Discuții despre mișcarea în câmp central

Voi începe în acest subiect întrebări adresate omuluidinlună despre mișcarea în câmp central.

Omuledinlună, vorbește-mi un pic, te rog, despre unghi polar și unghi azimutal.
Eventual, dacă timpul nu-ți permite, poți să-mi dai câteva link-uri potrivite mie la nivel de complexitate a informațiilor, de unde să pot citi ceva despre termenii de mai sus ca să mă familiarizez un pic cu acești termeni.

Desigur, aceste noțiuni apar undeva în partea de început a expunerii tale.

Și încă un pic despre raza vectoare ca să înțeleg exact despre ce vorbesc și ce trebuie să înțeleg când citesc relațiile matematice ulterioare.

Intrebarile astea se lamuresc instantaneu dintr-o poza potrivita.   



Astfel, sa presupunem ca ai un punct oarecare P undeva in spatiu, avand coordonatele carteziene (x,y,z). Raza vectoare a punctului P nu este altceva decat segmentul de dreapta orientat (adica vectorul) care uneste punctul P cu originea sistemului de coordonate O, segmentul fiind orientat dinspre origine inspre punct. In poza de mai sus e notat cu . Unghiul polar este unghiul pe care raza vectoare il face cu axa z, unghi notat cu . In ceea ce priveste unghiul azimutal, mai intai se duce proiectia razei vectoare in planul X-Y. Adica duci din punctul P o perpendiculara la planul X-Y, si unesti punctul de intersectie cu originea O. Acest vector obtinut in planul X-Y este proiectia razei vectoare a punctului P in planul X-Y, iar unghiul pe care proiectia asta il face cu axa x se numeste unghi azimutal, sau azimut, notat cu .

in poza mai figureaza si versorii sferici, dar discutam despre ei daca ai inteles pana aici.

OK, am înțeles.
În mod normal, ar trebui să mai fie un unghi format de proiecție cu axa y.
Cum se numește acela ?

Și desigur, versorii sferici trebuie să fie cei cu e indice r, theta și phi, nu ?
Ce rol au acești versori sferici ?

Și de ce trebuie dusă aceea proiecție pe planul X-Y ?
Nu ar fi fost suficient să considerăm unghiurile făcute de punctul P cu toate cele trei axe, fără a mai construi proiecția razei vectoare pe planul X-Y ?

Are importanță această proiecție pentru localizarea punctului ?

Sa luam toate intrebarile pe rand:

curiosul a scris:OK, am înțeles.
În mod normal, ar trebui să mai fie un unghi format de proiecție cu axa y.
Cum se numește acela ?

In mod evident, unghiul acela este egal cu (deoarece intre axele x si y ai un unghi drept), deci este lipsit de importanta. Prin conventie, azimutul se ia relativ la axa x, dar l-ai putea lua relativ la axa y fara sa schimbi cu nimic natura rezultatelor ulterioare.

curiosul a scris:Și desigur, versorii sferici trebuie să fie cei cu e indice r, theta și phi, nu ? Ce rol au acești versori sferici ?

Orice vector de pe lumea asta are un modul si un versor. Versorul este un vector de lungime unitara, care specifica directia si orientarea vectorului, iar modulul este un scalar care exprima marimea vectorului. De exemplu, vectorul , are modulul 3 si este orientat in sensul pozitiv al axei x, pe cand vectorul are modulul total 5 (rezulta imediat din teorema lui Pitagora), cu o componenta de modul 3 in lungul axei x si una de modul 4 in lungul axei y.

Acesti versori cu indici x, y si z sunt versorii sistemului de coordonate cartezian. Cei cu indici r, theta si phi sunt versorii sistemului de coordonate sferic, deci semnifica cele 3 directii independente in acest sistem de coordonate. Intre versorii cartezieni si cei sferici exista o relatie biunivoca, astfel ca fiecare versor dintr-un sistem de coordonate poate sa fie exprimat ca o combinatie liniara a versorilor din celalalt sistem de coordonate. Astfel, setul de coordonate in care tratezi o problema nu iti afecteaza natura rezultatelor, dar poate insemna o simplificare a calculelor daca alegi un sistem potrivit pentru problema data.

curiosul a scris:Și de ce trebuie dusă aceea proiecție pe planul X-Y ?
Nu ar fi fost suficient să considerăm unghiurile făcute de punctul P cu toate cele trei axe, fără a mai construi proiecția razei vectoare pe planul X-Y ?

