Numere iraționale

Am putea vorbi de numere iraționale prime între ele ?
Deși ar fi impropriu spus pentru că nu vorbim de numere naturale,
care ar fi criteriul prin care am putea "eticheta" două numere iraționale ca fiind prime între ele ?
Spre exemplu pi și e, ar putea fi considerate prime între ele ?
Dar radical din 2 și radical din 3 ?

Presupunând că se înțelege ce vreau să spun,
considerăm a, b, c trei numere iraționale diferite "prime între ele.".
Există k real astfel încât toate produsele ak, bk, ck să fie întregi ?
Credeți că am putea demonstra asta ?

curiosul a scris:Am putea vorbi de numere iraționale prime între ele ?
Deși ar fi impropriu spus pentru că nu vorbim de numere naturale,
care ar fi criteriul prin care am putea "eticheta" două numere iraționale ca fiind prime între ele ?
Spre exemplu pi și e, ar putea fi considerate prime între ele ?
Dar radical din 2 și radical din 3 ?

Presupunând că se înțelege ce vreau să spun,
considerăm a, b, c trei numere iraționale diferite "prime între ele.".
Există k real astfel încât toate produsele ak, bk, ck să fie întregi ?
Credeți că am putea demonstra asta ?

Buna
Scuze ca nu te-am anuntat ca am revenit dar cum am intrat m-am prins in "elicoida" si am pierdut vremea incercand sa scot "tampenile" din capul unora.

Bineinteles ca putem vorbi de numere irationale prime sau neprime intre ele,dar banuiesc ca nu ai exprimat tu corect problema care te doare.
rad2,rad8,rad32 sunt numere irationale?
Sunt!
Ele sunt de fapt:
rad2,2rad2,3rad2 sunt prime intre ele?
Nu

La a doua problema nu cred ca exista acel k care sa satisfaca conditia data

Mezei Geza a scris:
incercand sa scot "tampenile" din capul unora.

Bine ai revenit !
Vis-a-vis de ce am subliniat, părerea mea este să nu mai încerci.
Indiferent că ai sau nu dreptate.
Ți-ai spus punctul de vedere, este suficient.
Altfel se ajunge ca părerile tale să pară a fi impuse celorlalți.
Eu nu pun la îndoială ceea ce știi și poți tu, dar fiecare e liber să gândească cum vrea,
chiar dacă mulți nu sunt de acord cu modul acela de gândire.
Gata, sper că înțelegi ce am vrut să-ți transmit.

Este destul de important pentru mine ce te-am (ce am întrebat) în topicul subiectului.
Mulțumesc pentru răspuns.
M-ar ajuta, bineînțeles și o demonstrație.
Desigur, la momentul potrivit o să-ți și explic la ce-mi folosește.
M-ar mai ajuta în egală măsură să știu dacă suma a două numere iraționale poate fi un număr rațional (sau întreg).

Aș mai avea o altă întrebare, la fel, destul de importantă pentru mine.
Presupunem unghiul mai mic de 45 de grade format de două semidrepte (nemărginite la un capăt).
Întrebare:
Există o dreaptă care să intersecteze cele două semidrepte ale unghiului, astfel încât această dreaptă este perpendiculară pe una din semidreptele unghiului și segmentele obținute să aibă toate lungimi de valoare întreagă, pentru orice unghi mai mic de 45 de grade ?

Ca să fiu ceva mai explicit, considerăm un triunghi dreptunghic care are unul din celelalte unghiuri mai mic de 45 de grade și nu are toate laturile valori numere întregi. Există un triunghi asemenea cu acesta, astfel încât toate lungimile laturilor să fie întregi, pentru orice triunghi dreptunghic care are unul din celelalte unghiuri mai mic de 45 de grade ?
Am încercat să mă folosesc de Thales, dar n-am reușit să demonstrez asta.
Și s-ar putea să nu existe.
Printr-o interpretare geometrică mai diferită a teoremei lui Pitagora, am făcut o schemă din care rezultă că răspunsul la întrebarea de mai sus este negativ.
S-ar părea că orice triunghi dreptunghic care are unul din unghiuri mai mare de vreo 35 de grade, nu poate avea toate laturile valori numere întregi, calculând unitatea în funcție de una din laturi.
Dacă una din laturi are x unități, iar triunghiul dreptunghic are un unghi mai mare de 35 de grade, atunci celelalte două laturi nu pot avea y, z unități, cu y, z întregi.

