Divizibilitate si numere prime

A curs si va mai curge multa cerneala pe acest domeniu superb. Trecand peste faptul ca numerele prime incita cel mai mult sunt de luat in calcul si criterii de divizibilitate, proprietati ale ultimei cifre etc. O proprietate a ultimei cifre este ca ultima cifra a numarului n^4 apartine numai multimii {0, 1, 5, 6}, o alta ne asigura ca ultima cifra a unui numar prim mai mare decat 5 apartine numai multimii {1, 3, 7, 9} etc.

Mai greu de dat criterii de divizibilitate pentru alte numere prime decat 3;5;11 deaoarece pentru un numar prim p 10 are un ordin destul de mare modulo p, in unele situatii 10 avand chiar ordinul p-1.
Exista un criteriu operational de divizibilitate cu 3 (identic structural cu acela cu 9) deoarece orice putere a ;ui 10 da restul 1 la impartirea cu 3 (respectiv cu 9) si ca urmare restul impartirii unui numar la 3 (respectiv la 9 ) coincide cu restul impartirii sumei cifrelor sale la 3 (respectiv la 9)
Exista criterii operationale de divizibilitate cu numere de forma 2^n (respectiv 5^n) deoarece atunci cand dezvoltam numarul cu puterile lui 10, exceptand termenii aferenti ultimelor n cifre , ceilalti termeni se divid cu 10^n deci si cu 2^n (respectiv 5^n) si ca urmare restul impartirii unui numar la 2^n (frespectiv 5^n) coincide cu restul impartirii al numarului format de ultimele n cifre.
Exista un criteriu operational de divizibilitate cu 11 deoarece 10 are oridnul 2 modulo 11 iar restul impartirii puterilor lui 10 la 11 se repeta din 2 in 2
Altfel, pentru un numar mare prim p pentru care eventual resturile puterilor lui 10 se repeta din p-1 in p-1 este mai greu sa realizam un criteriu de divizibilitate operational (desi teoretic il putem face acel criteriu)