Ce e, axioma sau teorema...?!

Axiomele, au dat mari batai de cap invatatilor. (dupa parerea mea, cel mai mare invatat e acela ce si-a dat primul seama ce este aceasta o axioma...)

Pina aici, nimic curios.

Povestea cu a cincea axioma a lui Euclid, totus e ceva mai interesanta.
Istoria spune, ca Lobacevski mult timp s-a chinuit sa gaseasca demonstratia axiomei (astfel incit sa o transforme in teorema). Insa, ori de cite ori incerca, permament folosea nu putea gasi alte "mecanizme", decit cele, oferite doar de axioma. Peste, un timp, totus si-a dat seama ca e imposibit, si ca e axioma.

Intrebare: Cum demonstram ca o axioma este axioma si nu teorema (la fel cum Lobacevski/Bolyai au demonstrat[si-au dat seama] ca a cincea axioma a lui Euclid e axioma ci nu teorema?!)?

...

curiosul a scris:Parerea mea meteor este :
-ajungi sa demonstrezi ceva plecand de la ceva demonstrat
-acel ceva demonstrat este fie o alta demonstratie, fie un fundament(axioma)
-daca incerci sa demonstrezi fundamentul, trebuie sa pleci de la o alta certitudine (fundament, axioma)
-daca incerci sa demonstrezi aceea certitudine, trebuie din nou, sa pleci de la ceva sigur adevarat
....
-daca incerci sa demonstrezi ca ceva este intr-adevar adevarat , nu poti demonstra decat bazandu-te pe ceva adevarat
De aceea matematica este axiomatizata.
Sunt fundamentele logice care construiesc matematica.

Daca vrei, uite o ''demonstratie'' a necesitatii axiomatizarii matematicii :

Sa presupunem ca o axioma matematica poate fi demonstrata. Atunci rationamentul prin care se demonstreaza axioma, are la baza un adevar care ar trebui din nou demonstrat.Sa presupunem ca se demonstreaza si acest adevar. Atunci acel adevar este demonstrat pe baza altui adevar etc.
Oricat am reusi sa demonstram adevarul unei axiome care reprezinta un fundament matematic, demonstratia implica o afirmatie care la randul ei ar trebui demonstrata.
Pentru ca rationamentul poate fi repetat la infinit, pentru a dezvolta matematica apare necesitatea acceptarii unui adevar nedemonstrabil.

Vezi, ca asta si e problema, de unde noi putem sti, ca am folosit toate "mecanizmele" la gasirea demonstratiei axiomei, ce au fost pina acum folosite, si ca altele nu mai sunt?
Ceea ce e subliniat, nu inteleg.
Ceea ce e ingrosat, trebue sa argumentezi (daca esti ferm); daca e parerere, atunci nimic strasnic.

curiosul a scris:
CE SE INTAMPLA IN MOMENTUL IN CARE SE DEMONSTREAZA CA O AXIOMA ESTE FALSA?

[trebue sa spui ca in un anumit consens] Se deschide o noua axiomatica (un fel de o noua geometrie...).
Insa nu prea te inteleg. Eu inteleg ca o axioma e o afirmatie(propozitie) ce nu i se poate gasi valoarea de adevar (nici falsa nici adevarata).

Al cincilea postulat in geometria euclidiana e adevarata, in geometria lui Lobacevski-Bolyai e falsa. Deci putem trage o concluzie: o axioma e adevarata doar in un anumit consens (domeniu).

Cum demonstram ca o axioma este axioma si nu teorema

Însăşi noţiunea de axiomă presupune ceva care nu necesită demonstrat.

...

Buba principiului incercetudinii in matematica {privitor la veridicitatea a ceea ce stim/studiem} [si nu numai] (sunt axiomele si postulatele)

Însăşi noţiunea de axiomă presupune ceva care nu necesită demonstrat.