Trei unghiuri nu iti pot stabili in mod unic pozitia unui punct in spatiu, din motivul urmator: doua unghiuri sunt suficiente pentru a specifica un mod unic o directie, ceea ce implica automat si valoarea celui de-al treilea unghi. Astfel, valorile unghiurilor nu se modifica la translatia punctului de interes in lungul acestei directii. De aceea, in sistemul de coordonate sferic, coordonatele folosite sunt distanta punctului fata de origine, si cele doua unghiui care specifica directia in care se afla punctul, adica doua dintre unghiurile pe care le face raza vectoare cu axele de coordonate. Ele pot fi alese oricum, varianta pe care ti-am prezentat-o e folosita pentru ca permite exprimarea usoara a coordonatelor (x,y,z) in functie de sau invers. Daca alegi unghiul facut de raza vectoare cu axa z, si apoi cel cu axa x (fara sa mai duci proiectia in planul X-Y), relatiile devin mult mai complicate.

curiosul a scris:Are importanță această proiecție pentru localizarea punctului ?

Da. Modulul razei vectoare iti spune cat de departe e punctul de origine, azimutul iti spune pe ce directie din planul X-Y cade perpendiculara dusa din punctul de interes, si in final, inclinatia fata de axa z a razei vectoare (adica unghiul polar) iti fixeaza in mod unic punctul. Daca te gandesti putin realizezi ca:

1. Cunoscand numai modulul razei vectoare ai definit o sfera pe care se poate afla punctul.

2. Cunoscand si azimutul ai restrans domeniul de localizare al punctului la un cerc de pe sfera (proiectia oricarui punct de pe cerc pe planul X-Y o sa cada pe aceeasi directie, daca azimutul e fixat)

3. Adaugand si unghiul polar, ai fixat exact punctul pe cerc.

Ideile numerotate se inteleg imediat daca privesti atent figura de mai sus.

OK, am înțeles.
Am făcut o pauză că am mai avut ceva de făcut.
O să ne limităm de altfel, la timpul disponibil al amândurora.

Trecem mai departe.
Acuma vine partea pe care, de regulă, nu o înțeleg exact.

Hai să vorbim, mai întâi, un pic despre centrul de masă.

In mecanica clasica, pentru orice sistem de puncte materiale putem defini un centru de masa, ca fiind vectorul obtinut prin medierea ponderata a razelor vectoare corespunzatoare fiecarei particule in parte, ponderea fiind in fiecare caz masa respectivei particule (a se remarca faptul ca in mecanica clasica, o particula sau un punct material sunt doua notiuni echivalente).
In cazul nostru simplu, centrul de masa devine:

Explică-mi un pic cum se justifică formula vectorului centrului de masă.

Probabil că în partea de început voi pune eu o sumedenie de întrebări, unele care chiar par simple de dedus, pentru că dacă înțeleg bine și mă familiarizez corect încă de la început cu notațiile matematice și termenii folosiți, pe parcurs voi înțelege cum ai ajuns la anumite concluzii fără să te mai întreb și voi stabili doar corectitudinea calculelor, a ecuațiilor.

Deci, cum ai ajuns la formula :

Aceea este definitia centrului de masa. Din punct de vedere matematic, el este media ponderata a razelor vectoare ale tuturor punctelor care alcatuiesc sistemul. Media ponderata este generalizarea mediei aritmetice, unde toti termenii din medie intra cu ponderea 1. In cazul nostru, ponderea fiecarei raze vectoare este tocmai masa punctului material la al carui raza vectoare ne referim.

Ceea ce obtinem este raza unui punct fictiv care ne spune ceva despre felul in care este distribuita masa din sistem, si a carui evolutie in timp este echivalenta cu miscarea sistemului in ansamblul sau (deci nu a componentelor sale relativ unele la celelalte). De exemplu, pentru un sistem de doua corpuri cu mase egale, centrul de masa se afla tocmai la jumatatea distantei dintre corpuri. Pentru un sistem cum este cel Pamant-Soare (in aproximatia in care ne imaginam Pamantul si Soarele ca puncte materiale), centrul de masa coincide practic cu pozitia Soarelui, datorita faptului ca acesta este mult mai masiv decat Pamantul. In ambele cazuri, indiferent de interactia dintre componetele sistemului fizic, din perspectiva unui sistem de referinta inertial extern centrul de masa fie va fi in repaus, fie se va deplasa rectiliniu si uniform, chiar daca particulele din sistem pot avea traiectorii mai deosebite.

OK.
Dar, așa cum ai spus și în topicul respectiv, dacă m1=m2, centrul de masă va fi la jumătatea distanței dintre particule, iar dacă una dintre masele lor este mai mare, centrul de masă se va afla mai apropiat de particula cu masă mai mare.

Ceea ce am găsit noi prin formula respectivă (nu noi, desigur, ci tu sau ceilalți fizicieni, dar înțelegi ce vreau să pun) este vectorul centrului de masă.

Acesta, dacă am înțeles bine, este segmentul care unește originea sistemului de coordonate cu punctul centrului de masă, iar pentru localizarea centrului de masă în acel sistem de coordonate ne folosim de unghiul polar și azimutal, ca și în cazul precedent, nu-i așa ?

Pentru a găsi, spre exemplu :


este suficient să facem simplu diferența (?)

De fapt, ceea ce vreau să întreb mai exact în mesajul anterior este aspectul următor.

