Determinarea diferentei maxime dintre doua numere prime consecutive

Ar putea fi mai multe metode. Care imi apar, le voi spune pe rind.
Ce e important, este de determinat cit posibil mai corect, aceasta, va permite rezolvare a o sumedenie de probleme cel putin din cadrul teoriei numerelor prime.

Prima metoda, este de a aplica functiile minim si maxim.
Iata desenul, care spune totul, insa voi comenta ca sa se digere mai bine informatia.

A determina distanta maxima dintre 2 numere prime consecutive este aceeasi cum al determina pe din ecuatia:


Daca insa sa fim ceva mai rigurosi, si a scrie mai corect, ar trebui asa sa fie:

sau


Determinarea deltei din asa ecuatii, deseori (cind functiile minim si maxim au o forma diocheata) nu mi se pare un lucru deloc usor.
Insa, in dependenta de problema, posibil s-ar putea evita conditia de al determina pe delta.

Spre exemplu daca dorim sa rezolvam conjectura lui Andrica (cu anumite functii minim si maxim, cu conditia ca l-am determinat pe delta) vom avea:

Insa, din cauza ca avem functiile minim si maxim slabanoage, putem avea chiar contrariul:

[repet, aceasta cred ca se intimpla nu din cauza ca demersul logic e gresit, ci din cauza caci functiile slab aproximeaza]

Notatiile de mai sus nu is prea potrivite, deaceea recomand putin sa le schimbam asa:

Adica, este necunoscuta acestei ecuatii si ea trebue de determinat, amintesc, caci este o valoare exprimata in functie de .

[neverificat si nedemonstrat pina la capat!] Pentru ca sa marim aproximatiile functiilor minim/maxim, sa le facem suficient de puternice astfel incit sa ne permita sa calculam anumite probleme, se poate asa [nu mai fac desene si nu mai aduc calcule ca imi va lua timp, daca cineva nu ii clar, poate intreba]:

-Intii de toate eu as prefera sa lucrez cu functia lui Legendre, este destul de comoda si compacta, s-a demonstrat si definit, care intersecteaza functia numerelor prime, si contine o anumita constanta (nedefinita pina la capat, ma refer la zecimale):
.
Aceasta constanta e notata cu (cum am mai scris, care incepe cu )
Aceasta precizie a constantei, face ca functia lui Legendre sa intersecteze functia numerelor prime pina la o anumita valoare, apoi sare in sus, si hatu nu mai revine.

O idee de grota [ne rigid demonstrata], e sa incapem sa vinam cit mai multe zecimale a acestei constante [mai apoi se va vedea simplu ca e foarte importanta].
Dacadupa o anumita valoare functia sare deasupra functiei numerelor prime, inseamna ca trebue ca sa marim cu o anumita valoare constanta. Dupa ultima cifra poate fi 0,1,2,..,9. Problema e daca e 0. Si mai problematic e daca la fel s-ar intimpla cu vreo nu se stie cite zecimale de zero, si tocmai apoi sa vina o cifra diferita de zero. Marirea preciziei constantei cu o zecimala e batae de cap si trebue sa pui calculatorul in miscare, daap vreo douazeci.
Ideea deci e asa: Adaugam 1 la ultima cifra a constante, daca functia nu sare in sus, inseamna ca este o valoare intre 0 si 1. Daca, la adaugarea lui 1 functia tot sta in sus, inseamna ca 1 nu e bun, si trebue de inlocuit cu 2, etc. verificam pina la 9.
Apoi trecem la urmatoarea zecimala (in dependenta de putinte), etc.

