Corespondenţa biunivocă dintre elicele circulare şi numerele complexe

Scris de **Abel Cavaşi** Mar 24 Dec 2013, 09:47

Bazându-ne pe observaţia că oricărei perechi formate cu torsiunea şi curbura unei curbe într-un anumit punct al ei îi putem asocia un număr complex, numit „torsiune complexă”, putem duce aceste raţionamente mai departe şi să construim o altă asociere, de data aceasta între o elice circulară şi un număr complex.

Mai precis, având în vedere faptul că torsiunea şi curbura unei elice circulare sunt constante, putem asocia unei elice circulare tocmai numărul complex $q=\tau+\mathbf{i}\kappa$ , format cu torsiunea şi curbura acelei elice. Prin această asociere, fiecare elice circulară este un punct în planul complex. Şi reciproc, fiecărui punct din planul complex îi asociem elicea circulară cu torsiunea dată de partea reală a numărului complex dat de afixul punctului respectiv din planul complex şi curbura dată de partea imaginară a acestui număr complex.

Desigur, nu toate elicele sunt elice circulare. Deci, nu oricărei elice îi putem asocia un punct. Dar, cu certitudine, oricărei elice îi putem asocia o mulţime de numere complexe cu acelaşi argument. Aşadar, unei elice oarecare îi asociem în planul complex un segment de dreaptă înclinat faţă de axa absciselor cu un unghi egal cu argumentul torsiunii complexe. Acest lucru exprimă şi faptul că o curbă de lancretian constant (deci o elice) poate fi considerată în planul complex un segment de dreaptă a cărui prelungire trece prin origine.

Complementar, putem vorbi despre curbe de darbuzian constant, acestea având ca reprezentare în planul complex nişte arce de cerc cu centrul în origine. Asemenea curbe, deşi au lancretianul variabil, au proprietăţi identice numerelor complexe de modul constant. Altfel spus, putem stabili un izomorfism între mulţimea curbelor de darbuzian constant şi a curbelor de modul constant, aşa cum putem stabili un izomorfism între mulţimea curbelor de lancretian constant şi mulţimea numerelor complexe de argument constant.

Printr-o transformare conformă, putem înlocui planul complex cu un plan în care pe axa absciselor să reprezentăm valorile lancretianului, iar pe axa ordonatelor să reprezentăm valorile darbuzianului. Într-un asemenea plan, elicele circulare ar rămâne puncte, elicele ar fi segmente „verticale”, iar curbele de darbuzian constant (oare ce denumire să dăm unor asemenea curbe?) ar fi segmente „orizontale”.

Scris de **virgil_48** Lun 30 Dec 2013, 12:01

Abel, nu patrund eu argumentele si explicatiile de mai sus, dar iti pot
spune ca numerele complexe sunt strans asociate cu numerele
imaginare, iar asta nu mi se pare de bun augur pentru teoria ta.
Daca folosesti numerele complexe pentru capacitatea lor de a determina
doua coordonate odata, mai merge, dar asta mi se pare aceeasi smecherie
cu doi in unu, din comert. Puteau sa foloseasca un numar format din 2
cifre, una rosie si una albastra.
Daca stii tu ca utilizarea numerelor complexe in viata si fizica reala se
impune, acolo unde numerele reale dau gres, vino cu un exemplu.
Nu te sfii sa-mi reprosezi departarea fata de nivelul discutiei incepute,
daca vii cu niste exemple imbatabile din lumea reala, sunt dispus sa
retrag!

Corespondenţa biunivocă dintre elicele circulare şi numerele complexe

Corespondenţa biunivocă dintre elicele circulare şi numerele complexe

Re: Corespondenţa biunivocă dintre elicele circulare şi numerele complexe