Problema cu premiu

Scris de **curiosul** Mier 24 Oct 2012, 19:06

Rezumarea primului mesaj :

...

Scris de **totedati** Joi 25 Oct 2012, 01:41

1) y, x, p1, p2, k, s1, s2 sunt numere intregi pozitive nenule.
2) y > x > p1 > p2
3) y-x = p1-p2
4) p1 > s1 ; p2 > s2
5) k= y-s1= x-s2
6) x > 2(p1)

se poate reformula și astfel:
(y, x, p1, p2, k, s1, s2)=(a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,a₆,a₇)∈ℕ

y > x > p1 > p2 devine
a₁ > a₂ > a₃ > a₄

y-x = p1-p2 devine
a₁ - a₂ = a₃ - a₄ ⤇ a₁ + a₄ = a₂ + a₃

y-s1= x-s2 devine
a₁ - a₆ = a₂ - a₇ ⤇ a₁ + a₇ = a₂ + a₆
deocamdată las deoparte k, adică a₅

y-x = p1-p2 ⤇ y + p2 = x + p1 ⤇ y = x + p1 - p2
y-s1= x-s2 ⤇ y + s2 = x+ s1 ⤇ [x + p1 - p2] + s2 = x+ s1 ⤇ p1 - p2 + s2 = s1 ⬄ p1 - p2 = s1 - s2

p1 - p2 = s1 - s2 ⤇ p1 + s2 = p2 + s1 ⤇ a₃ + a₇ = a₄ + a₆

mie mi se par mai interesante aceste trei relații scrise astfel!

a₁ + a₄ = a₂ + a₃
a₁ + a₇ = a₂ + a₆
a₃ + a₇ = a₄ + a₆

scrise cu indici se observă simetria de 2|3
și nu observ erori de traducere!

Scris de **totedati** Joi 25 Oct 2012, 02:09

se verifică și invers:

a₃ = a₆ + b₅ ⤇ b₅ = a₃ - a₆
a₄ = a₇ + b₆₅ ⤇ b₅ = a₄ - a₇

a₃ - a₆ = a₄ - a₇ ⤇ a₃ + a₇ = a₄ + a₆
yep! înseamnă că ar mai trebui să fie o egalitate!

Scris de **totedati** Joi 25 Oct 2012, 04:52

a₂ = a₃ + b₃
a₂ + a₃ = a₃ + a₃ + b₃
a₃ + a₃ + b₃ = a₂ + a₃
b₃ - a₃ = a₂ - a₃ - a₃
b₃ - a₃ = a₂ - 2∙a₃

a₂ = 2∙a₃ + b₇
a₂ - 2∙a₃ = b₇
b₇ = a₂ - 2∙a₃

din
b₃ - a₃ = a₂ - 2∙a₃
b₇ = a₂ - 2∙a₃
b₃ - a₃ = b₇
b₃ = a₃ + b₇

LOLZ! da' mai sunt multe!?

Scris de **totedati** Joi 25 Oct 2012, 04:57

a₃ = a₄ + b₂
a₃ = a₆ + b₅
b₃ = a₃ + b₇
b₃ = a₄ + b₂ + b₇
b₃ = a₆ + b₅ + b₇
b₃ = a₄ + b₂ + b₇ = a₆ + b₅ + b₇
a₄ + b₂ = a₆ + b₅

olala!

Scris de **totedati** Joi 25 Oct 2012, 05:08

a₂ = 2∙a₃ + b₇
a₂ = a₃ + a₃ + b₇
a₂ - a₃ = a₃ + b₇

a₂ = a₃ + b₃
2∙a₂ = 2∙a₃ + 2∙b₃
2∙a₂ - 2∙a₃ = 2∙b₃
2∙b₃ = 2∙a₂ - 2∙a₃
2∙b₃ = a₂ + a₂ - 2∙a₃
2∙b₃ - a₂ = a₂ - 2∙a₃
2∙b₃ - a₂ = [a₂ - a₃] - a₃
2∙b₃ - a₂ = a₃ + b₇ - a₃
2∙b₃ - a₂ = b₇
2∙b₃ = a₂ + b₇
a₂ + b₇ = 2∙b₃

Scris de **totedati** Joi 25 Oct 2012, 05:11

b₃ = a₃ + b₇
2∙b₃ = 2∙a₃ + 2∙b₇

a₂ + b₇ = 2∙b₃
a₂ + [strike]b₇ = 2∙a₃ + 2∙b₇
a₂ = 2∙a₃ + b₇

~~mai sunt!?~~

vedere stroboscopică!

