Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Scris de **Abel Cavaşi** Lun 03 Mai 2010, 22:17

Rezumarea primului mesaj :

Studiind formulele lui Frenet am ajuns la concluzia că acestea sunt recursive. Mai precis, folosind forma trigonometrică a formulelor lui Frenet (formă despre care puteţi găsi amănunte plictisitoare pe blogul meu), am demonstrat următoarea

Teoremă. Dacă există un triedru drept de ordinul n $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex$ care satisface formulele lui Frenet de ordinul n scrise sub forma trigonometrică

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex.cgi?{\large{\left\{\dot{{\vec{T}}}_{n}=\omega_{n}\sin\theta_{n}\vec{N}_{n}\\\dot{{\vec{N}}}_{n}=\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\\\dot{{\vec{B}}}_{n}=-\omega_{n}\cos\theta_{n}\vec{N}_{n}\right$ ,
atunci există încă un triedru drept de ordinul n+1

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\vec{T}}_{n+1}=\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{N}}_{n+1}=-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right$

care satisface, la rândul său, formulele lui Frenet de ordinul n+1 scrise sub forma trigonometrică

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}\sin\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}(-\sin\theta_{n+1}{\vec{T}}_{n+1}+\cos\theta_{n+1}{\vec{B}}_{n+1})\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\right$ ,
,
unde $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex$ si $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex$ .

Demonstratie: Din relaţiile
$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex$ si $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex$
avem că

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex$ ,
deci $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex$ .
Mai avem $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex$ ,
de unde $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex$ .
Derivăm acum versorii triedrului drept de ordinul n+1

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 >\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right$

şi obţinem

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta\dot{\vec{T}}_{n}+\dot{\theta}_{n}\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}+\sin\theta_{n}\dot{\vec{B}}_{n}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}-\sin\theta_{n}\dot{\vec{T}}_{n}-\dot{\theta}_{n}\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}+\cos\theta_{n}\dot{\vec{B}}_{n}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\right$ .
Înlocuind $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex$ si $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex$ , obţinem

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=\dot{\theta}_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}(\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n})-\omega_{n}\vec{N}_{n}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\right$ .
Dar ştim că, din definiţia versorilor de ordin superior, avem

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\vec{T}}_{n+1}=\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{N}}_{n+1}=-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right$ ,
deci

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=\dot{\theta}_{n}\vec{N}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\vec{T}_{n+1}+\omega_{n}\vec{B}_{n+1}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}\vec{N}_{n+1}\right$ .
Cum $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex$ si $frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex$ , rezultă în final

$frenet - Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet - Pagina 4 Mimetex.cgi?{\large{\left\{\\{\dot{\vec{T}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}\sin\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}(-\sin\theta_{n+1}{\vec{T}}_{n+1}+\cos\theta_{n+1}{\vec{B}}_{n+1})\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\right$ ,

ceea ce trebuia demonstrat.

Descoperirea "live" a acestei teoreme de recurenţă, precum şi o mulţime de consecinţe ale teoremei pot fi găsite pe forumul de astronomie în topicul "Formulele lui Frenet generale".

Cum vi se pare această teoremă? Nu întrevedeţi şi voi aici (ca şi mine) o eventuală conexiune profundă între mecanica clasica şi cea cuantică?

Scris de **Abel Cavaşi** Sam 02 Apr 2022, 20:21

Studiul geometriei este intrinsec legat de mișcare. Există chiar posibilitatea definirii unei curbe ca fiind „urma” lăsată de un punct în mișcare.

Nu înțeleg din ce adâncimi provine această întrebare. Mai bine ți-ai pune întrebări mai relevante.

Scris de **virgil_48** Joi 07 Apr 2022, 09:01

Abel Cavaşi a scris:Studiul geometriei este intrinsec legat de mișcare. Există chiar posibilitatea definirii unei curbe ca fiind „urma” lăsată de un punct în mișcare.
Nu înțeleg din ce adâncimi provine această întrebare. Mai bine ți-ai pune întrebări mai relevante.

Ce scriu mai jos consideri ca este relevant ?
Dupa atatea discutii cu privire la acest subiect, ar trebui sa
mentionezi intotdeauna daca este vorba despre o miscare
libera sau condusa. Adica dirijata sau influentata de factori
exteriori, de mediu sau de propulsie.
Ca sa stim despre ce discutam.
Fiindca o miscare condusa, poate lua intr-adevar orice
traiectorie, inclusiv cea elicoidala.
Dar geometria nu specifica aceasta diferenta.

Scris de **Abel Cavaşi** Joi 07 Apr 2022, 11:58

În ultimă instanță, toate mișcările din Univers sunt libere, căci sunt naturale (neartificiale). Impresia că noi putem împinge un corp este subiectivă (noi ne folosim de elemente existente deja în natură pentru a împinge corpul, noi doar dirijăm după dorință DIRECȚIA forțelor).

Așadar, ca să-ți răspund direct, întotdeauna mă voi referi la mișcările libere: tote mișcările libere (și nu există altfel de mișcări, în ultimă instanță) sunt elicoidale.

Scris de Continut sponsorizat

Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet