Există o infinitate de numere prime

[Provine din topicul „Formula lui Euler generalizată”]


Da, si mai am o micuta intrebare, poate nu e aici locul potrivit, insa cine poate sa ma ajute, ii sunt multumitor.
Se stie ca Euclid a demonstrat ca multimea numerelor prime este infinita, deloc nu imi e clara demonstratia: "
În anul 300 î.Hr. Euclid a demonstrat că există o infinitate de numere prime. Iată demonstraţia: presupunând prin absurd că p ar fi cel mai mare număr prim, construim numărul n=2x3x5x......xp+1. Acesta nu se divide cu nici unul din numerele 2, 3, 5, ....., p, aşadar sau este prim, sau are un divizor prim mai mare ca p, ceea ce contrazice presupunerea că p ar fi cel mai mare număr prim."
De ce a construit numarul n anume in aceasta forma n=2x3x5x...xp+1, numerele 2,3,5,.. sunt numere prime, sau sunt descompunerea numarlui n (in factori primi)???

Ai dreptate meteor,poate nu e locul mesajelor noastre aici,dar daca vor continua,vor fi mutate intr-un alt topic.
In ceea ce priveste nelamurirea ta,uite explicatia:
Orice numar prim,cu exceptia lui 2,este un numar impar.
Este prima conditie necesara dar insuficienta,pentru ca un numar ,mai mare ca 2,sa fie prim.
Prin inmultirea oricarui numar intreg cu 2 se obtine un numar par,de aceea la sirul 2*3*5*7*.....*p trebuie adunat 1,pentru a se obtine un numar impar.
Numarul obtinut de p1*p2*p3*p4*...*pn (2*3*5*7*11*...*pn) se imparte ,bineinteles,la oricare din numerele prime p1,p2,p3,...pn.
Dar daca la acest produs adunam 1,se obtine un numar impar care nu se mai divide cu nici un numar prim p1,p2,p3,p4,...,pn,intrucat prin impartirea numarului obtinut de (p1*p2*p3*...*pn)+1,la orice numar prim p1,p2,p3,...,pn,se obtine un rest egal cu 1.Daca "pn" ar fi "ultimul" numar prim,toate celelalte numere impare(sirul fiind infinit) nu pot fi decat multiplii ai unui numar prim de la p1 la pn.
Dar (p1*p2*p3*...*pn)+1 este un numar impar care nu se divide cu nici un numar prim p1,p2,p3,..,pn ,dupa cum am aratat mai sus.Deci,exista un numar impar care nu este multiplul nici unui numar prim p1,p2,p3,..pn.
Ce fel de numar IMPAR ,este acela?
Inchei cu aceasta intrbare,sperand ca in cautarea raspunsului vei intelege aceasta demonstratie.

Mersi mult mentru raspuns, bravo ca mai sunt astfel oameni(cercetatori)!
Drept sati spun totusi nu am inteles 100 %.
Teorema fundamentala a algebrei (paremise) spunea ca orice numar se poate descompune in mod unic..... si acolo numerele prime mai aveau si puteri, aici insa nu este.De exemplu cum tu vei descompune 32? daca el este 2^5???

E numar geaman (fata de pn)?
Daca da, atunci aceasta mai este si demonstratia ca numerele gemene sunt infinite?

si inca o mica intrebare .
Auzisem ca in ipoteza lui Remman se presupune ca multimea numerelor prime ar fi finita si ceva de lucrarile lui Cebisev?

