Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Scris de **Abel Cavaşi** Lun 03 Mai 2010, 22:17

Rezumarea primului mesaj :

Studiind formulele lui Frenet am ajuns la concluzia că acestea sunt recursive. Mai precis, folosind forma trigonometrică a formulelor lui Frenet (formă despre care puteţi găsi amănunte plictisitoare pe blogul meu), am demonstrat următoarea

Teoremă. Dacă există un triedru drept de ordinul n $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex$ care satisface formulele lui Frenet de ordinul n scrise sub forma trigonometrică

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex.cgi?{\large{\left\{\dot{{\vec{T}}}_{n}=\omega_{n}\sin\theta_{n}\vec{N}_{n}\\\dot{{\vec{N}}}_{n}=\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\\\dot{{\vec{B}}}_{n}=-\omega_{n}\cos\theta_{n}\vec{N}_{n}\right$ ,
atunci există încă un triedru drept de ordinul n+1

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\vec{T}}_{n+1}=\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{N}}_{n+1}=-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right$

care satisface, la rândul său, formulele lui Frenet de ordinul n+1 scrise sub forma trigonometrică

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}\sin\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}(-\sin\theta_{n+1}{\vec{T}}_{n+1}+\cos\theta_{n+1}{\vec{B}}_{n+1})\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\right$ ,
,
unde $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex$ si $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex$ .

Demonstratie: Din relaţiile
$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex$ si $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex$
avem că

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex$ ,
deci $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex$ .
Mai avem $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex$ ,
de unde $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex$ .
Derivăm acum versorii triedrului drept de ordinul n+1

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 >\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right$

şi obţinem

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta\dot{\vec{T}}_{n}+\dot{\theta}_{n}\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}+\sin\theta_{n}\dot{\vec{B}}_{n}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}-\sin\theta_{n}\dot{\vec{T}}_{n}-\dot{\theta}_{n}\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}+\cos\theta_{n}\dot{\vec{B}}_{n}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\right$ .
Înlocuind $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex$ si $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex$ , obţinem

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=\dot{\theta}_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}(\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n})-\omega_{n}\vec{N}_{n}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\right$ .
Dar ştim că, din definiţia versorilor de ordin superior, avem

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\vec{T}}_{n+1}=\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{N}}_{n+1}=-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right$ ,
deci

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=\dot{\theta}_{n}\vec{N}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\vec{T}_{n+1}+\omega_{n}\vec{B}_{n+1}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}\vec{N}_{n+1}\right$ .
Cum $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex$ si $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex$ , rezultă în final

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Mimetex.cgi?{\large{\left\{\\{\dot{\vec{T}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}\sin\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}(-\sin\theta_{n+1}{\vec{T}}_{n+1}+\cos\theta_{n+1}{\vec{B}}_{n+1})\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\right$ ,

ceea ce trebuia demonstrat.

Descoperirea "live" a acestei teoreme de recurenţă, precum şi o mulţime de consecinţe ale teoremei pot fi găsite pe forumul de astronomie în topicul "Formulele lui Frenet generale".

Cum vi se pare această teoremă? Nu întrevedeţi şi voi aici (ca şi mine) o eventuală conexiune profundă între mecanica clasica şi cea cuantică?

Scris de **Abel Cavaşi** Vin 04 Apr 2014, 23:04

Ai vrea tu. Dar te-ai gândit că triedrele astea satisfac formulele lui Frenet? Asta nu e un fleac.

Scris de Isus Vin 04 Apr 2014, 23:13

"Sper ca cei din categoria Cavasi sau Forever_Man dar si cei ca electron sa inteleaga ce incerc sa spun prin aceasta interventi"

Raspuns:

Ce inteleg eu din interventia ta este ca tu faci niste confuzii grave in ce priveste notiunea de "pseudostiinta". Din ce scrii tu rezulta ca pentru tine "pseudostiinta" este orice idee care pare imposibila, sau contradictorie cu stiinta curenta. De fapt pseudostiinta este orice demers care desi are pretentia sa fie "stiintific" nu respecta rigorile metodei stiintifice. Asta e tot.