Scris de **totedati** Joi 25 Oct 2012, 05:34

să tragem linie:

a₁ = a₂ + b₂
a₂ = a₃ + b₃
a₃ = a₄ + b₂

a₃ = a₆ + b₅
a₄ = a₇ + b₅

a₂ = 2∙a₃ + b₇

a₁ + a₇ = a₂ + a₆
a₁ + a₄ = a₂ + a₃
a₃ + a₇ = a₄ + a₆

b₃ = a₃ + b₇
2∙b₃ = a₂ + b₇
a₄ + b₂ = a₆ + b₅

și nici n-am atins relațiile buclucașe
a₄ + a₅ = a₃ + b₁ sau
a₄ + a₅ + a₃ = b₁

Scris de **totedati** Joi 25 Oct 2012, 06:01

nu mai sunt alte variante de învîrtit în jurul cozii decît:

2∙b₃ = a₂ + b₇
b₃ = a₃ + b₇

(2∙b₃)/b₃ = (a₂ + b₇)/(a₃ + b₇)
b₃ = (a₂ + b₇)/(a₃ + b₇)
b₃∙(a₃ + b₇) = (a₂ + b₇)

ham-ham! tot e ceva!

Scris de **totedati** Joi 25 Oct 2012, 06:25

hey! facem progrese!

b₃∙(a₃ + b₇) = (a₂ + b₇)
b₃∙a₃ + b₃∙b₇ = a₂ + b₇
b₃∙a₃ + b₃∙b₇ - b₇ = a₂
a₂ = b₃∙a₃ + b₃∙b₇ - b₇
a₂ = b₃∙a₃ + (b₃ - 1)∙b₇

a₂ = a₃ + b₃
a₃ + b₃ = b₃∙a₃ + (b₃ - 1)∙b₇
a₃ + b₃ = a₃∙ (b₃ - 1) + a₃ + b₇∙(b₃ - 1)
b₃ = a₃∙ (b₃ - 1) + b₇∙(b₃ - 1)
b₃ = (b₃ - 1)∙(a₃ + b₇)
b₃ = a₃ + b₇
b₃/b₃= [(b₃ - 1)∙(a₃ + b₇)]/(a₃ + b₇)
1= b₃ - 1
b₃ = 2

LMAO!

ar mai fi și varianta
b₃ = (b₃ - 1)∙(a₃ + b₇)
b₃ = (b₃ - 1)∙b₃
b₃ = (b₃)² - b₃
b₃ + b₃ = (b₃)²
2∙b₃ = (b₃)²

care pentru b₃ = 2 îmi dă 2∙2=2²

YAY!

Scris de **totedati** Joi 25 Oct 2012, 06:55

a₃ + b₇ = b₃
a₂ + b₇ = 2∙b₃

a₃ + b₇ = 2
a₂ + b₇ = 2∙2
a₂ + b₇ = 4

a₂ + b₇ - a₃ - b₇ = 4 - 2
a₂ - a₃ = 2
a₂ = a₃ + 2

a₁ + a₇ = a₃ + 2 + a₆ = a₃ + a₆ + 2
a₁ + a₄ = a₃ + 2 + a₃ = 2∙(a₃ +1)
a₃ + a₇ = a₄ + a₆

a₂ = 2∙a₃ + b₇
a₃ + 2 = 2∙a₃ + b₇
2 = a₃ + b₇
b₇ = 2 - a₃

Scris de **totedati** Joi 25 Oct 2012, 07:07

am obosit, gata! verificați și voi dacă am nimerit împărțirea, că deja văd triplu ...

