Cvadruplete prime

Cvadrupletele prime sunt numerele prime consecutive de forma p, p+2, p+6,p+8.
Primele cvadruplete din șirul numerelor prime sunt:
11, 13, 17, 19 ;
101, 103, 107, 109 ;
191, 193, 197, 199 ;
...

Se pune problema dacă există o infinitate de asemenea cvadruplete prime.
Analizând forma acestora, putem stabili că ele sunt numere prime de forma:
30k+11 , 30k+13, 30k+17, 30k+19.

Dacă analizăm șirurile de numere de această formă :

0 - 11, 13, 17, 19 ;
1 - 41, 43, 47, 49 ;
2 - 71, 73, 77, 79 ;
3 - 101, 103, 107, 109 ;
4 - 131, 133, 137, 139 ;
5 - 161, 163, 167, 169 ;
6 - 191, 193, 197, 199 ;
...
numerele 1,2,3,4,5,6,.. sunt valorile lui k pentru care obținem șirul
30k+11 , 30k+13, 30k+17, 30k+19.
Pe acest principiu, putem construi un tipar de bază prin care se pot calcula aceste șiruri care conțin cel puțin un număr care nu este prim.
Spre exemplu, pentru k=1, în șirul 41, 43, 47, 49, numărul 49 nu este un număr prim, în șirul 71, 73, 77, 79, numărul 77 nu este un număr prim.

În tabelul următor, numerele scrise cu roșu sunt valorile lui k pentru care există cel puțin un număr nonprim în șirul 30k+11 , 30k+13, 30k+17, 30k+19 :



Plecând de la aceste valori ale lui k, le putem calcula pe toate celelalte valori pentru care există cel puțin un număr nonprim în șirul 30k+11 , 30k+13, 30k+17, 30k+19.
Continuarea tabelului trebuie realizată în două sensuri, pe orizontală și pe verticală aproape în același mod.
În dezvoltarea pe orizontală, se adună numărul prim din stânga cu oricare din numerele scrise cu roșu din direcția lui pe orizontală,
generându-se astfel o copie a tabelului anterior în care valorile din tabel vor fi mai mari decât în primul tabel exact cu valoarea numărului prim din stânga lor,
în aceeași direcție pe orizontală, scris cu negru, cum este afișat mai jos :



În al treilea tabel din dreapta, pe aceleași poziții în tabel, sunt numerele din al doilea tabel adunate încă o dată cu numerele prime din stânga pe orizontală și tot așa.
Toate aceste numere care apar până acum sunt valorile lui k, pentru care în șirul 30k+11 , 30k+13, 30k+17, 30k+19 există cel puțin un număr care nu este prim.
Mai mult acela se divide cu numărul prim din stânga și cu cel din direcția lui pe verticală.
Spre exemplu, în al treilea tabel, apare numărul 18 pe prima linie. Aceasta înseamnă că unul din numerele
(30*18)+11 , (30*18)+13, (30^18)+17, (30*18)+19
este un număr care se divide cu 7. Acela este (30*18)+13=553=7*79.
De asemenea, în mod similar, oricare număr din oricare tabel, înmulțit cu 30 și la care adunat unul din numerele 11, 13, 17, 19
va rezulta un număr care nu este prim, divizându-se cu numărul din stânga lui pe orizontală și cu cel de deasupra lui pe verticală, scris cu negru.

În dezvoltarea pe verticală a tabelului, toate numerele care "au apărut" în prima linie de tabele pe orizontală, vor trebui adunate cu numerele care sunt scrise cu negru din direcția lor pe verticală.

[Offtopic]{Voi continua analiza într-un alt mesaj.}[/Offtopic]

curiosul a scris:Cvadrupletele prime sunt numerele prime consecutive de forma p, p+2, p+6,p+8.
Primele cvadruplete din șirul numerelor prime sunt:
11, 13, 17, 19 ;
101, 103, 107, 109 ;
191, 193, 197, 199 ;
...

Se pune problema dacă există o infinitate de asemenea cvadruplete prime.
Analizând forma acestora, putem stabili că ele sunt numere prime de forma:
30k+11 , 30k+13, 30k+17, 30k+19.

" Cvadrupletele prime sunt numerele prime consecutive de forma p, p+2, p+6,p+8. "
Si de ce nu de alta forma ?!
Nu pur si simplu patru numere prime consecutive ?!


" Analizând forma acestora, putem stabili că ele sunt numere prime de forma:
30k+11 , 30k+13, 30k+17, 30k+19. "
Cum anume putem stabili ca au ele asa forma ?!
Doar din aceea ca am dat de chiteva exemple si s-a nimerit la tzanc ca asa este ?!
Prezinta demonstratia, ca ele au asa forma.

