-vă pentru a continua.
Ultimele subiecte
» Cum diferă energia pentru cerc față de dreaptă?
Scris de virgil Ieri la 22:34

» Legi de conservare (2)
Scris de virgil_48 Ieri la 08:53

» Gravitatia sub spectrul lui Einstein si Newton.Cine are dreptate?
Scris de curiosul Joi 11 Aug 2022, 12:43

» Pământul ca generator electric
Scris de gafiteanu Joi 11 Aug 2022, 10:58

» TEORIA CONSPIRATIEI NU ESTE UN MIT...
Scris de virgil_48 Joi 11 Aug 2022, 00:32

» Inventatori romani
Scris de virgil Mier 03 Aug 2022, 07:40

» Dezastrul climatic actual. Prostia și corupția unor invatati și conducatori
Scris de Vizitator Mier 27 Iul 2022, 23:24

» Fotografia astronomica.
Scris de virgil_48 Lun 18 Iul 2022, 20:04

» Tesla, omul- munca, geniu, rezultate
Scris de gafiteanu Sam 16 Iul 2022, 06:22

» Ce este FOIP?
Scris de virgil Joi 14 Iul 2022, 21:28

» Lucrul mecanic - definitie si exemple (Secţiunea 2)
Scris de virgil_48 Dum 10 Iul 2022, 10:44

» Carti sau documente de care avem nevoie
Scris de gafiteanu Sam 09 Iul 2022, 03:23

» Din nou despre rezonanța orbitală
Scris de virgil Vin 08 Iul 2022, 11:32

» Teoria lui Virgil, argumente pro şi contra
Scris de virgil Vin 01 Iul 2022, 06:32

» Free energy
Scris de gafiteanu Dum 26 Iun 2022, 02:48

» Ce fel de popor suntem
Scris de eugen Joi 23 Iun 2022, 21:26

» PROFILUL CERCETATORULUI...
Scris de eugen Sam 18 Iun 2022, 15:38

» Basarabia, Bucovina - pământ românesc
Scris de eugen Joi 02 Iun 2022, 21:44

» Urări de sărbători
Scris de gafiteanu Joi 02 Iun 2022, 04:26

» Relatiile lui Virgil
Scris de virgil Dum 29 Mai 2022, 07:55

» Campul Higgs
Scris de virgil_48 Sam 28 Mai 2022, 16:25

» Despre unii care vorbesc si aici despre MC
Scris de gafiteanu Vin 27 Mai 2022, 14:54

» Ce fel de muzica ascultati?
Scris de gafiteanu Lun 23 Mai 2022, 02:22

» Catedre noi la facultatile de medicina si farmacie.
Scris de virgil_48 Sam 21 Mai 2022, 19:57

» Nu întrați în război, opriti-l nedorind războaie și inarmari
Scris de gafiteanu Joi 19 Mai 2022, 05:11

» Fiat Lux
Scris de CAdi Mar 17 Mai 2022, 11:45

» In ce consta campul electric?
Scris de virgil Vin 13 Mai 2022, 10:29

» Relatia lui Einstein pentru Gravitatie
Scris de virgil Joi 12 Mai 2022, 06:53

» Filme SF de scurt metraj
Scris de CAdi Mier 11 Mai 2022, 11:54

» Efectul Allais
Scris de virgil_48 Mar 10 Mai 2022, 23:25

Top postatori
virgil (11291)
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
CAdi (10203)
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
virgil_48 (9557)
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
Abel Cavaşi (7715)
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
gafiteanu (7505)
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
Razvan (6009)
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
curiosul (5874)
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
Pacalici (5571)
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
scanteitudorel (4989)
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
eugen (3455)
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 

Cei care creeaza cel mai des subiecte noi
Abel Cavaşi
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
Pacalici
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
CAdi
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
curiosul
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
Dacu
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
Razvan
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
virgil
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
meteor
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
gafiteanu
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
scanteitudorel
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 

Cei mai activi postatori ai lunii
virgil_48
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
Abel Cavaşi
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
gafiteanu
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
virgil
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
curiosul
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
Dacu
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
Turcu Vasile
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 

Cei mai activi postatori ai saptamanii
virgil_48
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
gafiteanu
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
Abel Cavaşi
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
virgil
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
Turcu Vasile
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 
curiosul
Sume interesante Vote_lcapSume interesante Voting_barSume interesante Vote_rcap 

