O ecuaţie uşor de rezolvat.....

Să se rezolve ecuaţia unde .    

Ia zi maestre, cum o rezolvi în întregi pozitivi mai întâi.
Care sunt soluțiile ?
Dacă e o demonstrație frumoasă, îți dau eu un premiu.
Dar trebuie să demonstrezi că dacă toate soluțiile sunt mai mari ca 1, ecuația are sau nu soluții x, y, z prime între ele.
Cred că ai încercat tu ceva, dar cred că ai și vreo greșeală pe acolo.

Dacu a scris:Să se rezolve ecuaţia unde .    

Ai dreptate, e ușor de rezolvat



Dar trebuie să demonstrezi că dacă x, y, z sunt toate mai mari ca 1, ecuația are soluții doar dacă x, y, z au toate un factor comun.
Sau nu.
Mă îndoiesc că poți să demonstrezi ușor asta.

Dacu a scris:Să se rezolve ecuaţia unde .    

Hai Dacule nu ma lasa in intuneric !   
Ma predau ! Nu o stiu rezolva !
Prezinta demonstratia sa nu mai pierdem vremea.

Iar ecuația are și soluții prime între ele, pentru că se ajunge la triplete pitagoreice, toate pare, unde x+y și x-y sunt pare.
Una dintre soluții este

Dacu are dreptate, se rezolvă simplu.
Ideea este a unui utilizator de pe forumul  din lincul pe care l-am dat în celălalt subiect.

curiosul a scris:




Iar ecuația are și soluții prime între ele, pentru că se ajunge la triplete pitagoreice, toate pare, unde x+y și x-y sunt pare.
Una dintre soluții este

Dacu are dreptate, se rezolvă simplu.
Ideea este a unui utilizator de pe forumul  din lincul pe care l-am dat în celălalt subiect.

Da.M-am uitat si eu intre timp.
Cu cei de acolo ar trebui tu sa iei legatura.Aveti pasiuni comune.
Cum stai cu engleza?

Mezei Geza a scris:Da.M-am uitat si eu intre timp.
Cu cei de acolo ar trebui tu sa iei legatura.Aveti pasiuni comune.
Cum stai cu engleza?

Nici prea prea, nici foarte foarte.
Mai sunt cuvinte pe care nu le știu, dar de multe ori le deduc sensul din contextul frazei.
Am fost odată la niște cursuri în Finlanda care s-au ținut în engleză și pentru care ulterior am tradus câteva manuale de utilizare a unor aparate de radiologie maxilo-facială din engleză în română.
M-aș descurca.
Dar cred că sunt cam mic pentru ei și cred că e suficient că vă enervez și vă stresez pe voi.
Cel puțin, voi v-ați obișnuit cu mine.

În cazul acestei ecuații, verific acum dacă nu cumva are soluții primitive doar dacă , caz în care și , iar ecuația ar fi una de forma și cum ar putea fi folosită pentru cazul n=4 al teoremei lui Fermat.

Dacu a scris:Să se rezolve ecuaţia unde . 

Rezolvarea evidentă este următoarea.
În primul rând, x și y nu pot avea paritate diferită, pentru că este un număr par, iar dacă x și y au paritate diferită, atunci suma pătratelor lor va fi un număr impar, în timp ce este un număr par.
Deci x și y au aceeași paritate.

În continuare, ajungem la

curiosul a scris:

unde


Pentru că x și y au aceeași paritate, soluțiile de mai sus sunt triplete pitagoreice întregi, toate prime între ele dacă x și y sunt prime între ele.
Dar observăm că


de unde rezultă că ecuația inițială trebuie să fie una de forma



cu , ,

Acestea sunt soluțiile.
Alegând u, v prime între ele, obținem toate soluțiile primitive ale ecuației.
Celelalte derivă din acestea.

Fără supărare ,dar raţionamentul tău este incomplet........
Care sunt formulele de găsire a numerelor şi ?Ce rezultă dacă şi care sunt numere prime între ele?  
Raţionamentul meu privind rezolvarea ecuaţiei propuse de mine:
şi de unde rezultă şi deci
unde sunt numere impare prime între ele şi în concluzie obţinem .

E bun și raționamentul tău Dacu.
Mi se pare o idee mică ceva mai complicat.

Într-adevăr, trebuia menționat în mesajul meu anterior că prin modul acela de determinare a soluțiilor primitive, u și v trebuie să fie ambele impare, prime între ele.
Din dezvoltarea respectivă, rezultă evident, atât din modul în care ai dezvoltat tu, cât și din modul în care am dezvoltat eu, că pătratul lui z trebuie să fie obligatoriu suma a două pătrate perfecte.

Și prin metoda mea, cu u, v impare prime între ele, se găsesc toate soluțiile primitive.