Scris de **curiosul** Joi 25 Oct 2012, 09:32

Scris de **Dacu** Joi 25 Oct 2012, 09:43

Fara suparare,dar eu nu vad ce este asa de complicat.
x=2p1+a cu a>0 , y=3p1-p2+a si deci k=3p1-p2+a-s1=2p1+a-s2 ceea ce inseamna p1-p2=s1-s2>0.Din x>p1>s1 rezulta ca 2p1+a>s1 ceea ce inseamna ca din relatia k=3p1-p2+a-s1=p1-p2+2p1+a-s1 rezulta imediat k>p1-p2.In concluzie k nu poate fi egal cu p1-p2 si asa cum s-a aratat foarte bine k nu poate fi mai mic decat p1-p2 si deci k>p1-p2.Din x>p2>s2 rezulta acelasi lucru adica k>p1-p2 deoarece s2=s1+p2-p1.Daca am gresit rog sa fiu corectat.Multumesc!

Scris de **curiosul** Joi 25 Oct 2012, 10:03

Scris de **curiosul** Joi 25 Oct 2012, 10:36

Scris de **meteor** Joi 25 Oct 2012, 13:59

Am adus aici mesajele care s-au scris în topicul „Avem vreun subiect rezolvat?”, aşa cum se impuneau şi am redeschis topicul la sugestia combatanţilor.

Am dat sa mai scriu ceva la subiectul cu problema lui curiosul, insa am intirziat.
@Curiosule, conditia problemei initial era ca sa se gaseasca cazul gresit(ce contine greseala), caci celalalt ar fi fost adevarat. Eu ti-am aratat ca cazul I contine o greseala, iar in rest totul deja era rezolvat.Daca nu ai inteles, atunci ok. De remarcat ca nu iti spun aceasta pentru ca sa-mi dai premii si medalii (din contra), ci pur si simplu spun asa, cum cred ca ar trebui sa se rationeze (mai ales cei ce se ocupa cu matematica).
Adica daca cazul I e gresit, atunci cazul II e adevarat, iar mai departe nu e nevoe de 3 pagini scrise de calcule ( scratch

). Problema e alta, caci tu ai inaintat gresit problema (incomplet).
@Amot, merge demonstratia ta, INSA, iti mai spun ceva:
Problema se poate rezolva fara a mai face calcule!!!
1) Plus, la toate acestea conditia problemei contine multe date inutile(cele subliniate cu ros. Si mai cert este caci conditia 6) e absolut inutila), chiar si variabila s1 si y sunt inutile.
2) Intradevar atit nici cazul I cit si cazul II nu sunt adevarate, cazul III ar fi fost adevarat daca se scria: k>p1-p2.

1)
"Urmatoarele relatii sunt adevarate:
1) y, x, p1, p2, k, s1, s2 sunt numere intregi pozitive nenule.
2) y > x > p1 > p2
3) y-x = p1-p2
4) p1 > s1 ; p2 > s2
5) y-s1= x-s2=k
6) x > 2(p1)"
2) Din punctele 1,2,3,4,5 (FARA cele semnate cu ros!!!) si mai ales atentie mai mare la punctul 5) (fara ceea ce e scris cu ros) indata rezulta clar caci: k>p1-p2.

Iata toata filozofia.

Scris de **meteor** Joi 25 Oct 2012, 14:23

Daca m-as apuca de cules greseli de exprimare si de rationament in aceste 3 pagini, asa avea un camion mare.
"Cazul I -> k < p1-p2
Daca k < p1-p2, rezulta ca k < y-x [mai departe ar trebui sa demonstrezi aceasta, ceea ce nu o observ],
pentru ca y-x = p1-p2 (din relatia 3)) [nimic; cerc: ipoteza-ipoteza. Trakian a spus frumos cindva cum nu trebue sa gresim in astfel de cazuri. Pacat ca a scris in zadar, greseala se repeta mii de ori] .
Daca k < y-x, rezulta ca y-s1 < y-x, [am aratat ca e fals]
pentru ca k= y-s1 (din relatia 5)).
Daca y-s1 < y-x [pornesti cu ceva gresit], rezulta ca x < s1. [foarte gresit, cineva a observat?!..]
Insa din relatia 2) rezulta ca x > p1, iar din relatia 4) rezulta ca p1 > s1.[Aceasta propozitie e inutila]
Deci din relatiile 2) si 4) adevarate rezulta ca x > s1, [fals]
ceea ce contrazice ipoteza cazului I [nu. nu contrazice si nici nu sustine cazul I], k < p1-p2, si inseamna ca,
k< p1-p2 este fals."