Un vector este caracterizat de modulul său (scalarul, nu ?),  direcție și sens.
Prin diferența a doi vectori ce înțelegem ?
Raportat la componentele care caracterizează și definesc un vector, în condițiile în care direcțiile și sensurile pot fi orientate diferit în spațiu, iar modulele lor diferite.
Înțelegi ce vreau să întreb ?

curiosul a scris:Dar, așa cum ai spus și în topicul respectiv, dacă m1=m2, centrul de masă va fi la jumătatea distanței dintre particule, iar dacă una dintre masele lor este mai mare, centrul de masă se va afla mai apropiat de particula cu masă mai mare.

Ceea ce am găsit noi prin formula respectivă (nu noi, desigur, ci tu sau ceilalți fizicieni, dar înțelegi ce vreau să pun) este vectorul centrului de masă.

Acesta, dacă am înțeles bine, este segmentul care unește originea sistemului de coordonate cu punctul centrului de masă, iar pentru localizarea centrului de masă în acel sistem de coordonate ne folosim de unghiul polar și azimutal, ca și în cazul precedent, nu-i așa ?

Exact. Pozitia centrului de masa inseamna specificarea celor trei coordonate ale sale. Fie coordonatele carteziene x, y si z, fie modulul razei sale vectoare si cele doua unghiuri mentionate, care nu fac altceva decat sa specifice complet vectorul centrului de masa (modul si directie si sens).

Legat de intrebarea ta privitoare la acel calcul, da, e corect ce spui tu, e suficient sa aduci la acelasi numitor cand faci respectiva diferenta. In general, cand faci operatii aritmetice cu vectori (adunari sau scaderi), obtii tot un vector, ale carui componente sunt determinate de efectuare acelor operatii pe componentele vectorilor initiali. De exemplu, daca ai un vector de componente (x,y,z) si un vector de componente (X,Y,Z), suma lor este vectorul de componente (x+X,y+Y,z+Z), iar diferenta este vectorul de componente (x-X,y-Y,z-Z). Produsele de vectori sunt putin (de tot) mai complicate, ca sunt de mai multe feluri, iar impartirea a doi vectori nu este definita. Este insa posibila impartiea unui vector la un scalar, de exemplu, daca ai vectorul (x,y,z) si scalarul a nenul, raportul lor este vectorul de componente (x/a,y/a,z/a).

OK, am înțeles până aici.
În continuare o să vreau să-mi vorbești despre derivatele în raport cu timpul, problemele principale pe care nu le înțeleg, dar în seara asta o să facem o pauză că mai am ceva treabă și o să revin eu cu întrebările exacte ca să mă dumiresc mai bine despre ce vorbim referitor la derivata în raport cu timpul.

Deci avem odată formula generală a lagranginului L=T-U, pe care ulterior ai exprimat-o și de unde se înțelege că

Nu înțeleg cum apare acel raport de 1/2.
Sau, poate poți să-mi explici mai bine cum ai ajuns la expresia :

Energia cinetica a unei particule de masa m si viteza v este . De ce e asta asa? Hai sa vedem!

Definitia de la care pornim este cea a lucrului mecanic W efectuat de o forta ce actioneaza asupra particulei intre doua puncte din spatiu, notate 1 si 2:



Astfel, lucru mecanic efectuat de forta intre cele doua puncte este integrala de drum a fortei. Cum din legea a doua a dinamicii stim ca pentru o particula de masa constanta , obtinem:

, unde am scris explicit derivata in raport cu timpul. Cum , rescriem rezultatul



Diferentiala dt de la numarator se simplifica cu cea de la numitor pentru derivata vitezei, iar , astfel ca am ajuns la

.

Viteza e un vector. Pentru fiecare componenta i a ei, ai o integrala scalara a carei primitiva e de tipul

, unde C e o constanta arbitrara. Asta pentru ca derivata lui in raport cu v_i e , rezultat pe care il putem demonstra separat.  In concluzie, am obtinut
, unde indicii 1 si 2 se refera la viteza initiala si finala a particulei, iar cu v^2 am notat diferenta patratelor lor. Asta este teorema energiei cinetice.

Deși aș mai avea nevoie de ceva explicații vis-a-vis de acele integrale (diferențiale, primitive etc), am înțeles logica cu care ai operat.

Firește, am înțeles acum și de ce apare acel raport de 1/2 menționat în mesajul anterior în expresia lui T din lagrangianul respectiv, pentru că de fapt eu nu făcusem legătura cu expresia energiei cinetice, unde în locul pătratului vitezei ai folosit derivatele în raport cu timpul ale vectorului  centrului de masă și a razelor vectoare ale particulelor respective:



Am interpretat bine ?

Exact. Ai scris in ultima formula energia cinetica in functie de doi termeni sumati: energia cinetica a centrului de masa (miscarea per ansamblu a sistemului) + energia cinetica a miscarii relative a celor doua corpuri la centrul de masa.