Flux RSS


Yahoo! 
MSN 
AOL 
Netvibes 
Bloglines 


Spune şi altora
Cine este conectat?
În total sunt 8 utilizatori conectați: 0 Înregistrați, 0 Invizibil și 8 Vizitatori :: 1 Motor de căutare

Nici unul

Recordul de utilizatori conectați a fost de 49, Dum 20 Mar 2011, 14:29

Sume interesante

3 participanți

In jos

Sume interesante Empty Sume interesante

Mesaj Scris de Syntax Lun 29 Apr 2013, 17:12

Am intalnit proprietatea asta interesanta cautand sa definesc conceptul de infinit:

Pare o "contradictie", pentru ca adunand o infinitate de numere nenule ,pozitive nu-mi da infinit, ci un numar finit.
Acelasi lucru e valabil si pentru:



_________________
Please wait...loading theory!

Syntax
Dinamic
Dinamic

Mulţumit de forum :
Sume interesante Left_bar_bleue10 / 1010 / 10Sume interesante Right_bar_bleue
Numarul mesajelor : 475
Puncte : 11716
Data de inscriere : 03/04/2013
Obiective curente : Acum mă preocupă următoarele:
-1) O teorie "ciudata" despre repausul absolut
-2) Sa inteleg ideile noi prezentate pe acest forum
-3) Sa fac un "top" al utilizatorilor de pe acest forum dupa criteriile mele Smile


Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de Razvan Lun 29 Apr 2013, 17:17

Syntax a scris:...adunand o infinitate de numere nenule ,pozitive nu-mi da infinit, ci un numar finit.
Nu aduni o infinitate de numere nenule, pozitive, ci n numere!

_________________
Eşti inteligent atunci când crezi doar jumătate din ceea ce afli; eşti înţelept atunci când ştii care jumătate!
Razvan
Razvan
Foarte activ
Foarte activ

Mulţumit de forum :
Sume interesante Left_bar_bleue9 / 109 / 10Sume interesante Right_bar_bleue
Numarul mesajelor : 6009
Puncte : 30888
Data de inscriere : 18/03/2011

Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de Syntax Lun 29 Apr 2013, 17:25

Razvan a scris:
Syntax a scris:...adunand o infinitate de numere nenule ,pozitive nu-mi da infinit, ci un numar finit.
Nu aduni o infinitate de numere nenule, pozitive, ci n numere!

Ideea este ca oricate numere adun doar cand n tinde la infinit, suma va fi 1/9.
In plus am observat ceva:
pentru n=9 rezulta 0,(9)=1 ceea ce nu e corect.
Trebuie sa refac calculele.Am gresit undeva.

_________________
Please wait...loading theory!

Syntax
Dinamic
Dinamic

Mulţumit de forum :
Sume interesante Left_bar_bleue10 / 1010 / 10Sume interesante Right_bar_bleue
Numarul mesajelor : 475
Puncte : 11716
Data de inscriere : 03/04/2013
Obiective curente : Acum mă preocupă următoarele:
-1) O teorie "ciudata" despre repausul absolut
-2) Sa inteleg ideile noi prezentate pe acest forum
-3) Sa fac un "top" al utilizatorilor de pe acest forum dupa criteriile mele Smile


Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de Syntax Lun 29 Apr 2013, 17:39

O rectificare e necesara:


Pentru a nu se confunda n cu k.
Observ ca valorile lui k sunt limitate de la 1-8.

_________________
Please wait...loading theory!

Syntax
Dinamic
Dinamic

Mulţumit de forum :
Sume interesante Left_bar_bleue10 / 1010 / 10Sume interesante Right_bar_bleue
Numarul mesajelor : 475
Puncte : 11716
Data de inscriere : 03/04/2013
Obiective curente : Acum mă preocupă următoarele:
-1) O teorie "ciudata" despre repausul absolut
-2) Sa inteleg ideile noi prezentate pe acest forum
-3) Sa fac un "top" al utilizatorilor de pe acest forum dupa criteriile mele Smile


Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de Syntax Lun 29 Apr 2013, 17:52

Cu exceptia lui k=9 relatia de mai sus este valabila pentru orice k, numar intreg pozitiv.
Desi se poate spune ca si 0,(9) la infinit este chiar 1.