Scris de **meteor** Joi 25 Oct 2012, 16:02

meteor a scris:
Deci din relatiile 2) si 4) adevarate rezulta ca x > s1, [fals]

Scris de **totedati** Joi 25 Oct 2012, 17:36

păi sa închis cîrciuma! premiul a fost deja luat! oricum eu nu mă supăr că nu l-am luat eu a fost distractiv cum poți stoarce pînă la ultima picătură acel sistem de ecuații ...

a mai aruncat vreunul din voi un ochi pe opera mea cea măreață? am nimerit în mod corect acel b₃=2, b₂=b₄ și b₅=b₆ fără a ataca în mod frontal chestiunea zilei, adică dacă a₄ + a₅ = a₃ + b₁ sau a₄ + a₅ + a₃ = b₁, terțium exclus?

curiosul a ghicit corect ce vroiam eu acolo ... plecînd de la sistemul de ecuații dat să storc de concluzii cît mai mult problema și deabia după aceea să atac frontal întrebarea

în altă ordine de idei, stricăm aiurea acest fir de discuție ... cerem adminilor să fie buni să mute mesajele de la mesajul lui meteor în jos pe firul de discuție al problemei de mate ( că încă mai e un ros de os aici )

chiar dacă e deja închis, faceți-o pentru mine, ca un fel de premiu pentru efortul depus

bounce

1) "Urmatoarele relatii sunt adevarate:
1) y, x, p1, p2, k, s1, s2 sunt numere intregi pozitive nenule.
2) y > x > p1 > p2
3) y-x = p1-p2
4) p1 > s1 ; p2 > s2
5) y-s1= x-s2=k
6) x > 2(p1)"
2) Din punctele 1,2,3,4,5 (FARA cele semnate cu ros!!!) si mai ales atentie mai mare la punctul 5) (fara ceea ce e scris cu ros) indata rezulta clar caci: k>p1-p2.

meteorule noi nu știm în detaliu care e motivul pentru care curiosul a ajuns la concluzia că e nevoie de toate cele 6 condiții inițiale ca axiomatic pretins adevarate!

ai eliminat y din ipoteze și l-ai retrogradat la o concluzie dar cu ce motiv spunem noi că nu e nevoie și de y!?

nici cu punctul 3 colorat în roșu nu sunt de acord

s1 da, dar nu cel de la punctul 1 ci punctul 4 cu totul șamd ...

adică în sens cît se poate de general dacă am (a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,a₆,a₇)∈ℕ și cu a₁ > a₂ > a₃ > a₄ de unde pînă unde e forțat și incorect să impui condiția de la punctul trei a₁ - a₂ = a₃ - a₄ !? mie nu mi se pare forțată și incorectă sau ilogică! ar putea avea un sens pentru curiosul!

forțarea realității apare doar împreună cu restul condițiilor de la punctul 4, 5 și 6 însă doar curiosul știe care sunt relațiile de care are cu adevărat nevoie și care ar putea fi inutile și pot fi eliminate în ceea ce caută el să demonstreze

Scris de **meteor** Joi 25 Oct 2012, 19:36

Dupa cum am spus, nu fug dupa premii si medalii, cum a mai spus gafiteanu: "si asa meteor e cel mai mare gogoman pe acest forum" Smile

Vrei ciomagit?! amus, Smile

"01| (a,b,c,d,e,f,g)∈ℕ ]N*]
[la ce a trebuit sa schimbi notatiile?! , e greoi asa de lucrat]
02| a>b>c>d
03| c>f ⋀ d>g [expresia asta totus cred ca trebue luata in rama, daca cracana naia o rasturnai sau in stinga sau dreapta, atunci nimic nu era sa zic. Corect trebue sa fie: c>f si d>g =1, unde 1 inseamna adevarat.]
04| a-b = c - d [de ce oare ai schimbat locul lui 3) cu 4) ?!]
05| a-f = b - g = e
06| b>2c

atunci

07| e < c-d ⋁ e≥ c-d [si asta trebue luat in rama. Corect trebuia sa fie: (e < c-d ⋀ e≥ c-d) =0 , (e < c-d v e≥ c-d) =1. Pina la urma insa,am dovedit ca nu e bine formulata problema, si trebuia:
(e < c-d si e≥ c-d) =0 , (e < c-d v e> c-d) =1]
Apropo, cica s-au inventat sistemele de ecuati/inecuatii.