. Asa s-a convenit si ni s-a comunicat si noua pe la cele scoli.
. De fapt, cineva (un ganditor cu prestanta) neputand patrunde in interiorul unei realitati, a decretat, a postulat, a considerat respectiva bucata de realitate ca fiind axiomatica, fundamentala, ireductibila.
. Daca ceilalti, au convenit, au fost de acord cu ganditorul, atunci conventia lor a consolidat, a propagat, generalizat, etc. axioma respectiva. Care, sa nu uitam, este la originea ei doar expresia necunoasterii. Un fel de neputinta stiintifica (temporara, fara indoiala).

. Prin urmare, o axioma nu este neaparat adevarata iar consistenta ei este parerea cuiva si o conventie colectiva (si aceea limitata).

. As dori sa atrag atentia ca in cazul demonstratiilor se trece de la un rationament la altul, de la o dovada la o deducere, de la un rationament la altul, etc. Atunci cand ne gasim in cadrul teoriei pure este greu de sesizat ca insesi aceste "treceri" pot fi niste erori. In schimb, in activitatea inginereasca aceste erori sunt cat se poate de "obiective" si dau mare bataie de cap la toata lumea. Am adaugat aceasta observatie banala pentru a atrage atentia asupra usurintei cu care se poate gresi facand tot felul de rationamente in lant si de a emite foarte multe idei (interesante, fara indoiala dar posibil gresite, "axiomatice").

In schimb, in activitatea inginereasca aceste erori sunt cat se poate de "obiective" si dau mare bataie de cap la toata lumea. Am adaugat aceasta observatie banala pentru a atrage atentia asupra usurintei cu care se poate gresi facand tot felul de rationamente in lant si de a emite foarte multe idei (interesante, fara indoiala dar posibil gresite, "axiomatice").

Fara indoiala si matematica s-a dezvoltat ca stiinta pornind de la observatii practice. Atat timp cat realitatile practice nu pot fi demonstrate matematic, acestea capata valentele unei axiome. Poate este greu de demonstrat ca printr-un punct exterior unei drepte nu trece decat o dreapta paralela, dar este simplu de observat acest lucru, ca o dreapta si un punct exterior ei, pot fi continute intr-un singur plan, prin care se poate trasa o singura paralela la dreapta initiala. Axiomele sunt adevaruri evidente demostrate practic, de aceia nu necesita alte demonstratii teoretice.

Axiomele sunt adevaruri evidente demostrate practic, de aceia nu necesita alte demonstratii teoretice..

. Am subliniat "evidente" deoarece sub aceasta denumire se pot ascunde prea multe lucruri neglijate.
. De ex. orice adevar evident pentru unii nu este la fel de evident si pentru altii. In plus, un adevar evident intr-o anume etapa a cunoasterii nu mai este deloc (adevarat) in alta etapa, ulterioara, de cunoastere (cunoastem cu totii declaratia stiintifica de la 1900 - precum ca un obiect mai greu ca aerul nu va zbura; actualmente stim cu totii ca nu exista viteza mai mare decat "c").

. Sunt de parere ca demonstratia teoretica trebuie sa fie validata de experienta, de realitate. Daca avem egalitatea axioma= realitate brut constatabila, rezulta ca in nici un caz nu se pune problema "demonstrarii ei teoretice" ci viceversa.

mm, exact la multe din acestea si ma gindesc (gindeam).

totus, acel antic (altii mai nu rid ca fiind primitivi, insa nu e asa), a trebuit sa aiba bun cap, ca sa defineasca printre primii cei aceea axioma (si ca mai departe se lucreaza doar cu ele, un exemplu lucid de asa invatat este mult cunoscutul Euclid).

Insa, lumea (si stiinta oficiala) nu se termina aici.

In ingenerie, viata de toate zilele, ne este (le este greu) greu sa rezolvam(rezolve) multe probleme, [cred] ca cauza fiind doar deoarece mai nimic din ce stim(stiu), nu intelegem(inteleg).

Exemplu de axioma:
,,0''= ,,nimic'',vid ,vacuum .Multimea vida {0} nu contine nici un element si nu este nici ,,-'' si nici,,+''( cum o considera unii)
Este o axioma ?