Vreo idee, în special la întrebările referitoare la numere iraționale, mi-ar fi folositoare.

curiosul a scris:
S-ar părea că orice triunghi dreptunghic care are unul din unghiuri mai mare de vreo 35 de grade, nu poate avea toate laturile valori numere întregi, calculând unitatea în funcție de una din laturi.

Bine, exprimarea nu este tocmai corectă.
Evident, nu ne referim la unghiul drept al triunghiului, ci la celelalte două.
Dacă unul este mai mic de 35 de grade, celălalt este mai mare de 55 de grade .
Corect ar fi dacă unul este mai mare de 35 de grade, iar celălalt mai mic de 55 de grade, triunghiul dreptunghic nu poate avea toate laturile valori întregi.
Mâine poate am să afișez și o schemă de unde cred că rezultă asta.

"M-ar mai ajuta în egală măsură să știu dacă suma a două numere iraționale poate fi un număr rațional (sau întreg)."

Ce pot sa-ti spun sigur ca un numar irational adunat la un numar rational este tot un numar irational.

Stai ca mi-a venit o idee:
Phi (numarul de aur) este un numar irational
Phi=(1+-rad5)/2
ca sunt doua unul mic si unul mare,acestea sunt de fapt solutii ale ecuatiei de gradul II
X^2-x-1=0

Scriem:
Phi^2-Phi-1=0  rezulta Phi^2=Phi+1 impartim cu Phi^2 rezulta:
1=Phi^-1+1/Phi^-2
Se poate demonstra usor din Phi=(1+-rad5)/2 ca:
Phi^-1 si 1/Phi^-2  sunt irationale
In concluzie suma a doua numere irationale este un numar rational !!
Deci in concluzie nu putem spune nimic de suma a doua numere irationale

Deci să înțeleg că sunt cazuri în care suma a două numere iraționale poate fi întreg, cazuri când poate fi rațional, cazuri când poate fi irațional.
Faptul că poate fi întreg ar rezulta și din suma a două numere iraționale, care au zecimalele complementare lui 1.
Adică 1 minus zecimalele unuia este egal cu zecimalele celuilalt.
Și cu siguranță există asemenea numere iraționale.

:Deci să înțeleg că sunt cazuri în care suma a două numere iraționale poate fi întreg, cazuri când poate fi rațional, cazuri când poate fi irațional.DA


Ai exemlul de mai sus si nu l-am facut cu scadere desi  cu scadere este si mai simplu
Numerele sunt:
0.3819660112...
0.6180339887...
Cu scadere
1.6180339887...
0.6180339887...
Culmea ca se poate demonstra ca si raportul a doua numere irationale poate fi un numar rational
(cu tangente)
PS De fapt este banal raportul ma gandeam la ceva numere mai complicate dar in definitiv tot la multiplii se ajunge ) Gen: 2rad2/rad2

Acum nu am timp, dar o să-ți arăt mai târziu o schemă geometrică interesantă, de unde rezultă ce spuneam într-un mesaj anterior.

OK Geza, am revenit.
În ideea de a fi cât mai bine înțeles, voi explica pentru început câteva noțiuni introductive.
Una din concluziile la care am ajuns analizând geometric soluțiile ecuației este faptul că circumferința cercului cu diagonala z este descrisă și de ecuația cu x și z variabile reale.
Cu alte cuvinte, 
suma pătratelor segmentelor obținute prin unirea oricărui punct de pe linia cercului cu capetele diagonalei este egală cu pătratul diagonalei cercului.
Sau altfel, unind orice punct de pe circumferința cercului cu capetele oricărei diagonale a cercului se obține un triunghi dreptunghic. 
Desigur, nu ne referim la punctele care corespund capetelor diagonalei, pentru că laturile triunghiului ar fi diagonala însăși.
Imaginea de mai jos este sugestivă :


Poate că nu mă exprim corect, dar circumferința cercului de diagonală z poate fi determinată de toate tripletele pitagoreice reale, cu valoarea z fixată.