In primul rand,despre unicitatea factorizarii:
Orice numar are o factorizare unica de numere prime.
Este adevarat ca exista si puteri.
Iar ca sa intelegi mai bine,daca tot ai vorbit de puteri,uite ce vrea sa spuna acel mod unic de descompunere a unui numar in factori primi:
Suntem toti de acord ca in numere nu exista decat un singur 49(7*7).Aceasta inseamna ca un singur numar,din toata infinitatea, se scrie,descompus in factori primi,7*7.
Este valabil pentru orice numar care este o putere.
Dar alte numere sunt produsul a mai multe numere(pare sau/si impare):
420=12*35
Acesta descompus in factori primi este :
420=2*2*3*5*7
Si in acest caz, 420 este singurul numar,din toata infinitatea,care se poate scrie,descompus in factori primi,
ca 2*2*3*5*7.
Daca vrei,poti analiza si in sens invers:
Prin inmultirea a doua sau mai multe numere prime,diferite sau/si de acelasi fel ,se obtine UN SINGUR numar, nu doua ,nu mai multe, nu o infinitate.Unul singur.
De aici se deduce faptul ca:
ORICE NUMAR ARE O FACTORIZARE UNICA.
Iar in ceea ce priveste diferenta de pana la 100% ,a incertitudinii tale asupra infinitatii numerelor prime,o sa incerc sa-ti exemplific in pic.in general exemplul ajuta la vizualizare si face logica unei situatii mai usor de inteles.
Presupune in mintea ta ca numarul prim 7,este ultimul "numar prim".Asta inseamna ca 2,3,5,7 sunt toate numerele prime.Deci produsul lor 2*3*5*7=210, se imarte exact la orice numar prim 2,3,5,7 ,adica la toate numerele prime care exista,presupunand ca nu exista alt numar prim mai mare.Dar (2*3*5*7)+1 nu se mai divide cu nici un numar prim 2,3,5,7.
In aceeasi "ecuatie" adaugi si ca :
UN NUMAR ESTE PRIM ,DACA NU SE DIVIDE CU NICI UN ALT NUMAR IN AFARA DE 1 SI DE EL INSUSI.
Iar daca 2,3,5,7 sunt "toate" numerele prime si
(2*3*5*7)+1 nu se divide cu nici unul dintre aceste numere prime,inseamna ca (2*3*5*7)+1 nu se divide ,pana in acest moment,decat cu 1 si cu el insusi.
Asta inseamna ca respecta conditia de primalitate.Deci ar putea fi prim.Dar el fiind in acelasi timp,un numar prim mai mare decat 2 su 3 , sau 5, sau 7.
Deci inseamna ca 7 nu este ultimul numar prim.
In situatia in care (2*3*5*7)+1 nu ar fi totusi,un numar prim ,atunci acest numar trebuie sa se divida cu un alt numar in afara de 1 si de el insusi,in acelasi timp el fiind nedivizibil de numerele prime 2, 3,5,7.
In aceasta situatie,cu cine ,totusi,se divide acest numar,daca el nu este prim?
Raspunsul nu poate fi decat cu un alt numar prim diferit de 2,3,5,7.
Deci in aceasta situatie,2,3,5,7 nu sunt toate numerele prime,mai exista altul.
Reia in mintea ta,acest tipar de analiza,pentru toate numerele prime care le consideri tu ca exista (plecand de la premiza ca ar exista un numar finit de numere prime,si anume p1,p2,p3,p4,...,pn) .
Vei ajunge cu certitudine,intr-un moment in care iti spui ca poti sa ,reiei tiparul ,de un infinit de ori,iar in felul acesta vei ajunge la concluzia ca la fiecare incercare,apare cate un nou numar prim.Iar,intr-un final, trebuie sa ajungi la concluzia ca exista o infinitate de numere prime.
Daca nu ajungi la concluzia asta,s-ar putea sa ai alte probleme ,mai importante de rezolvat decat infinitatea numerelor prime.
Nu uita ca,orice gandire logica nu poate fi decat o gandire matematica.

merci, ceva sa mai clarificat.
Mai am o intrebare, poate suna absurd, insa: am auzisem cum cineva spusese ca sunt numere extrem de mari (un fel de cvasigrupuri, paremise), si eata ca el enunta ca acolo enumerarea si calculele aceste clasice nu mai au sens- este corect oare "povestea" pe care am auzito???

meteor,ceea ce poate fi extrem de mare(cum spui tu) este in acelasi timp, extrem de mic daca il raportezi la o alta scara de proportie.
SINGURUL lucru care nu se schimba niciodata este valoarea.
O sa-ti dau si exemplu,pentru ca vad ca intelegi altfel in momentul in care poti vizualiza o situatie.
Daca vorbim de metru si de kilometru,care este mai mare din punctul tau de vedere?
Probabil(desi ar trebui sa raspunzi sigur si repede) ca este kilometrul.
Dar diferenta pe care o percepi tu intre metru si kilometru,o bacterie microscopica "percepe" aceeasi diferenta intre nanometru si milimetru,spre exemplu.
Deci care diferenta este mai mare:
Diferenta dintre kilometru si metru,pentru tine ca om?
sau
Diferenta dintre nanometru si milimetru,pentru bacterie?
In concluzie,ceea ce pentru tine este destul de mic(milimetrul) pentru altceva/altcineva este destul de mare.
Intelegi?
De aceea ,extrem de mic si extrem de mare,sunt notiuni relative.
Din acest punct de vedere,daca exista numere EXTREM de mari,ele se supun acelorasi "LEGI" matematice clasice ,de calculare si enumerare ca si cele mici.
Spuneam la un moment dat ca singurul lucru care nu isi scimba proprietatile si nu este relativ din acest punct de vedere,este valoarea.
3 metrii,3 kilometrii,3 ani-lumina,....3 EXTREM DE MARE
Valoarea care stabileste cati metrii sunt,cati kilometrii sunt,cati ani-lumina sunt,....cati EXTREM DE MARI SUNT
este aceeasi :3..Si pentru metru ,si pentru kilometru,................................