E o adunatura de notiuni,

In primul rind numarul zero, de unii e socotit ca fiind un numar special. Desigur el nu este nici pozetiv nici negativ.
Ceea ce ai afirmat tu, parese ca sunt niste definitii, si nimic nu au cu propozitiile matematice, sau axiomele.

Multimea vida se noteaza cu zero taeat, despre ea multe nu stiu.

Exemplu de axioma:
,,0''= ,,nimic'',vid ,vacuum .Multimea vida {0} nu contine nici un element si nu este nici ,,-'' si nici,,+''( cum o considera unii)
Este o axioma ?

In acest caz am o observatie de facut; este vorba de diferenta dintre teorie si practica. In practica pentru a demonstra ca multimea zero nu cuprinde nici un element, se da un exemplu cu diferite obiecte, din care se scade numarul lor pana cand nu mai ramine nici un element, atunci spunem ca avem multimea zero. Deci cand vorbim despre ""zero"" trebuie sa specificam si la ce fel de obiecte ne referim, altfel notiunea de zero isi pierde intelesul. Insa in teorie unde se lucreaza cu numere abstracte, adica lipsite de substanta, notiunea de zero ni se pare evidenta si usor de inteles. Din pacate aceasta abstractizare ne indeparteaza de realitate, si ne conduce la intelegeri gresite in anumite teorii. Cred ca atunci cand vorbim despre zero, totdeauna trebuie sa ne referim la faptul ca este obtinut dintr-o multime din care am scazut toate elementele ei. Concret in realitate 0=+1-1; sau 0=+2-2; s.a.m.d. 0=+n-n; Astfel atunci cand vom cauta sa intelegem cum a aparut universul din nimic, vom vedea ca intodeauna nimicul reprezinta ceva, o prezenta, si in acelasi timp o lipsa, a unui element.
Aceasta concluzie ne ajuta sa intelegem in mod natural, de ce in lumea micro particulelor totdeauna avem de a face cu particula si antiparticula ei. Totdeauna electronul se naste impreuna cu pozitronul, din nimic, cu ajutorul impactului energetic care separa acel zero in plus unu si minus unu.

Stie cineva vreo sursa (buna) unde se demonstreaza a cincelea postulat a lui Euclid ?!

Defineste al cincilea postulat al lui Euclid si mai vedem!

"Printr-un punct exterior unei drepte trece exact o paralelă la dreapta dată."

Foarte bine:
tai dreptele paralele cu o secanta perpendiculara pe ambele drepte si observi ca unghiurile formate de secanta cu cele doua drepte sunt egale doua cate doua pe fiecare din cele doua drepte (la 90*)
In cazul cand dreapta nu este paralela ele nu mai sunt egale doua cate doua pe fiecare din cele doua drepte si se va forma la una dintre ele un unghi ascutit (de fapt doua unghiuri ascutite) dar cel din interior arata ca dreptele se vor intersecta la un moment dat!
(Fiind mai mic de 90*)

meteor a scris:Stie cineva vreo sursa (buna) unde se demonstreaza a cincelea postulat a lui Euclid ?!

Am comis se pare o greseala de exprimare buna, mai ales in subiectul dat. Demonstratiile axiomelor,postulatelor pinace nu are sens.
Am vrut sa spun: Cum se definesc geometriile neeuclidiane (spre exemplu cea a lui Lobacevski).

CAdi a scris:
tai dreptele paralele cu o secanta perpendiculara pe ambele drepte si arati ca unghiurile formate de secanta cu cele doua drepte sunt egale doua cate doua pe fiecare din cele doua drepte (la 90*)
In cazul cand dreapta nu este paralela ele nu mai sunt egale doua cate doua pe fiecare din cele doua drepte si se va forma la una dintre ele un unghi ascutit si deci rezulta ca dreptele se vor intersecta la un moment dat!

CAdi cei aceasta?!