Dar se pare că am menționat, incomplet însă, ai dreptate.

curiosul a scris:

Dacu a scris:Să se rezolve ecuaţia unde . 

Rezolvarea evidentă este următoarea.
În primul rând, x și y nu pot avea paritate diferită, pentru că este un număr par, iar dacă x și y au paritate diferită, atunci suma pătratelor lor va fi un număr impar, în timp ce este un număr par.
Deci x și y au aceeași paritate.

Dacă au aceeași paritate și alegem două pare, sau chiar și două impare cu divizor comun, evident, se vor găsi soluțiile care au un divizor comun.
Așadar, iei doar două impare prime între ele.

Acum, dacă înlocuim pătratul lui z cu un număr întreg, am putea spune că dacă dublul unui număr este sumă de două pătrate perfecte, atunci și numărul respectiv este sumă de două pătrate perfecte.

curiosul a scris:E bun și raționamentul tău Dacu.
Mi se pare o idee mică ceva mai complicat.

Într-adevăr, trebuia menționat în mesajul meu anterior că prin modul acela de determinare a soluțiilor primitive, u și v trebuie să fie ambele impare, prime între ele.
Din dezvoltarea respectivă, rezultă evident, atât din modul în care ai dezvoltat tu, cât și din modul în care am dezvoltat eu, că pătratul lui z trebuie să fie obligatoriu suma a două pătrate perfecte.

Și prin metoda mea, cu u, v impare prime între ele, se găsesc toate soluțiile primitive.

Repet:
Fără supărare ,dar raţionamentul tău este în continuare incomplet şi tragi chiar şi concluzii greşite (după ce eu îţi arăt raţionamentul corect de rezolvare şi deci şi soluţiile corecte ale ecuaţiei propuse de mine) deoarece tu nu dai formulele de găsire ale numerelor şi .....   
Ce valoare are pentru şi care vezi bine sunt numere întregi impare şi prime între ele?  
Fara supărare ,dar am propus această ecuaţie doar că să-ţi arăt că afirmaţia ta privind această ecuaţie de la subiectul tău "S-o numim conjectură......." este suspectă şi deci s-a dovedit a fi falsă.......  
Nu mai încerca să dregi busuiocul cu alte şi alte afirmaţii atâta timp cât nu eşti sigur de ceea ce afirmi şi deci fii cinstit şi recunoaşte că ai greşit.......  

S-o luăm altfel
De la ajungi la , unde z, și sunt triplete pitagoreice.
Poți așadar, să găsești x și y din
și , cu și poți obține x, y, z exprimat în funcție de u și v.

Exemplele pe care le-ai dat vorbește despre faptul că nu ai fost atent la ce am afirmat

curiosul a scris:

de unde rezultă că ecuația inițială trebuie să fie una de forma



cu , ,

Acestea sunt soluțiile.
Alegând u, v prime între ele, obținem toate soluțiile primitive ale ecuației.
Celelalte derivă din acestea.

Dacă u și v sunt 13 și 5, atunci este un număr întreg ???

Dacu a scris:Fara supărare ,dar am propus această ecuaţie doar că să-ţi arăt că afirmaţia ta privind această ecuaţie de la subiectul tău "S-o numim conjectură......." este suspectă şi deci s-a dovedit a fi falsă...

Corect !
De aia nici nu am mai insistat asupra lui.

Dacu a scris:Nu mai încerca să dregi busuiocul cu alte şi alte afirmaţii atâta timp cât nu eşti sigur de ceea ce afirmi şi deci fii cinstit şi recunoaşte că ai greşit...

Recunosc că am greșit în ceea ce privește S-o numim conjectură...
Dar, pentru cealaltă, nu.
Să presupunem că .
Dacă dublul lui c este o sumă de două pătrate perfecte, atunci c este de asemenea, o sumă de două pătrate perfecte, pentru că se ajunge la






Nu este evident ?
Mai ține cont de faptul că dacă   are soluții întregi, atunci a și b au aceeași paritate, ceea ce înseamnă că și  sunt numere întregi, deci c este la rândul lui o sumă de două pătrate perfecte.

De aici, din ce ai dedus tu

Dacu a scris: deci
unde sunt numere impare prime între ele şi în concluzie obţinem .

cu m, n având aceeași paritate, adică sunt ambele impare, din exprimarea lui z rezultă că .
Dacă egalitatea de mai sus are soluții întregi, atunci z trebuie să poată fi exprimat de asemenea ca sumă de două pătrate perfecte.