Scris de **Dacu** Joi 25 Oct 2012, 19:47

De unde iau cei 50 de lei "paralei"?Vreau banii acum!Multumesc! Very Happy

Scris de **meteor** Joi 25 Oct 2012, 19:53

totedati a scris:a - b = c - d ⟹ a + d = b + c ]de ce nu folosesti semnul <=> in loc de patratul cela?!]
a - f = b - g ⟹ a + g = b + f

a = b + c - d
(b + c - d) + g = b + f
c - d + g = f
c + g = d + f

[cum vei obtine din astfel de trucuri raspunsul problemei?! ]

Scris de **meteor** Joi 25 Oct 2012, 20:02

totedati a scris:iar relațiile astea dacă le reformulăm arată astfel:
(a,b,c,d,e,f,g)≡(a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,a₆,a₇)

Daca a treea oara renotam datele, nu inseamna ca rezolvam problema, din contra devine mai dificil de inteles, eu is deprins cu prima notatie.

Scris de **totedati** Joi 25 Oct 2012, 22:16

ℕ ]N*]

hmmm ... da, dacă vrem să fim musai scrofuloși în exprimare ℕ* e mai sigur, ℕ e ba cu 0 inclus ba fără funcție de cînd ai trecut prin clasa V ...

de ce nu folosesti semnul <=> in loc de patratul cela

la tine se vede pătrat? e o săgeată nu un pătrat, un fel de prescurtare la rezultă că ...

Caracter: ⟹ U+27F9
Nume:LONG RIGHTWARDS DOUBLE ARROW

Apropo, cica s-au inventat sistemele de ecuati/inecuatii

da, dar cînd apar în ecuații > și < lucrurile devin periculoase

ok, dacă vrei neapărat expresie logică = 1 ca să știm că vrem să fie adevărată, așa să fie, nu e nici o problemă
eu știu că dacă nu se mai scrie = 1 se presupune ca implicit « să fie adevărată »

⋀ nu e și logic?

Caracter: ⋀ U+22C0
Nume:N-ARY LOGICAL AND

iar din e < c-d ⋁ e≥ c-d
⋁ nu e sau logic!?

Caracter: ⋁ U+22C1
Nume:N-ARY LOGICAL OR

adică nu e musai să fie ambele adevărate dar ansamblul e adevărat doar dacă una din ele e adevărată ... însă ∨ e adevărat și dacă ambele sunt adevărate în același timp ... dacă vrem mai hardcore băgăm sau exclusiv eu am relaxat condițiile pentru că ar fi fost la sfîrșit una din ele ca concluzie ( iar ca rezultat absurd ar fi putut fi și găsirea ambelor adevărate pe căi diferite ) ...

dacă vrei să fiu scrofulos pot fi:

[(e < c-d) ⊻ (e≥ c-d)]=1
unde ⊻ e xor adică adevărat dacă și numai dacă unul dintre operanzi este adevărat iar celălalt fals

de ce oare ai schimbat locul lui 3) cu 4)

am grupat sistemul de inecuații și ecuații pe categorii, inegalitățile primele, egalitătile la sfîrșit ... punctul 6 l-am lăsat la urmă că părea un pic mai forțat ...

da, am schimbat sistemul de notație de două ori cum mi sa părut mie mai interesant ...

curiosul a băgat x, y, s și k pentru că el urmărea o anumită problemă din rezolvarea căreia a extras aceste expresii eu am considerat inrelevant bagajul anterior, felul cum a ajuns la ele ...

deaia am ajuns la notația cu aᵢ și bᵢ care mi sa părut cea mai interesantă pînă la urmă ...