Fara idei aparent imposibile si contradictorii cu stiinta curenta, nu se poate avansa. Deci nu asta e problema. Inovatiile si imaginatia sunt cat se poate de laudabile. Dar esential este cum se abordeaza si cum sunt sustinute aceste idei si "teorii alternative". Daca se redefinesc termenii dupa bunul plac fara a explica noile intelesuri prezente doar in capul "revolutionarului", daca se ignora sensurile consacrate si se insista in confuzii intentionate sau neintentionate, daca nu se duc rationamentele pana la capat ci se emit doar ipoteze "geniale si minunate si nemaipomenite" (in general laudate doar de autorii lor), pe care "ceilalti sa faca bine sa le dezvolte", ei bine atunci e cat se poate de clar vorba de pseudostiinta.

Scris de **Abel Cavaşi** Vin 04 Apr 2014, 23:19

Aş vrea să văd argumente, nu propoziţii sforăitoare. Ceea ce faci tu este pseudoştiinţă.

Scris de Moise Sam 05 Apr 2014, 08:19

Tinere, n-ai inteles. Formulele de recurenta ale lui Frenet nu sunt singurele astfel de formule. Poti sa inventezi taspe mii de formule de recurenta pe baza caror sa generezi triedre peste triedre cu proprietati recurente. Asta nu inseamna ca acele triedre au vreo semnificatie, sau utilitate.

Scris de **Abel Cavaşi** Sam 05 Apr 2014, 08:25

Să înţeleg că Frenet n-a găsit nimic interesant?

Scris de Moise Sam 05 Apr 2014, 11:15

Scris de **curiosul** Lun 07 Apr 2014, 09:58

Poate totuși Abel spune el ceve, ceva.
Aseară Abel, m-am trezit peste noapte cu elicele tale în minte.

Să presupunem că eu, pe Pământ, arunc pe verticală o piatră care revine la un moment dat pe înapoi pe Pământ.
Eu de pe Pământ, voi vedea o linie dreaptă dus-întors.
Dar din perspectiva mișcării de revoluție și rotație a Pământului piatra nu a mai descris o traiectorie în linie dreaptă dus-întors, ci într-adevăr, o porțiune dintr-o elice cumva.

Deci care-i traiectoria exactă a pietrei pe care am aruncat-o ?
Dar dacă mai luăm în calcul și mișcarea sistemului solar ?
Care-i până la urmă traiectoria exactă a pietrei ?

Pentru că nu se rezumă numai la asta.
Dacă momentele în care a fost aruncată și a revenit înapoi pe Pământ coincid din orice perspectivă, atunci din perspective diferite piatra urmează traiectorii mai lungi sau mai scurte ceea ce înseamnă că are de asemenea viteze diferite din perspective diferite.
Dacă are viteze diferite, atunci are energii cinetice diferite.

Deci se pare că au totuși o importanță și traiectoriile despre care tot vorbește Abel, dacă dorim să descriem și alte aspecte fizice, cum ar fi viteza și energia cinetică.

Eu îți propun să continui Abel cu cercetarea acestor traiectorii din perspective diferite, pentru că s-ar putea ca la un moment dat să aibă o importanță destul de mare.
Însă analizează traiectoriile nu numai din prisma descrierii matematice, ci și a importanței lor fizice din alte puncte de vedere.

Scris de **Abel Cavaşi** Lun 07 Apr 2014, 11:39

Mulţumesc, curiosule!

Din păcate, unii ţi-ar putea reproşa la raţionamentul de mai sus că nu contează perspectiva, ci contează că există un reper în care traiectoria pietrei e o dreaptă. Dar şi la un asemenea reproş putem aduce un contraargument puternic: nu poţi fi sigur că traiectoria e o dreaptă nici măcar în reperul iniţial. Aşa că mai bine studiezi forma generală a traiectoriilor şi mai apoi deduci consecinţele posibile.