Și vezi că ai câteva greșeli simple, pe care nu le-am mai menționat, gândindu-mă că sunt doar de redactare, deși am înțeles ce vrei să spui

Dacu a scris: 
Raţionamentul meu privind rezolvarea ecuaţiei propuse de mine:
şi

Dacă , atunci...vezi că semnele din dreapta egalităților sunt greșite.

curiosul,
Eşti incorijibil!!!!Chiar nu vezi ce greşeli ai postat???După ce mai întâi spui că şi că sunt numere prime între ele şi apoi spui că sunt numere impare prime între ele fără a spune care sunt de fapt formulele de generare ale numerelor mai şi afirmi sus şi tare că relaţiile date de mine şi anume şi sunt greşite...Asta  denotă că ori habar nu ai ce spui ori vrei să acoperi greşelile tale continuând a-ţi susţine aceleaşi aberaţii şi jignindu-mă pe mine crezând că ceilalţi forumişti nu vor vedea ce aberaţii susţii tu.....Dacă tu nu recunoşti că ai greşit atunci asta denotă că tu eşti un om fără scrupule şi comportamentul tău este unul meschin.....       

Așa-i, ai dreptate !
Mă bucur că nu te-ai schimbat, ceea ce am și vrut să văd de altfel.

Dacu a scris:curiosul,
Eşti incorijibil!!!!Chiar nu vezi ce greşeli ai postat???După ce mai întâi spui că şi că sunt numere prime între ele şi apoi spui că sunt numere impare prime între ele fără a spune care sunt de fapt formulele de generare ale numerelor mai şi afirmi sus şi tare că relaţiile date de mine şi anume şi sunt greşite...Asta  denotă că ori habar nu ai ce spui ori vrei să acoperi greşelile tale continuând a-ţi susţine aceleaşi aberaţii şi jignindu-mă pe mine crezând că ceilalţi forumişti nu vor vedea ce aberaţii susţii tu.....Dacă tu nu recunoşti că ai greşit atunci asta denotă că tu eşti un om fără scrupule şi comportamentul tău este unul meschin.....       

Nu va certati ...a gresi este omenesc.
Nu am urmarit calculele voastre dar asa la "o privire sumara" la nivelul clasei a 7-a Dacul are dreptate.Cele doua relatii sunt corecte
La prima citire in graba si eu le-am vazut gresite noroc ca nu am apucat sa postez. (probabil pe moment am avut un caracter meschin )
Asa ca inainte de a posta ceva Curiosule te rog sa verifici de doua ori ca ulterior nu mai poti corecta si de dai de un specialist in matematica de clasa a 7-a cum este Dacul risti sa te faca cu ou si otet


Dacule Dacule ...iar ma dezamagesti !

Mezei Geza,
Errare humanum est sed perseverare diabolicum. (Seneca)
Ai grijă să nu greşeşti nici tu de prea multe ori în aceiaşi privinţă....    
Uite şi tu ce răspunsuri poate să dea curiosul "premiantul" şi dacă îl apucă iar criza o să ceară ca toate mesajele lui de la acest subiect să fie şterse ca să nu mai vadă nimeni aberaţiile pe care le-a postat........     Noroc că nu mai este moderator.......  
Vezi mai bine dacă eu am rezolvat bine ecuaţia propusă de mine.....   

Greseala pe care o face frecvent Curiosul este ca posteaza direct fara o analiza temeinica.In matematica sau mai exact in toate stiintele exacte intai analizezi de "Ţ" ori si expui o singura data.
In rest toata stima pentru el.Este printre putinii dintre noi care lucreaza la greu, nu numai comenteaza sau scrie literatura SF.Sa am eu energia si motivatia lui deja teoria Globala era de mult gata.

Am sa ma uit peste demonstratii si dau o parere

Exact Geza !
Asta-i problema.
Îmi tună ceva prin cap, scriu, într-adevăr, de multe ori fără o analiză atentă în prealabil, iar după aia îmi dau seama și singur ce-i greșit și ce nu.
Cred că aici trebuie să mai lucrez.

Dacu a scris:Fără supărare ,dar raţionamentul tău este incomplet........
Care sunt formulele de găsire a numerelor şi ?Ce rezultă dacă şi care sunt numere prime între ele?  
Raţionamentul meu privind rezolvarea ecuaţiei propuse de mine:
şi de unde rezultă şi deci
unde sunt numere impare prime între ele şi în concluzie obţinem .

In ecuatia pitagoreica se spune daca nu gresesc ca m,n trebue sa fie naturale nu intregi, asa ca mai tae din coada  .

meteor,
Daca Pitagora nu cunoştea numerele întregi asta nu înseamnă că o ecuaţie de tipul celei propuse de mine nu se poate rezolva în numere întregi........  

Dacu a scris:meteor,
Daca Pitagora nu cunoştea numerele întregi asta nu înseamnă că o ecuaţie de tipul celei propuse de mine nu se poate rezolva în numere întregi... 

Sigur Dacule, mai mult, chiar dacă sunt întregi, prin ridicarea acestora la pătrat, ecuația devine una în N.