O demonstratie! Am uitat sa-ti spun ca duci prin acel punct o paralela la acea dreapta si apoi o dreapta care nu este paralela apoi...cele de mai sus.
Paralela formeaza cu secanta perpendiculara in acel punct unghiuri de 90* pe cand dreapta care nu este paralela formeaza unghiuri ascutite cu secanta si deci ele se vor intersecta!
Daca vrei o demonstratie oficiala o gasesti intr-o carte de matematica sau pe net!~

Lasa chiteva adrese, daca poti.

Intr-un cuvint, as vrea sa ma pot convinge, ca la fel e adevarata propozitia:
"Din un punct exterior unei drepte, i se pot duce 2 paralele si o infinitate de superparalele."

Uite aici un link.

Multumesc. Vroeam totusi in romana.

Voi traduce, si ce nu voi intelege (din traducere si din context), voi reveni cu intrebari.

Am găsit şi un referat scris în română aici. Vezi "Teorema 6" din referat!

[parerea mea]
1) Adevarul este opusul falsului, iar falsul este opusul adevarului.
Absurdul, nu este nici opusul adevarului, nici opusul falsului, sau nici una nici alta.
Absurdul nu are sens.
Falsul, sau negatia cum i se mai spune, dupa parerea mea are sens, insa absurdul nu.

Valoarea de adevar a unei axiome, se spune, ca este nici adevarata, nici falsa. Sau altfel spus, nu i se poate de determinat.
Dar, aceasta nu e suficient sa insemne ca o axioma=absurd, sau nu stiu.

Mai riguros spus, cred, ca nimeni nu a spus ca valoarea de adevar a unei axiome, nu i se poate de gasit, NU.
S-a luat si s-a spus ca ar fi adevarata, fara prea mari dureri de cap.
Aceasta, pentru ca sa se poata incepe drumul.
Avind ceva primordial ca fiind adevarat, poftim la drum.

2) Insa aceasta nu e tot.
O axioma e construita din niste elemente (niste caramizi), din conjunctii ce le leaga, etc.
La fel, si foarte important, aceste elemente (notiuni), se presupune ca nu pot fi explicate cu ajutorul apelului la late instrumente.
Deoarece, din ele sunt construite celelalte instrumente.
Exemple de astfel de notiuni:
Punct, numar, etc.
Ar parea gresit, spre exemplu, ca cu ajutorul cercului ce e format din o infinitate de puncte, sa definesti cei acela punctul.

Repet, ar parea logic, ca sa existe atit axiomele, cit si notiunile nedefinite.
Deoarece, daca, ar avea o definitie, acea definitie cu elementele ei, s-ar cauta alta definitie, etc.
Iar, mersul cu definirea ar fi infinita.

Insa acestea, nu stiu cum ar raspunde la aceea, cum sa demonstrezi daca o afirmatie e teorema sau axioma, daca o notiune e definita sau nedefinita.

Care e definitia adevarului si ce a a falsului, inafara de aceea ca fiecare din ele reprezinta opusul alteia?!
O alta intrebare neclara.

ceea ce e adevărat există ceea ce e fals nu există
despre o afirmație logică spunem că e absurdă atunci cînd și A și NonA sunt ambele adevărate

un exemplu ar fi enunțul logic X există și nu există în același timp și în același loc

absurd prin definiție ... mai mult decît absurd, ilogic, irațional ...

o teoremă poate fi orice enunț
enunțul poate fi logic sau ilogic, inteligibil sau neinteligibil
dacă enunțul e logic si poate fi descompus într-o structură logică putem merge mai departe să încercăm să îi demonstrăm valoarea de adevăr în cadrul unui univers de discurs

axiomele sunt paradoxale nu absurde pentru că pot fi false sau adevărate

le dăm o valoare de adevăr fără demonstrație dar prin demonstrație logică putem ajunge la negarea axiomelor

asta e întradevăr absurd! dar absurdul se rezolvă upgradînd axiomele sau eliminînd axiomele inutile, de care prin demonstrație și mai ales observație și experiment am aflat că nu sunt axiome adevărate