Acum am descoperit că pot lua în considerare faptul că două corpuri precum Soarele şi Pământul au normalele la traiectorie coliniare (din moment ce se atrag după linia care le uneşte). Asta înseamnă că ele se mişcă pe traiectorii care sunt aşa-numite vecine Bertrand. În consecinţă, produsul torsiunilor lor este constant. Iar asta înseamnă că niciuna dintre torsiuni nu poate fi nulă (căci atunci cealaltă torsiune ar trebui să fie infinită). Aşadar, niciunul dintre cele două corpuri nu descrie o curbă plană.

Deci, fii liniştit că studiez problema în continuare.

Scris de **curiosul** Mier 23 Apr 2014, 13:21

Abel, hai să gândim un pic, din altă perspectivă, teorema de recurență.

Plecăm de la faptul că un triedru Frenet este atribuit unui corp în mișcare.
Tu, prin teorema de recurență, ai dedus o altă infinitate de triedre.

Dar fiecare alt triedru care este dedus teoretic de recurență și este diferit de triedrul Frenet original atribuit și asociat mișcării corpului, este un triedru de ordin n, asociat unui triedru de ordin n-1.
Carevasăzică, acel triedru de ordin n nu este atribuit unui corp în mișcare, ci unui alt triedru, iar aceste oricare alte triedre de ordin k deduse teoretic, nu sunt asociate unor corpuri în mișcare.

Asta mă face să mă întreb, care este rolul acestor n alte triedre, diferite de cel Frenet original, care nu sunt asociate mișcării unor corpuri ?
Depinde de sistemul de referință din care este privită mișcarea corpului ?
Dar chiar și așa, dacă din alt sistem de referință traiectoria mișcării aceluiași corp este diferită față de cea privită din alt sistem de referință, tu, prin teorema de recurență nu schimbi sistemul de referință în care asociezi un alt triedru de ordin k, să spunem, diferit de cel Frenet original, asociat corpului în mișcare, ceea ce înseamnă că toate celelalte triedre Frenet nu descriu obiectiv traiectoria unui corp în mișcare, ci doar traiectorii originii celorlalte triedre, nu-i așa ?

Deci un alt eventual triedru, care poate fi dedus teoretic să spunem și nu este asociat traiectoriei reale, directe și obiective a mișcării unui corp, ce rol are ?

Scris de **Abel Cavaşi** Mier 23 Apr 2014, 18:46

Cu teorema de recurenţă am arătat că în fiecare punct al unei traiectorii coexistă toate triedrele Frenet, rolul fiecărui triedru fiind la fel de important ca şi rolul triedrului Frenet iniţial. Sistemul de referinţă ne dă informaţii despre ordinul traiectoriei.

Scris de **curiosul** Joi 24 Apr 2014, 08:05

Măi Abel, chiar, cum ne explicăm situațiile de mai jos ?

Dacă aruncăm în sus de pe Pământ o sferă să spunem, care revine înapoi pe Pământ, din perspectiva Pământului are o traiectorie în linie dreaptă :

frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Fkt9bn

frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 Fkt9bn

Dar această traiectorie, privită din perspectiva unui corp față de care Pământul se deplasează, este una mai lungă :

frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 2w6gos9

frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 2 2w6gos9

Dar dacă momentele aruncării și revenirii sunt simultane, înseamnă că acel corp din perspective diferite are viteze diferite.
Dacă are viteze diferite, are energii cinetice diferite, impulsuri diferite etc.

Care este obiectivitatea situației ?
Care este traiectoria exactă a corpului pentru a descrie cu precizie impulsul, energia cinetică a acestuia etc ?

Scris de **Abel Cavaşi** Joi 24 Apr 2014, 08:27

Păi, însuşi impulsul şi însăşi energia depind de sistemul de referinţă. Aşa că nu există o asemenea obiectivitate pe care o cauţi. Singura „obiectivitate” este relaţia veşnică dintre impuls (energie) şi forma traiectoriei.