Si , iar privitor la intrebarea cu numerele prime.
Totus nu pot intelege care este demonstratia ca intradevar de la numarul 7 [dar chiar incepind cu 3,5] pina la numarul 210 intradevar nu exista nici un numar impar care nu este divizibil cu 210 ??? Prin exemple particulare, da am observat relatia, insa demonstratia matematica nu o vad, sau poate nu am inteleso.

Privitor la numerele foarte mici Ce valoare are (spune o valoare macar ) din sumele celea infinite de numere infinit mici la integrala in sens Reimman?

meteor,
in societatea umana,oamenii se impart in trei categorii:
Cei care afirma expresii de genul "Ar fi mai bine daca s-ar face cutare lucru...."
Cei care afirma expresii de genul :" Oare ce se intampla daca fac cutare lucru..."
Si cei care afirma expresii de genul:"O sa fac cutare lucru,indiferent de ce se intampla!"
Tu din care categorie faci parte?
OAMENII NORMALI SE ADAPTEAZA DUPA LUME.NEBUNII ADAPTEAZA LUMEA DUPA EI.
De aceea ,in cele mai multe cazuri,progresul se face din cauza nebunilor.
Desi cred ca pui intrebari la care ti-ai putea raspunde si singur ,interesul tau subconstient ,este de fapt, dorinta ta de a realiza un schimb de idei pe care tu le formulezi sub forma de intrebari si nu sub forma de afirmatii.
Intrebarile pe care le punem,reprezinta in general,nevoia subconstienta de a elimina incertitudinile proprii.
Dar daca pui doar intrebari si nu cauti sa gasesti si singur raspunsul,chiar si in felul tau, nu participi la trecerea la "nivelul" urmator la progresului,in primul rand ,al persoanei tale,si vei ramane mereu la stadiul de intrebator.
Imi dau seama si ca,s-ar putea sa-ti explic aceea infinitate de (p1*p2*p3*...*pn)+1 ori, si niciodata nu va fi pentru tine o certitudine.
Daca vrei sa continui,incearca inainte de toate, sa intelegi de ce ENSTEIN a afirmat la un moment dat, ca nu este sigur de infinitatea universului.
Dupa ce iti raspunzi singur la nedumerirea lui Enstein,vei intelege de ce si cum se intampla multe lucruri.
S-ar putea sa nu mai conteze,dar daca vrei sa ma mai intrebi nelamuriri de ale tale ,precizeaza si din ce cauza nu esti de acord cu ce se spune.
Cu mult respect,meteore!

Inainte sati pun o intrebare, ma mai gindesc la rezolvarea ei bun timp, nuti face griji.
Pai uite, am incercat sa inteleg demonstratia cea de integrala in clasa a XI, dar nu sa primit nimic.
Daca teai saturat de intrebarile mele, eu nu ma supar.

Cu Enstein, el paremise a afirmat teoria BigBang. Din teorie se spune ce toata materia din univers (universul) sa adunat in un singur punct, apui a explodat, si in prezent universul tot inca se dilata.... ceea ce rezulta ca e finit, asta era sau nu?!
Privitor la demonstratia aia, am gasito (inteleso).
Fie N=2xp1xp2x...xpn+1 e nr la care se presupune ca e prim, pentru a demonstra ca intradevar e prim el trebu sa respecte condita:sa nu fie divizibil cu nici unul din 2xk+1 (nr impare), unde k>=1

Incearca sa analizezi si expresia lui Enstein care se termina cu:
"....Dar despre univers nu sunt asa de sigur!"