paradoxurile logice sunt unde axiomele rămîn pe loc, pentru că nu știm cu ce să le înlocuim sau alternativele nu par de loc mai bune, mai convingătoare, mai bine conturate, deși deja sa demonstrat faptul că axioma poate fi și falsă și adevărată funcție de teorema pe care vrem să o demonstrăm și metoda aleasă pentru asta ca un fel de bandă moebius logică

exemplu logic simplu:
axiomă: toate ciorile sunt negre
observație experimentală: s-au observat ciori albe
teoremă: sunt și ciori albe

dacă încercăm să demonstrăm teorema aplicînd principiul reducerii la absurd ajungem repede la negarea axiomei!

absurd!

o fi absurd da unele ciori tot albe sunt! nu sa înegrit nici o cioară albă de rușinea absurdului situației!

nesimțitele! și filozoful supărat bagă o revizuire a sistemului de axiome! asta e, viața bate filmul!

și sistemele de axiome sau revizuit de multe ori! geometria euclidiană e un exemplu clasic de cum se poate transforma un sistem de axiome!

în timp a apărut ideea dar de ce să nu eliminăm toate axiomele!? să nu mai avem probleme cu upradarea cu repetiție a teoriilor

ei bine, teoretic pare posibil și așa ceva! de ce nu!? ce ne împiedică să ajungem la 0 axiome!?

upgradăm universul de discurs pînă la universul de discurs maxim!

eeee! aici vine drăcușorul de bertrand russell cu a lui mulțime a tuturor mulțimilor și ne spune că nu se poate așa ceva!

simplificînd enunțul teoremei multimea tuturor ciorilor negre nu e echivalentă cu nici o cioară neagră! în discursul logic nu putem substitui cioara neagră cu toate ciorile negre! cele două tipuri de obiecte sunt diferite la un nivel esențial care nu le face substituibile una alteia ...

la fel cum din X>5 nu pot înlocui pe X cu 5! sunt lucruri diferite!

în ecuații contează și tipul variabilelor nu doar valoarea lor!

Intrebare: Cum demonstram ca o axioma este axioma si nu teorema

cînd cu ajutorul celorlalte axiome putem demonstra adevărul tuturor teoremelor deja demonstrat adevărate fără a apela la acea axiomă
atunci putem spunem că am demonstrat faptul că axioma nu e necesară și o eliminăm din sistemul de axiome
cu cît definirea unui univers de discurs are nevoie de mai puține axiome cu atît scade riscul de a avea axiome inutile în sistemul de axiome
axiomele sunt periculoase pentru că valoare lor de adevăr se postulează nu se demonstrează
în orice moment există riscul de fi tentat să inserezi o axiomă de care nu e neapărată nevoie doar pentru a scurta demonstrarea teoremelor mai dificil de demonstrat
cu cît un univers de discurs pentru a fi definit are nevoie de mai multe axiome cu atît crește riscul ca în timp unele axiome să fie demonstrabil false în cadrul acelui univers de discurs

așa ajungem la paradoxuri și absurdități logice! cu cît paradoxurile și situațiile absurde cresc spunem că universul de discurs e tot mai inconsistent și mai puțin bine definit

cu cît apar mai multe paradoxuri și absurdități în universul de discurs cu atît discursul logic se transformă într-unul ilogic și rațiunea se apropie de irațional în loc să se îndepărteze de el ...

*totedati, e mult mai bine, sa nu duci( si mai putin -ducem) in eroare, ceilalti cititori [care mai putin verifica ce citesc]!

Din multimea de obectii pe care le mai am, am una ce a sarit in ochi:
"
"Intrebare: Cum demonstram ca o axioma este axioma si nu teorema?"
cînd cu ajutorul celorlalte axiome putem demonstra adevărul tuturor teoremelor deja demonstrat adevărate fără a apela la acea axiomă" "
Fara a avea studii mari la mate, am auzit in treacat ca s-a demonstrat ca in cadrul unui sistem axiomatic (despre care putin vorbim) ca admite o infinitate de axiome.
Acum, cum, cu ajutorul a unei infinitati de axiome, verifici o axioma?! Cam, de cit timp ai avea nevoe...