Scris de **Abel Cavaşi** Vin 25 Apr 2014, 20:59

Poate cineva să-mi dea o listă relevantă cu nişte profesori care ar putea valorifica această teoremă?

Scris de Vizitator Vin 25 Apr 2014, 21:25

Abel Cavaşi a scris:Poate cineva să-mi dea o listă relevantă cu nişte profesori care ar putea valorifica această teoremă?

Sigur ca da! Incearca la astia doi, sunt de talie mondiala!
Mister Been
sau daca nu raspunde incearca la:
Benny Hill

Smile

)))))))))))

Scris de Vizitator Vin 25 Apr 2014, 21:52

orakle a scris:
Abel Cavaşi a scris:Poate cineva să-mi dea o listă relevantă cu nişte profesori care ar putea valorifica această teoremă?

Sigur ca da! Incearca la astia doi, sunt de talie mondiala!
Mister Bean
sau daca nu raspunde incearca la:
Benny Hill

)))))))))))

Ti-au raspuns ?

Scris de **Abel Cavaşi** Sam 03 Mai 2014, 08:54

Am găsit ceva interesant: http://arxiv-web3.library.cornell.edu/pdf/1404.7369.pdf ! Se pare că, copăcel-copăcel, vin şi alţii pe urmele mele. Se apropie şi ei de teorema de recurenţă. Felicitările mele cercetătorilor din Turcia!

Scris de **Razvan** Sam 03 Mai 2014, 14:14

S-or fi inspirat de la tine? Smile

Păcat că n-ai putut tu să publici înainte!

Acuma zău, articolul este în secţiunea de matematică şi citindu-l la repezeală n-am observat să-i dea şi o interpretare fizică, aşa cum vrei tu să faci. Dacă are una, s-ar putea să nu fie chiar la nivel atât de profund cum presupui tu, adică la nivel de traiectorii ale particulelor, ci eventual una la nivel de dinamica eliciilor de avioane, sau o aplicaţie conexă.

Scris de **Abel Cavaşi** Sam 03 Mai 2014, 16:53

Orice mare descoperire are un început mai puţin profund. Există descoperiri matematice care au influenţat profund Fizica. Eu, de la descoperirea teoremei n-am stat cu mâinile în sân şi i-am căutat consecinţele. Iar dacă i-am dat şi o interpretare fizică, nu cred că am făcut o crimă. Poate dacă ai vedea la alţii şi această interpretare, m-ai crede şi pe mine.

Scris de **Razvan** Sam 03 Mai 2014, 17:26

Abel, nu neg inerpretarea ei fizică, ci doar modul de interpretare al ei pe care doreşti tu să ne convingi. Cu siguranţă o interpretare fizică se poate găsi pentru teoria ta, dar nu prea văd cum să fie aceea pe care tinzi tu să ne convingi.

Scris de **Abel Cavaşi** Sam 03 Mai 2014, 17:28

Asta ziceam şi eu că nu crezi în interpretarea pe care o dau eu şi că vei crede doar atunci când o vei vedea scrisă de alţii.

Scris de **Razvan** Sam 03 Mai 2014, 17:35

De unde ai tras concluzia asta?

Scris de **Razvan** Sam 03 Mai 2014, 17:42

Măi omule, eu sunt mai mult fizician, nu mă pune pe mine să-ţi interpretez relaţiile tale matematice!
Cu toate că la un moment dat lucrez cu anumite relaţiii, astea reprezintă domeniul meu de aplicabilitate în fizică, deci nu-mi cere să le evaluez ca şi un matematician.

Scris de **Abel Cavaşi** Sam 03 Mai 2014, 18:20

Şi eu sunt mai mult fizician. Gândindu-mă la Fizică am ajuns la teorema asta.