[mi se pare ca asa le e forma. daca se demonstreaza aceste "cvadruplete" ca sunt infinite, in acelasi timp se demonstreaza ca si numerele gemene si tripletele prime consecutive (de o anumita forma) sunt infinite]

Atit timp cit banueala o vom considera ca o mare teorema, si nu ne vom conduce de principiul : a demonstra orice milimetru parcurs, nu e de mirare sa facem milione de erori si vesnic sa ne recorectam.

meteor a scris:
" Cvadrupletele prime sunt numerele prime consecutive de forma p, p+2, p+6,p+8. "
Si de ce nu de alta forma ?!
Nu pur si simplu patru numere prime consecutive ?!

Desigur, poți să le consideri și ca 4 numere prime consecutive, dar de ce numim numerele prime p și p+2 numere prime gemene și nu pur și simplu două numere prime consecutive ?
Pentru că este distanța cea mai mică dintre două numere prime consecutive !
În aceeași manieră ai putea considera și răspunsul la întrebarea ta.
Sunt cvadruplete (sau se numesc cvadruplete prime) pentru că este singurul șir de 8 numere naturale consecutive în care se găsesc 4 numere prime (numărul maxim de numere prime într-un șir de 8 numere naturale consecutive).
Cu excepția șirului (2, 3, 5, 7).
De asemenea, cu excepția șirurilor (3, 5, 7, 11), (5, 7, 11, 13) toate sunt de forma
30k+11 , 30k+13, 30k+17, 30k+19 :

" Analizând forma acestora, putem stabili că ele sunt numere prime de forma:
30k+11 , 30k+13, 30k+17, 30k+19. "
Cum anume putem stabili ca au ele asa forma ?!
Doar din aceea ca am dat de chiteva exemple si s-a nimerit la tzanc ca asa este ?!
Prezinta demonstratia, ca ele au asa forma.

Analizând distribuția numerelor care nu conțin în factorizarea lor numerele prime 2, 3 și 5, aceste sunt ordonate de o constantă, pe care o poți deduce singur :

1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59
61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89
91, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 119
121, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 149
151, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 179
181, 187, 191, 193, 197, 199, 203, 209,
211, 217, 221, 223, 227, 229, 233, 239
...

Oricare din numerele de mai sus, fie sunt prime, fie se divid cu un număr prim mai mare ca 2, 3 sau 5.
Observăm că produsul acestora (2*3*5) este 30 și că fiecare număr din fiecare șir este cel de deasupra lui pe aceeași poziție (adică primul, sau al doilea, sau al treilea etc) plus 30.
Oricare patru numere consecutive din șirurile de mai sus ai analiza, diferența minimă dintre ele ( se găsește la mijlocul șirului (anulează din fiecare șir primele două și ultimele două) :

1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59
61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89
91, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 119
121, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 149
151, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 179
181, 187, 191, 193, 197, 199, 203, 209,
211, 217, 221, 223, 227, 229, 233, 239

După cum vezi, pe fiecare linie, numerele se găsesc într-o constantă de 30.
De aceea am afirmat că ele sunt de forma 30k+11, 30k+13, 30k+17, 30k+19.
Ar exista și o demonstrație ceva mai pompoasă, dar cu siguranța acest raționament este mai ușor de înțeles.

[mi se pare ca asa le e forma. daca se demonstreaza aceste "cvadruplete" ca sunt infinite, in acelasi timp se demonstreaza ca si numerele gemene si tripletele prime consecutive (de o anumita forma) sunt infinite]

Exact !

Atit timp cit banueala o vom considera ca o mare teorema, si nu ne vom conduce de principiul : a demonstra orice milimetru parcurs, nu e de mirare sa facem milione de erori si vesnic sa ne recorectam.

Ți-am spus și repet.
Aceasta nu este o nicidecum demonstrație, ci doar o modalitate de a analiza și calcula aceste cvadruplete prime.
Oricum mai trebuia o linie în tabelele respective, cea din direcția numerelor 31, 61, 91, 121 etc, pe care le-am omis .
O să trebuiască să refac acele tabele, precum și cu alte explicații suplimentare.
Ideea este că oricare număr care nu va apărea în dezvoltarea tabelelor, sunt valorile lui k pentru care toate numerele din șirul 30k+11, 30k+13, 30k+17, 30k+19 sunt numere prime.
Cum ai spus, dacă există o infinitate de cvadruplete prime, există și o infinitate de numere prime gemene.
Acestea din urmă (doar separat numerele prime gemene) pot fi analizate în multe alte feluri.
Voi reveni și cu continuarea analizei (cvadrupletelor prime) bazată pe acest tipar.