_________________
Please wait...loading theory!

Syntax
Dinamic
Dinamic

Mulţumit de forum :
Sume interesante Left_bar_bleue10 / 1010 / 10Sume interesante Right_bar_bleue
Numarul mesajelor : 475
Puncte : 11716
Data de inscriere : 03/04/2013
Obiective curente : Acum mă preocupă următoarele:
-1) O teorie "ciudata" despre repausul absolut
-2) Sa inteleg ideile noi prezentate pe acest forum
-3) Sa fac un "top" al utilizatorilor de pe acest forum dupa criteriile mele Smile


Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de Vizitator Lun 29 Apr 2013, 20:21

Syntax a scris:O rectificare e necesara:


Pentru a nu se confunda n cu k.
Observ ca valorile lui k sunt limitate de la 1-8.

Foloseste notatia asta daca l-ai trimis pe n la infinit


De ce ar fi limitate valorile lui k ?

Vizitator
Vizitator


Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de Syntax Mar 30 Apr 2013, 10:26


Probabil asa este mai bine.
Se observa ca pentru k=9 se obtine egalitatea 0.(9)=1
Interesant este ca daca pentru k=1,2,3...10,11... suma de mai sus este valabila ( pentru n tinde la infinit ) pentru k=9 rezulta o "eroare" de 0,(0)1.
As interpreta astfel aceasta "eroare".
Suma numerelor respective este mai mica sau cel putin egala la infinit cu k/9.
Dar asta inseamna ca un numar este o suma "infinita" de numere!???


_________________
Please wait...loading theory!

Syntax
Dinamic
Dinamic

Mulţumit de forum :
Sume interesante Left_bar_bleue10 / 1010 / 10Sume interesante Right_bar_bleue
Numarul mesajelor : 475
Puncte : 11716
Data de inscriere : 03/04/2013
Obiective curente : Acum mă preocupă următoarele:
-1) O teorie "ciudata" despre repausul absolut
-2) Sa inteleg ideile noi prezentate pe acest forum
-3) Sa fac un "top" al utilizatorilor de pe acest forum dupa criteriile mele Smile


Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de Syntax Mar 30 Apr 2013, 10:29

Pe scurt: La infinit toate numerele sunt egale.
Un fel de "relativitate" matematica.

_________________
Please wait...loading theory!

Syntax
Dinamic
Dinamic

Mulţumit de forum :
Sume interesante Left_bar_bleue10 / 1010 / 10Sume interesante Right_bar_bleue
Numarul mesajelor : 475
Puncte : 11716
Data de inscriere : 03/04/2013
Obiective curente : Acum mă preocupă următoarele:
-1) O teorie "ciudata" despre repausul absolut
-2) Sa inteleg ideile noi prezentate pe acest forum
-3) Sa fac un "top" al utilizatorilor de pe acest forum dupa criteriile mele Smile


Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de Vizitator Mar 30 Apr 2013, 11:01

Syntax a scris:
Probabil asa este mai bine.
Se observa ca pentru k=9 se obtine egalitatea 0.(9)=1
Interesant este ca daca pentru k=1,2,3...10,11... suma de mai sus este valabila ( pentru n tinde la infinit ) pentru k=9 rezulta o "eroare" de 0,(0)1.
As interpreta astfel aceasta "eroare".
Suma numerelor respective este mai mica sau cel putin egala la infinit cu k/9.
Dar asta inseamna ca un numar este o suma "infinita" de numere!???


Buna
Nu este nici o eroare,poate doar asa cu ghilimelele de rigoare
Suma ta de fapt este asta:

Este suma unei progresii geometrice de ratie 1/10
Daca il trimiti pe n la infinit nu faci alceva decat sa neglijezi termenul (1/10)^n exact eroarea pe care o aduci in discutie.

Da! Orice numar se poate scrie ca o si o suma infinita de numere (vezi dezvoltarea in serie Taylor a unei functii in jurul unui punct)
Exemple celebre sunt e si pi


Aici ai sarit peste cal.Una zici si alta scrii. Very Happy

Vizitator
Vizitator


Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de Syntax Mar 30 Apr 2013, 12:08

Mezei Geza a scris:

Aici ai sarit peste cal.Una zici si alta scrii. Very Happy
Exprimarea de mai sus nu e corecta , ai dreptate.

Si ca dezvoltarea seriei Taylor intr-un punct explica "eroarea" ai dreptate.


_________________
Please wait...loading theory!

Syntax
Dinamic
Dinamic

Mulţumit de forum :
Sume interesante Left_bar_bleue10 / 1010 / 10Sume interesante Right_bar_bleue
Numarul mesajelor : 475
Puncte : 11716
Data de inscriere : 03/04/2013
Obiective curente : Acum mă preocupă următoarele:
-1) O teorie "ciudata" despre repausul absolut
-2) Sa inteleg ideile noi prezentate pe acest forum
-3) Sa fac un "top" al utilizatorilor de pe acest forum dupa criteriile mele Smile


Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de Vizitator Mar 30 Apr 2013, 12:25

Syntax a scris:
Mezei Geza a scris:

Aici ai sarit peste cal.Una zici si alta scrii. Very Happy
Exprimarea de mai sus nu e corecta , ai dreptate.

Si ca dezvoltarea seriei Taylor intr-un punct explica "eroarea" ai dreptate.


Nu neaparat trebuie sa te complici cu o dezvoltare Taylor mult mai simplu poti sa observi asta din:

echivalent cu:

Vizitator
Vizitator


Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de Syntax Mar 30 Apr 2013, 13:00

Si Razvan a observat asta.
Cand adun n numere (un numar finit) totul e ok.
Dar pentru n infinit suma pentru k=9 va fi 0,999999 (infinit) si doar la infinit va fi 1.
Nu stiu cum sa exprim matematic decat cu semnul aproximativ egal.
Ar rezulta ca daca

Atunci eroarea ar fi nedefinita, putand lua orice valori.

_________________
Please wait...loading theory!

Syntax
Dinamic
Dinamic

Mulţumit de forum :
Sume interesante Left_bar_bleue10 / 1010 / 10Sume interesante Right_bar_bleue
Numarul mesajelor : 475
Puncte : 11716
Data de inscriere : 03/04/2013
Obiective curente : Acum mă preocupă următoarele:
-1) O teorie "ciudata" despre repausul absolut
-2) Sa inteleg ideile noi prezentate pe acest forum
-3) Sa fac un "top" al utilizatorilor de pe acest forum dupa criteriile mele Smile


Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de Vizitator Mar 30 Apr 2013, 13:20

Syntax a scris:Si Razvan a observat asta.
Cand adun n numere (un numar finit) totul e ok.
Dar pentru n infinit suma pentru k=9 va fi 0,999999 (infinit) si doar la infinit va fi 1.
Nu stiu cum sa exprim matematic decat cu semnul aproximativ egal.
Ar rezulta ca daca

Atunci eroarea ar fi nedefinita, putand lua orice valori.
Dupa parerea mea solutia este sa folosesti limite si ai rezolvat problema

de fapt din aceasta cauza s-au si inventat

Vizitator
Vizitator


Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de meteor Mar 30 Apr 2013, 22:57

Dupa parerea mea, sume cu adevarat interesante si misterioase sunt functiile zeta a lui Reimman, la moment (deoarece la acestea se stie precis valoarea sumei) in special petntru valori naturale pare.

Nu deaceea spun ca e misterios si interesant si nustiu ce, ca e la moda, ca sta miliionul, ci deoarece in joc la numitor se afla numerele naturale, valoarea sumei seriei pentru puteri naturale, este o valoare intregii sume e exprimata prin PI.
Aici minune.

Mare minune mai este pentru cazul cind exponentul terminilor este 1, in acest caz cica valoarea sumei tinde catre infinit.
Asa o divergenta, asa de greu sa creasca, eu nu am mai vazut, si nici nu imi inchipui cu poate fi, deoarece pentru valori a citevea zeci de mii, valoare sumei are valori foarte mici.

meteor
Foarte activ
Foarte activ

Mulţumit de forum :
Sume interesante Left_bar_bleue9 / 109 / 10Sume interesante Right_bar_bleue
Numarul mesajelor : 2203
Puncte : 23344
Data de inscriere : 19/06/2011

Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de Vizitator Mar 30 Apr 2013, 23:28

meteor a scris:

Mare minune mai este pentru cazul cind exponentul terminilor este 1, in acest caz cica valoarea sumei tinde catre infinit.
Asa o divergenta, asa de greu sa creasca, eu nu am mai vazut, si nici nu imi inchipui cu poate fi, deoarece pentru valori a citevea zeci de mii, valoare sumei are valori foarte mici.

Cum adica "cica" Very Happy ?
Demonstratia divergentei este superba si foarte simpla.Intradevar creste "ciudat de incet" dar tot divergenta este !

Vizitator
Vizitator


Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de meteor Joi 02 Mai 2013, 22:40

Mezei Geza a scris:
Cum adica "cica" Very Happy ?
"cica"- adica cind auzi de la nea nu stiu cine, sau citesti undeva ceva, insa nu ai demonstratia pe masa.
Mezei Geza a scris:
Demonstratia divergentei este superba si foarte simpla.Intradevar creste "ciudat de incet" dar tot divergenta este !
Ce mai astepti, invitatie speciala expediata in plica la adresa ta postala?! Very Happy
Ada aici repede demonstratia aceea simpla de care spui.


meteor
Foarte activ
Foarte activ

Mulţumit de forum :
Sume interesante Left_bar_bleue9 / 109 / 10Sume interesante Right_bar_bleue
Numarul mesajelor : 2203
Puncte : 23344
Data de inscriere : 19/06/2011

Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de Vizitator Joi 02 Mai 2013, 23:33

Da sefu" Very Happy

Functia zeta pentru exponent unitar este:

adica exact seria armonica.(sper sa nu fac vreo grava eroare)
Exista mai multe demonstratii ale divergentei acestei serii
Cea mai simpla demonstratie de fapt demonstratia care mi-a placut si la care m-am referit in postul de mai sus ( o dau si cu link ca am gasit-o intre timp )
http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_%28mathematics%29
este demonstratia cand grupeaza termenii dupa puterile lui 2

Se scrie suma sub forma: 1+(1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8 )+(1/9+...1/16)+...
astfel incat in paranteze sa avem 2^0, 2^1, 2^2, 2^3,...2^n,... termeni
Din aceasta suma creaza o suma mai mica prin minorarea valorilor din paranteze la valoarea ultimului termen.
1+(1/2)+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8 )+(1/16+...1/16)+...
suma care se poate arata ca este egala cu:
1+1/2+2*(1/4)+4*(1/8 )+8*(1/16)+...=1+1/2+1/2+1/2+...1/2 ...
suma care va contine o infinitate de 1/2 deci este infinita.
Deci automat si seria armonica care este mai mare decat aceasta suma este tot infinita

Tot in acel link am gasit ca suma calculata pentru primii 10^43 termeni abia bate 100 !!

Sper ca nu am dat ceva de Terra !!


Ultima editare efectuata de catre Mezei Geza in Joi 02 Mai 2013, 23:45, editata de 2 ori (Motiv : +grava (eroare))

Vizitator
Vizitator


Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de meteor Vin 03 Mai 2013, 00:14

ok, pina aici vad ca ti-ai indeplinit cerintele.

Intradevar e simpla demonstratia aceea (totus are parca inca ceva banal in ea).

Acum poti pleca la culcare, Very Happy

meteor
Foarte activ
Foarte activ

Mulţumit de forum :
Sume interesante Left_bar_bleue9 / 109 / 10Sume interesante Right_bar_bleue
Numarul mesajelor : 2203
Puncte : 23344
Data de inscriere : 19/06/2011

Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de Vizitator Vin 03 Mai 2013, 00:22

Are ceva banal in ea ca doar nu degeaba este "banal de simpla" Very Happy
Am inteles! Am plecat! Very Happy

PS
Daca vrei o demonstratie mai "strong" ai acolo una cu integrala si aia este frumoasa


Ultima editare efectuata de catre Mezei Geza in Vin 03 Mai 2013, 00:35, editata de 1 ori (Motiv : PS)

Vizitator
Vizitator


Sus In jos

Sume interesante Empty Re: Sume interesante

Mesaj Scris de Continut sponsorizat


Continut sponsorizat


Sus In jos

Sus

- Subiecte similare

 
Permisiunile acestui forum:
Nu puteti raspunde la subiectele acestui forum