În momentul în care am analizat geometric soluțiile ecuației pentru n diferit 2, am observat că pe același principiu, se obțin elipse.
Soluțiile x, y, z ale ecuației putând fi considerate laturile unui triunghi, interpretând geometric în aceeași manieră soluțiile ecuației , pentru n mai mare ca 2, valoarea soluției (latura) z fiind fixată orizontal se obține o elipsă de genul celei din imaginea de mai jos :

"Diagonala" mică, focarul mic al elipsei de mai sus este soluția z a ecuației pentru un n real mai mare ca 2.
Deși ecuația elipsei este cu totul alta, așa cum am citit prin multe alte locuri, elipsa poate fi descrisă de soluțiile x, y, variabile și z fixată a ecuației , pentru n diferit de 2.

Pentru un n real mai mic ca 2, iar latura fixată a triunghiurilor care descriu elipsa este aceea;i cu cea de mai sus, elipsa descrisă de soluțiile ecuației pentru z fixat va avea latura z, focarul mare al elipsei, ca în imaginea de mai jos :

Același tip de elipse, ca în cazul anterior, doar că răsturnate.
Interesant este că acest tip de elipse, pot fi construite doar pentru n real având valori doar în intervalul deschis (1,2) pentru elipsele "mici", iar pentru n mai mare ca 2, condiția este ca n să fie strict mai mare ca 2, pentru elipsele "mari".
Întorcând elipsele mici, acestea devin elipse mari (prin mari și mici a se înțelege valoarea lui n mai mare sau mai mică ca 2).
Din acest punct de vedere, mai mult sau mai puțin misterios, 2 este o valoare numerică de "legătură". 
Nu am analizat deocamdată ceva mai profund existența unor rapoarte care se respectă între elipsele mici și cele mari, dar probabil că o să calculez și eventuale astfel de raporturi  care să se respecte într-o manieră mai ciudată. 

Vom analiza în continuare triunghiurile dreptunghice, în deosebi relația algebrică de la nivelul laturilor sale : .

Analizăm inițial soluțiile întregi ale ecuației. Voi lucra cu exemple pentru că este mai simplu de înțeles.
Primele soluții întregi ale aceste ecuații sunt 3, 4, 5 : .
Observăm că aceste soluții sunt prime între ele, nu există un divizor comun mai mare ca 1 care divide numerele 3, 4, 5. Plecând de la aceste soluții, putem găsi o altă infinitate de soluții, înmulțind cu un același număr k întreg fiecare din aceste soluții : 



etc.

Din acest punct de vedere, soluțiile importante, ale acestei ecuații sunt soluțiile prime între ele, pentru că de la ele, înmulțind cu un același număr natural toate soluțiile primitive, se pot găsi toate celelalte soluții.
Se pune problema găsirii soluțiilor primitive ale ecuației.
După părerea mea, cea mai bună modalitate de a găsi triplete pitagoreice primitive este prin diferența : .
Observăm că 2n+1 este un număr impar. Punând condiția ca 2n+1 să fie și un pătrat perfect, se poate obține în majoritatea lor, triplete primitive.
Sunt multe alte modalități, dar o vom analiza în continuare doar pe acesta, pentru că concluzia la care vreau să ajung nu depinde de modalitatea găsirii tripletelor primitive.
Deci prin modalitatea de mai sus, alegem inițial pătratele perfecte impare :
9, 25, 49, 81, 121,...
Scriind aceste pătrate perfecte ca 2n +1, acestea vor fi :



Numerele scrise cu albastru sunt valorile lui n pentru care , iar 2n+1 este deasemenea pătrat perfect :



Am analizat în continuare, raportat la modul în care putem construi cercul pe baza triunghiurilor dreptunghice, primele triplete primitive, 3, 4, 5 precum și multiplii acestora, ca și soluție a ecuației.
Am construit un cerc cu diagonala de 5 cm și am trasat triunghiul cu laturile 3 și 4 în interiorul cercului cu diagonala de 5 unități, punctul de intersecție al laturilor fiind pe circumferința cercului. Am trasat ulterior un alt cerc, concentric cu acesta din urmă, dar cu diagonala dublă, după care unul cu diagonala triplă și tot așa. Cum reiese și din imaginea de mai jos, vârfurile triunghiurilor care sunt soluțiile ecuației , cu k natural,  sunt coliniare cu centrul comun al cercurilor :

În aceeași măsură, chiar dacă valoarea lui k cu care înmulțim soluțiile 3, 4, 5 nu ar fi naturală, punctul de intersecție al laturilor  se va afla tot pe aceea linie. Oricum, concluzia este că triunghiurile dreptunghice care au laturile multiplu real de 3, 4, 5, se vor găsi distribuite pe aceea linie din imaginea anterioară, dacă le interpretăm în modul mai sus prezentat.
În același fel se vor distribui toate celelalte soluții primitive și multiplii acestora, iar în imaginea de mai jos sunt reprezentate doar soluțiile primitive (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 23, 25), (9, 40, 41), iar multiplii reali ai acelor soluții se vor afla pe liniile respective :


Am trasat doar o parte din soluțiile primitive pentru a sublinia faptul că ele, aranjate într-un fel anume, se găsesc ordonate într-o oarecare măsură, deși ele sunt o infinitate.
Deci soluțiile întregi ale ecuației pentru n=2, se găsesc pe aceste linii.
Problema care mi-am ridicat-o ulterior este că există un triunghi dreptunghic care are celelalte două unghiuri de anumite mărimi, astfel încât oricât am prelungi o catetă și ipotenuza, nu vom obține niciodată un triunghi dreptunghic cu laturile întregi. 
Spre exemplu, în stânga liniei multiplilor soluțiilor 3, 4, 5 nu mai poate fi trasată nicio linie de soluții primitive întregi până la axa verticală, deși o linie imaginară în acel loc poate fi trasată, ea reprezentând mulțimea unor triplete pitagoreice care nu sunt întregi, însă pe același principiu al multiplicării.
De aia întrebasem la un moment dat dacă putem vorbi de numere iraționale prime între ele.

Dacă am analiza soluțiile ecuației pentru n impar mai mare ca 2, 
aceasta am putea-o scrie ,
iar înmulțind cu un k real aceste soluții, ar trebui să avem o linie care descrie mulțimea acestor triplete pitagoreice iraționale (sau raționale).
Acesta este și motivul pentru care am întrebat dacă există numărul real k și numerele iraționale a, b, c astfel încât ak, bk, ck sunt întregi. Dacă ar exista, atunci ar trebui ca linia pe care există punctul soluției să corespundă cu una din liniile pe care se găsesc soluțiile întregi. 

Înțelegi de ce am întrebat ?
Și crezi că ar exista o legătură între elipsele de mai sus și liniile din cercurile respective, sau chiar cercurile plecând de la tripletele pitagoreice, cu faptul că pentru n mai mare ca 2 ecuația nu are soluții întregi ?
Acum nu știu cât de bine m-am făcut înțeles, dar dacă vrei și crezi că pot să-ți mai explic ceva, întrebă-mă.

La un moment dat, meteor spunea că într-o discuție cu Vasile Suceveanu, aceasta din urmă spunea că dacă se cunoaște cea mai mică soluție a ecuației, se pot afla toate celelalte soluții. Cred că am înțeles ce vrea să spună și are dreptate. Cel puțin în ceea ce privesc soluțiile ecuației pentru n=2, are dreptate. Prin constantele de 2, 4 și 8, al soluțiilor primitive.
O să trebuiască să fac și un mic grafic și o să-l expun și pe acela, explicând de ce consider că Vasile Suceveanu avea dreptate. Cunoscându-se cea mai mică soluție, se pot afla toate celelalte.

Imi cam prind urechile aici
Dar promit ca azi ii dau de capat !

De fapt, s-ar putea să nu mai fie nevoie de grafic și nici de constantele 2, 4, 8, iar explicația să fie ceva mai simplă.
Toate soluțiile a, b, c ale ecuației pot fi găsite prin relațiile :



Chiar dacă soluțiile ecuației pot fi exprimate și în alt mod, obligatoriu ele trebuie să poată fi exprimate și în această formă. Nu vom insista acum pe demonstrația acestui aspect.
Din exprimarea prin această modalitate a soluțiilor a, b, c, rezultă că u și v trebuie să aibă aceeași paritate pentru că exprimarea soluțiilor b și c sunt fracții care au numitorul 2, iar aceste soluții sunt întregi doar dacă u și v au aceeași paritate.
Dacă u și v au un divizor comun, soluțiile a, b, c vor avea toate același divizor comun, deci nu vor fi prime între ele.
Punând condiția ca u și v să fie prime între ele, pentru orice valori u și v prime între ele, vom obține soluțiile primitive ale ecuației.
Acestea sunt și cele mai importante, pentru că toate celelalte pot fi obținute din acestea primitive.
În concluzie, condiția principală, ca să obținem soluții primitive prin exprimarea de mai sus a acestora, este ca u și v să fie ambele impare.
Chiar și așa, dacă sunt ambele impare și totuși au un divizor comun, acestea nu vor fi soluții primitive, dar vom analiza toate soluțiile u și v impare, pentru că explicația este ceva mai simplă
Dacă "fixăm" valoarea lui 9 spre exemplu, putem obține soluțiile:



Am evidențiat cu albastru a doua acoladă pentru că 9 și 3 nu sunt prime între ele, iar soluțiile a, b, c nu vor fi prime între ele, dar le vom analiza și pe acestea pentru simplificarea explicației.

Dacă în loc de 9, considerăm oricare număr impar mai mare ca 1, putem observa că soluțiile u și v pentru u=2k+1 și v =1, 
pot fi găsite separat prin relația cu 2n+1 pătrat perfect. 
Aceste soluții, pentru u=2k+1 și v =1, exprimate în ambele moduri :
fie , 



vor fi :







etc.
Vom pleca de la aceste soluții.
Observăm că soluțiia a este un număr impar. Deci pentru acest tip de soluții, prima soluție, a=2n+1 pătrat perfect, sau a= (2n+1)*1 în cealaltă exprimare, este o soluție impară.
Soluțiile b sunt mai interesante, pentru că acestea vor apărea ca valoare ce trebuie scăzută și adunată în continuare. Acestea sunt n=4, 12, 24, 40, 60, 84 etc, obținute mai simplu punând condiția ca 2n+1 să fie pătrat perfect, valorile lui n vor fi cele de mai sus.

Plecând de la aceste soluții, pentru a număr impar, celelalte pot fi găsite în felul următor și vom lua exemplul 11 :








Calorile evidențiate cu albastru sunt, valorile lui n care apar în determinarea soluțiilor prin metoda unde 2n+1 este la rândul lui un pătrat perfect.
Valorile lui a impar găsite  prin metoda de mai sus, vor fi determinate în continuare prin multiplicarea lui a cu un număr impar mai mic (sau egal cu el).
Iar celelalte care nu sunt prime între ele, se găsesc prin multiplicarea acestora cu oricare număr natural.

Pentru mine este destul de simplă această metodă de găsire a soluțiilor, însă nu știu în ce măsură am reușit să explic să fie și înțeleasă la fel de simplu.
Cum menționa meteor că ar fi spus Vasile Suceveanu, afirmația dânsului este corectă și verificată, De la cele mai mici soluții se pot găsi toate celelalte soluții.

Dacă totuși soluțiile pot fi găsite toate prin această metodă, se pune problema dacă există triplete care să fie toate puteri cu exponentul mai mare sau egal cu 2.
Trebuie să mai analizez o idee.

Exact asta urma sa-ti propun sa incerci cu relatile respective
Am dat de ea in mai multe locuri
Una este asta:
http://www.recreatiimatematice.ro/arhiva/complementare/RM12003CRASMAREANU.pdf
Mai face acolo cateva dem si face si ceva trimiteri vezi

Da, mersi Geza, cred că una din demonstrațiile respective o pot folosi pentru cazul n=3 al teoremei lui Fermat. Dar doar așa, la prima vedere, trebuie să verific.
Mulțumesc oricum !

Nu, nu ajută.
Era vorba de problema 7 din lincul pe care l-ai dat, dar nu mă ajută.

Mai apare o întrebare care ar putea demonstra teorema lui Fermat pentru n par :

Poate fi un număr triunghiular puterea unui număr natural ?

curiosul a scris:Mai apare o întrebare care ar putea demonstra teorema lui Fermat pentru n par :

Poate fi un număr triunghiular puterea unui număr natural ?

Cam poate
36
In rest trebuie calculat

Mezei Geza a scris:

curiosul a scris:Poate fi un număr triunghiular puterea unui număr natural ?

Cam poate
36

Cam da.