Iar:" Sa demonstram adevarul tuturor teoremelor deja demonstrate adevarate, fara a apela la acele axiome pe care se bazeza teorema", prima oara, zaresc asa tip de problema. Mi se pare la moment, irationala.

o infinitate de axiome!?

no, chiar că n-am auzit de așa ceva pînă acum ...

unde, unde!? să îmi upgradez ... sistemul de axiome ...

LE: de verificat verifici teoremele nu axiomele! alea, teoremele, sper, sunt încă în număr finit, ca produs uman, și din cînd în cînd cîte un geniu neliniștit și plictisit se apucă să mai verifice chestii de genul ce ar fi dacă axioma cutare, aparent puțin folosită, încerc să o elimin de tot? reformulînd demonstrațiile acelor cîteva teoreme care care au nevoie de ea!?

dacă reușește asta poate ieși în agora publică cu marea realizare, hey! am demonstrat că n-avem nevoie de axioma cutare!

cu alte cuvinte geniile cînd n-au ce face și se plictisesc găsesc repede noi jucării

LE la LE: se admite adică pot fi! teoretic nu există limită superioară la numărul de axiome! dar nu sunt în nici un sistem axiomatic real! eu n-am auzit e așa ceva!

sau sunt și sunt eu prea babalîc!? unde!? ceva frunze de wikipedia de rumegat nu-mi dai și mie? că de acolo mai departe mă descurc singur!

http://www.scientia.ro/forum/index.php/topic,2048.0.html
" Una dintre cele mai mari întrebări de azi este: “ Se poate elabora o teorie fizică care să explice absolut toate fenomenele ce ne înconjoară?” . S – a demonstrat faptul că nu există un set de axiome finit care să fie baza oricărei teoreme matematice, atâta timp cât principiul terţului exclus rămâne valabil. Iată succesiunea faptelor care au dus la această concluzie. "

Haz, de necaz! Facem comedii online,
Cum sa demonstrezi o teorema, si sa fii increzut in ea, mai ales sa spuna despre totul la general, daca la baza tuturor teoremelor stau - axiomele ?!
Spre exemplu, in afara de axioma Cantor-Dedekind, axioma nr.1 lui Piano oare nu ar pune bete in roate, catre teoremele lui Godel?!

[Rezumat, la momentul de fata...]
[parerea mea] Intii de toate apare fundamentala intrebare:
- Care este definitia adevarului si care este definitia falsului, stiinduse doar ca: una este opusul alteia?!
Raspuns la aceasta intrebare este (se pare), ca e imposibil de dat, fiecare in felul sau intelegind-o, fiind valabil in un anumnit consens, existind, DOAR, in singur indiciu:
una este opusul celeilalte.
A doua intrebare este:
- Care este definitia absurdului, stiinduse, doar ca el nu este nici adevar si nici fals.
La fel, se pare ca si aici e imposibil de gasit raspunsul, avind doar un referential din minima definitie:
nu este nici adevar nici fals.
La fel ceva devine absurd, daca nu e folosit corespunzator in un anumit consens, in caz contrar (posibil) el poate fi atit adevar cit si fals.

La baza axeomelor stau 3 prenotiuni:
Absurdul, Adevarul, Falsul.

O axioma este construita din 2 compartimente:
1) Obiecte- sau notiuni ce nu pot fi definite.
2) Legaturi- "ceva" care leaga obiectele intre ele, in rezultat totul capatind sens, care si el e nedefinit... Exemple de legaturi:
Conjunctia, disjunctia, negatia, conditia, concluzia, etc.

Nu are sens cautarea propriuzisa valorii de adevar a unei axiome.
Prin definitie ele se considera a fi adevarate (doar in un anumit consens).

Propozitiile sunt construite din axiome.

Teoremele sunt construite din propozitii.

Teoriile sunt construite din teoreme.