Scris de **Razvan** Sam 03 Mai 2014, 18:26

Scris de **Abel Cavaşi** Mar 06 Ian 2015, 21:17

Am bucuria să vă anunț apariția articolului meu privind teorema de recurență a formulelor lui Frenet într-o revistă peer review.

http://creative-mathematics.ubm.ro/?m=past_issues

Scris de **omuldinluna** Mar 06 Ian 2015, 21:44

OOOOOoooooo!!!

Felicitari! Very Happy

Scris de **Abel Cavaşi** Mar 06 Ian 2015, 21:51

Mulțumesc! Și sper să vă pună puțin la treabă. Smile

Scris de **Pacalici** Mar 06 Ian 2015, 22:47

Felicitari Abel, acum esti "botezat", mai ai putin si poti sa apari si in lista aia cu "disidenti" Very Happy

Link-ul catre abstract: http://creative-mathematics.ubm.ro/issues/down.php?f=abs_cmi_23_2014_2_175-182.pdf

Scris de **Abel Cavaşi** Mier 07 Ian 2015, 06:44

Dorința mea cea mare este ca voi SĂ FOLOSIȚI acest rezultat, indiferent de „evoluția” mea ulterioară printre disidenți. Gândiți-vă ce putem face cu această teoremă, ce ne aduce ea nou și benefic pentru teoriile noastre.

Scris de **curiosul** Mier 07 Ian 2015, 07:45

După cum ai observat Abel, am lipsit o perioadă și țin minte că omuldinlună îți propunea să faci o sinteză, un rezumat asupra teoriei elicoidale, din care să rezulte cel puțin sumar, importanța în fizică a teoriei și teoremei de recurență pe care o consideri tu.
Și eu consider util un asemenea rezumat, pentru că ar descrie sumar cititorului despre ce este vorba mai întâi, fără să fie nevoie să parcurgă toată teoria pentru a înțelege despre ce este vorba.

Ai făcut cumva vreun asemenea rezumat ?
Ai vreun link unde pot să-l citesc ?

Scris de **Abel Cavaşi** Mier 07 Ian 2015, 08:11

Mulțumesc pentru interes, curiosule! Da, am observat că (îmi) lipsești, așa cum (îmi) lipsesc și alții, doar că am simțit că este peste puterile mele să mă împotrivesc unor asemenea absențe.

Rezumatul? Păi, acceptă pentru început un lucru mai simplu: că Fizica elicoidală este Fizică newtoniană, doar că principiul inerției în Fizica elicoidală spune că un corp liber se deplasează pe o elice circulară, nu pe o dreaptă. Aceasta este singura modificare (principală) a Fizicii actuale pe care o propune (deocamdată) Fizica elicoidală. Să vedem atunci care ar fi consecințele acceptării acestui fapt.

Desigur, propunerea mea privind principiul elicoidal al inerției vine ca o consecință a studiilor mele prin care am ajuns la teorema de recurență. Când voi avea timp, voi mai scrie un articol cu elemente despre Fizica elicoidală, pe care intenționez să-l public tot așa. Până atunci, aș fi foarte fericit dacă voi ați putea anticipa mai mult (decât ați făcut cu teorema).

Scris de **Pacalici** Mier 07 Ian 2015, 08:32

Abel a scris:Dorința mea cea mare este ca voi SĂ FOLOSIȚI acest rezultat, indiferent de „evoluția” mea ulterioară printre disidenți. Gândiți-vă ce putem face cu această teoremă, ce ne aduce ea nou și benefic pentru teoriile noastre.

Multumesc ca te-ai gandit.Din pacate mie personal, nu imi va folosi.Domeniul meu de activitate este electronica...
Succes!

P.S.

Abel a scris:Păi, acceptă pentru început un lucru mai simplu: că Fizica elicoidală este Fizică newtoniană, doar că principiul inerției în Fizica elicoidală spune că un corp liber se deplasează pe o elice circulară, nu pe o dreaptă.

Ei, si, ca fizician la baza, nu pot fi de acord cu , complicarea Fizicii Newtoniene.....Newton a facut-o bine !

Scris de Continut sponsorizat

Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Genial raspunsul-sper sa va dea de gandit

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet