Problemă...curioasă !

Mă poate ajuta cineva să găsesc soluții întregi pozitive a, b, c, diferite, nenule, prime între ele, astfel încât :

-(a+b) și c nu sunt prime între ele, adică au cmmdc r>1;
-a și (c-b)  nu sunt prime între ele, adică au cmmdc s>1;
-b și (c-a)  nu sunt prime între ele, adică au cmmdc t>1,
iar a+b-c se divide cu produsul (rst), adică produsul format de cel mai mare divizor comun al lui (a+b) și c, a și (c-b), b și (c-a) ?

Eventual, dacă s-ar putea demonstra că nu există întregii pozitivi a, b, c care să îndeplinească condițiile de mai sus.
E ceva legat de conjectura abc și nu numai.
Vreo idee ?
Vă mulțumesc mult !

Haideți să ridicăm mai întâi problema altfel :

Există trei numere naturale a, b, c, diferite nenule,
numere compuse prime între ele,
cu c > b > a și a+b >c,
astfel încât
(a+b) și c au cel mai mare divizor comun r>1,
(c-a) și b au cel mai mare divizor comun s>1,
(c-b) și a au cel mai mare divizor comun t>1 ?

Presupunând că există, este posibil ca a+b-c să fie divizibil cu produsul rst ?

De asemenea, o altă observație interesantă este următoarea :

Fie a și b, a>b, două numere naturale diferite compuse și prime între ele, ce conțin în factorizarea lor doar numere prime la puterea întâi. Dacă p este cel mai mare număr prim care divide a sau b și dacă toți factorii primi din factorizarea diferenței a-b sunt mai mari ca p, atunci diferența a-b este un număr prim.

Se pare că problema ridicată se dovedește a fi destul de complicată (am mai adăugat ceva în citat) :

curiosul a scris:
Există trei numere naturale a, b, c, diferite nenule,
numere compuse (au cel puțin doi factori primi mai mari ca 1),
dar toate trei prime între ele (a,b)=1, (b,c)=1, (a,c)=1
cu c > b > a și a+b >c,
astfel încât
(a+b) și c au un divizor comun r>1,
(c-a) și b au un divizor comun s>1,
(c-b) și a au un divizor comun t>1 ?

Presupunând că există trei numere care satisfac condițiile de mai sus , este posibil ca a+b-c să fie divizibil cu produsul rst ?

Am analizat aleatoriu destul de multe valori a, b, c care satisfac condițiile

curiosul a scris:trei numere naturale a, b, c, diferite nenule,
numere compuse (au cel puțin doi factori primi mai mari ca 1),
dar toate trei prime între ele (a,b)=1, (b,c)=1, (a,c)=1
cu c > b > a și a+b >c

și nu am reușit să găsesc nici măcar trei care să satisfacă condițiile :

curiosul a scris:(a+b) și c au un divizor comun r>1,
(c-a) și b au un divizor comun s>1,
(c-b) și a au un divizor comun t>1

Se pot găsi multe exemple care îndeplinesc doar două din condițiile de mai sus, nu toate trei simultan.
Înclin să cred că nu există, iar valorile a,b,c ale unui posibil contra exemplu trebuie să fie destul de mari.
Oricum, situația ca ultimele trei condiții să fie îndeplinite este strâns legată de divizibilitatea lui a+b-c cu rst, notațiile folosite în condițiile de mai sus. Această divizibilitate face și mai puțin probabilă găsirea unui contra exemplu.

Dacă observația de mai sus este adevărată, aceasta demonstrează cel puțin marea teoremă a lui Fermat pentru cazul n=p prim impar, având o strânsă legătură cu conjectura abc și cu cea a lui Beal.

Dacă cineva are timp și găsește un contra exemplu l-aș ruga să mi-l facă cunoscut, pentru că aș vrea să analizez dacă există vreo relație și între aceste contra exemple.

Lipseau trei mici amănunte :

curiosul a scris:
Există trei numere naturale a, b, c, diferite nenule,
numere compuse (au cel puțin doi factori primi mai mari ca 1),
dar toate trei prime între ele (a,b)=1, (b,c)=1, (a,c)=1
cu c > b > a și a+b >c,
astfel încât
(a+b) și c au un divizor comun r>1, c > r
(c-a) și b au un divizor comun s>1, (c-a) > s
(c-b) și a au un divizor comun t>1, (c-b) > t ?