- Dupa ce aproximam mai bine constanta B , deci aproximam functia Le(x) mai bine, putem trece la urmatorul pas, si anume a transforma functia Le(x) in m(x) si M(x), de remarcat ca acestea vor aproxima fenomenal de bine functia PI(x).
Cum sa facem ca din Le(x) sa facem si m(x) si M(x) ?!
Prin translatii si prin rotatii.
Dupa ce definim ca functia pina la o anumita valoare intersecteaza functia numerelor prime, si demonstram apoi ca dupa o anumita valoare [desigur mai mare] functia Le(x) sare in sus/ sau/ jos [ca.. nus' cind il vor defini total pe constanta B, caci presupun no' fi asa usor] :
- functia M(x) este o translatia a functiei Le(x) cu citeva unitati [fie ii spunem cu k,t unitati] (nu cred caci k,t e mai mult de 2) spre stinga-sus [se poate pur si simplu spre stinga, sau sus, depinde de cum se determina ca e mai bine], aceasta inseamna: M(x)=Le(x-k)+t.
- insa, pentru ca sa obtinem functia m(x), este nevoe ca sa aflam dupa ce valoare Le(x) sare peste PI(x) [determinam pentru o anumita valoare cu cit sare peste] sa rotim functia Le(x) cu un unghi [sau..se pote sa ne amestecam la constanta B, adica sa o facem putin mai mare, astfel incit dupa o anumita valoare mare, functia Le(x) sa plece strict sub PI(x)] care sa o faca pe Le(x), dupa o anumita valoare (peste sute de miliarde) sa fie vesnic sub PI(x). Apoi ii facem o translatie spre dreapta-jos [se poate pur si simplu spre dreapta, sau jos, depinde de cum se determina ca e mai bine], si poftim m(x)=Le(x+k)-t.

Rotatiile nu prea le sfatui, deoarece apar functiile trigonometrice, apar niste formule ca iti cad urechile doar vazindule, mai mult, lucrul cu functiile trigonometrice [problema mileniilor] nu e un lucru comod.

Obtinerea noilor functii si ar fi cu muult mai puternice ca cele din ziua de az, fie sa zicem cele ale lui P.D. (aici le notez: si )
Adica asa ar iesi ca:

Mai... daca nu ati ametit voi, atunci eu se pare ca da

Problema [din ciclu primar ]:
- Fie avem un anumit sir de numere (numere prime), la care termenii se afla in ordine crescatoare insa la care nu se stie nimic absolut despre succesivitatea terminilor sirului (nu se cunoaste nici o regula de aparitie a terminilor), INSA se stie cert caci:
De la la ( apartine domeniului de definitie al functiei care il aplica, ) sunt cel putin numere prime.
De la la sunt cel putin numere prime.

-Intrebare:
Este corect sau nu, caci:
Intre si sunt cel putin numere prime ???????????

Pare destul de evident ca este corect nici vorba, INSA sunt doua neclaritati:
-Este corect oare a aplica acest principiu in cazul in care termenii sirului nu au (nu li se cunoaste) o ordine?!
-Din graficele acestor functii (numerelor prime si functiei minim), am observat(presupus) caci s-ar putea sa fie contraexemple. Numai am presupus, nu am demonstrat nimic, nici da nici nu.

In cazul in care, se va da unda verde caci este foarte corect a aplica acesta concluzie ( caci numarul minim de numere prime in acel interval este de ), adica nu mai este nevoe sa inventam bicicleta cu 5 roti daca este cea cu 2 roti, in asa caz cad rezolvate brusc sute de probleme din acest domeniu al matematicii.
In caz contrar, suntem nevoiti sa lasam acest drum.

---==Distanta maxima dintre 2 numere prime consecutive fata de altele, sau -raportata la ele==---


[sper ca nu e gresita notatia si exprimarea, ?!]

Din aceasta formula observam ca distanta maxima dintre 2 numere prime consecutive fata de altele este intre:
3 si 5.

In orice caz asa e ordinea:
(3,5); (7,11); (2,3); ...

---===Raportul minim intre 2 numere prime consecutive==---

Este:


[ Despre raportul maxim intre 2 numere prime consecutive nici nu ne intereseaza, caci in cazul in care numerele gemene is infinite, pentru valorile cind tind la infinit, raportul tinde catre 1 ]

Se observa deci ca raportul este minim atunci cind distanta dintre si este maxima, insa in dependenta de un anumit referential (adica de ).

La fel banui ca raportul minim este in ordinea ca in cazul enumerat mai sus:
(3,5); (7,11); (2,3); ...