cum vei obtine din astfel de trucuri raspunsul problemei

nu sunt trucuri se numește simplu învîrtit în jurul cozii
ham-ham!
Problema cu premiu - Pagina 2 0194BC14

Scris de **totedati** Joi 25 Oct 2012, 22:37

curiosul a scris:Pentru ca nu implica neaparat ca p1 > k

adică n-ai observat că dacă două numere aparțin lui ℕ* diferența dintre ele poate fi și negativă caz în care a < b devine b > a sau -b < -a

numerele negative sunt cu atît mai mici cu cît sunt mai mari

deia eu evit inecuațiile și scăderile și prefer egalitățile și adunările

cînd aduni două numere nu riști să treci dincolo, în domeniul numerelor negative, unde totul e întors pe dos ...

singura operațiune sigură e învîrtitul în jurul cozii semnului egal, de la dreapta la stînga și invers ...

Scris de **meteor** Joi 25 Oct 2012, 22:53

totedati a scris:dacă vrei să fiu scrofulos pot fi:
[(e < c-d) ⊻ (e≥ c-d)]=1
unde ⊻ e xor adică adevărat dacă și numai dacă unul dintre operanzi este adevărat iar celălalt fals

Da, asa ar fi mai bine. In special pentru noi, cei care ne jucam cu matematica. Inchipuiti ce vor face cei la fizica , chimie si alte obiecte.
Iar la general, ceea ce se subintelege, cu ce e obisnuit fiecare, e altceva.
[mergind mai departe la chitibusuri]Nu cred ca e ceva strasnic daca in sistem ai atit ecuatii cit si inecuatii. Din contra, sistemul este o exprimare foarte buna.

totedati a scris:
cum vei obtine din astfel de trucuri raspunsul problemei
nu sunt trucuri se numește simplu învîrtit în jurul cozii
ham-ham!

, veterinarii cica prezic ca ar fi ascorida vinovata, in asa cazuri.

Scris de **Dacu** Vin 26 Oct 2012, 07:50

totedati a scris:numerele negative sunt cu atît mai mici cu cît sunt mai mari

Fara suparare,dar afirmatia de mai sus nu este adevarata.Corect este sa se spuna ca numerele negative sunt cu atat mai mici cu cat sunt mai mari modulele acelor numere negative.Multumesc!

Scris de **curiosul** Vin 26 Oct 2012, 08:34

Scris de **curiosul** Vin 26 Oct 2012, 08:48

Scris de **Dacu** Vin 26 Oct 2012, 08:57

curiosul a scris:
Dacu a scris:De unde iau cei 50 de lei "paralei"?Vreau banii acum!Multumesc!
Salut Dacu !
Trimite-mi prin PM un numar de cont sau altceva si ti-i pun astazi.

Am trimis instructiuni prin PM. Very Happy

Multumesc!

Scris de **totedati** Vin 26 Oct 2012, 14:10

Dacu a scris:
totedati a scris:numerele negative sunt cu atît mai mici cu cît sunt mai mari
Fara suparare,dar afirmatia de mai sus nu este adevarata

ba sunt! 7 e tot 7 și mai mare ca 2 dacă le considerăm la fel, adică echivalente, și -2 și +2 ... modulul drege busuiocul dar în practică e vorba de ignorarea naturii diferite a numerelor negative față de cele pozitive și considerarea lor ca fiind de același fel

nu sunt pentru că mai mic e mai mare și invers!

numerele au și semn! inclusiv cele la care de regulă nu le scriem semnul!

7 e de fapt +7 pentru că 7 e ambiguu și în teorie poate fi și -7!

însă dacă ar fi să îi atașăm|scriem fiecărui simbol în mod explicit toate calitățile și proprietățile n-ar mai fi destulă hîrtie în univers pentru a scrie numărul 1!

curiosul a scris:Cazul II era gresit

curiosul a scris:Dacu a si aratat de ce Cazul II este cel corect

corect cum l-ai prezentat tu sau el?
Problema cu premiu - Pagina 2 0194BC14

Scris de **curiosul** Vin 26 Oct 2012, 15:25

Scris de Continut sponsorizat

Problema cu premiu

Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu

Re: Problema cu premiu