Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Scris de **Abel Cavaşi** Lun 03 Mai 2010, 22:17

Studiind formulele lui Frenet am ajuns la concluzia că acestea sunt recursive. Mai precis, folosind forma trigonometrică a formulelor lui Frenet (formă despre care puteţi găsi amănunte plictisitoare pe blogul meu), am demonstrat următoarea

Teoremă. Dacă există un triedru drept de ordinul n $Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ care satisface formulele lui Frenet de ordinul n scrise sub forma trigonometrică

$Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex.cgi?{\large{\left\{\dot{{\vec{T}}}_{n}=\omega_{n}\sin\theta_{n}\vec{N}_{n}\\\dot{{\vec{N}}}_{n}=\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\\\dot{{\vec{B}}}_{n}=-\omega_{n}\cos\theta_{n}\vec{N}_{n}\right$ ,
atunci există încă un triedru drept de ordinul n+1

$Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\vec{T}}_{n+1}=\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{N}}_{n+1}=-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right$

care satisface, la rândul său, formulele lui Frenet de ordinul n+1 scrise sub forma trigonometrică

$Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}\sin\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}(-\sin\theta_{n+1}{\vec{T}}_{n+1}+\cos\theta_{n+1}{\vec{B}}_{n+1})\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\right$ ,
,
unde $Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ si $Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ .

Demonstratie: Din relaţiile
$Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ si $Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$
avem că

$Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ ,
deci $Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ .
Mai avem $Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ ,
de unde $Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ .
Derivăm acum versorii triedrului drept de ordinul n+1

$Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet >\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right$

şi obţinem

$Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta\dot{\vec{T}}_{n}+\dot{\theta}_{n}\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}+\sin\theta_{n}\dot{\vec{B}}_{n}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}-\sin\theta_{n}\dot{\vec{T}}_{n}-\dot{\theta}_{n}\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}+\cos\theta_{n}\dot{\vec{B}}_{n}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\right$ .
Înlocuind $Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ si $Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ , obţinem

$Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=\dot{\theta}_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}(\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n})-\omega_{n}\vec{N}_{n}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}(-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n})\right$ .
Dar ştim că, din definiţia versorilor de ordin superior, avem

$Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\vec{T}}_{n+1}=\cos\theta_{n}\vec{T}_{n}+\sin\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{N}}_{n+1}=-\sin\theta_{n}\vec{T}_{n}+\cos\theta_{n}\vec{B}_{n}\\{\vec{B}}_{n+1}=-\vec{N}_{n}\right$ ,
deci

$Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex.cgi?{\large{\left\{{\dot{\vec{T}}}_{n+1}=\dot{\theta}_{n}\vec{N}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}=-\dot{\theta}_{n}\vec{T}_{n+1}+\omega_{n}\vec{B}_{n+1}\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\dot{\vec{N}}_{n}=-\omega_{n}\vec{N}_{n+1}\right$ .
Cum $Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ si $Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ , rezultă în final

$Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex.cgi?{\large{\left\{\\{\dot{\vec{T}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}\sin\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\\{\dot{\vec{N}}}_{n+1}={\omega}_{n+1}(-\sin\theta_{n+1}{\vec{T}}_{n+1}+\cos\theta_{n+1}{\vec{B}}_{n+1})\\{\dot{\vec{B}}}_{n+1}=-\omega_{n+1}\cos\theta_{n+1}{\vec{N}}_{n+1}\right$ ,

ceea ce trebuia demonstrat.

Descoperirea "live" a acestei teoreme de recurenţă, precum şi o mulţime de consecinţe ale teoremei pot fi găsite pe forumul de astronomie în topicul "Formulele lui Frenet generale".

Cum vi se pare această teoremă? Nu întrevedeţi şi voi aici (ca şi mine) o eventuală conexiune profundă între mecanica clasica şi cea cuantică?

Scris de mm Mar 04 Mai 2010, 11:58

Nu întrevedeţi şi voi aici (ca şi mine) o eventuală conexiune profundă între mecanica clasica şi cea cuantică?, zici tu.
Abel, dupa cum am mai spus, la inceput eu chiar am crezut ca te-ai inspirat din miscarile elicoidale multiple ale "atomului" de eter, numitul ANU. Evident ca exista o legatura, as numi-o organica, cu structura "materiei". Intelegand prin materie, eter. Suna paradoxal, scuze. In ce priveste legatura dintre mecanicile, clasica si cuantica, nu inteleg -la nivelul meu de pregatire- de ce sunt doua cand ar trebui sa fie una singura. In paginile acestui forum am prezentat suficient de multe linkuri, carti, articole ce arata ca cuantica este o mirimistroceala ce incearca sa se tina dupa descoperirile facute de teozofii de-acu 100 ani, si nu reuseste. Chiar ieri am citit ca unul din fondatorii acestei "mecanici cuantice" s-a sinucis cand a constatat ca n-a avut dreptate.
Ca sa-ti raspund la intrebarea din capul postarii, eu "intrevad o conexiune profunda" intre lucrarile tale (cu Tr. Frenet) si eterul pe care il studiem aici, observatia ta ca nu exista alte traiectorii decat cele elicoidale chiar "m-a lasat cu gura cascata" deoarece am intrevazut o asemenea legatura. Daca iti mai aduci aminte, chiar ti-am propus o colaborare intr-o aplicatie pe elicele de ordin "n" din ANU. Pe care, insa, ai abandonat-o imediat dupa inceperea ei.
In privinta teoremei de recursivitate, te felicit pentru descoperire, chiar daca eu credeam ca exista dinainte sau ca era subanteleasa (trebuie sa-mi cer scuze din nou, dar la cunostintele mele de matematica...). Totusi, trebuie sa spun ca stiam inca din liceu ca cea mai generala forma de traiectorie este elicea si de aceea nu inteleg de ce spui ca "teorema de recurenta..." spune acest lucru? Adica vreau sa spun ca era spus dinainte. Mai am si alte semne de intrebare privitor la afirmatia ta: a obligativitatii traiectoriei elicoidale, si anume ca mai sunt conicele, strofoidele, cicloidele, lemniscatele, logaritmicele, si alte curbe, nereductibile -unele- la forme elicoidale. Daca vrei sa spui ca dreapta e o forma (degenerata) de elice, ai putea avea dreptate intrucat, din cate stiu, si conicele degenereaza in drepte, dar nu pune baza pe spusele mele; asta e o idee banala similara alteia, enuntata de altii, precum ca nu exista decat cercuri iar dreapta e un cerc de raza infinita. (E mai greu, dupa aia, sa explici ce-i ala infinit.)

Scris de **Abel Cavaşi** Mier 05 Mai 2010, 14:43

mm a scris:Abel, dupa cum am mai spus, la inceput eu chiar am crezut ca te-ai inspirat din miscarile elicoidale multiple ale "atomului" de eter, numitul ANU.

Ok, atunci o iau ca pe un compliment.

Evident ca exista o legatura, as numi-o organica, cu structura "materiei". Intelegand prin materie, eter.

Da, Fizica elicoidală porneşte de la spaţiul gol, de la aşa numitele „puncte fizice”, adică nişte puncte geometrice văzute în mişcare cu viteza luminii. Pentru Fizica elicoidală tot Universul nu este altceva decât o mulţime de nimicuri care se mişcă cu viteza luminii.

In ce priveste legatura dintre mecanicile, clasica si cuantica, nu inteleg -la nivelul meu de pregatire- de ce sunt doua cand ar trebui sa fie una singura. In paginile acestui forum am prezentat suficient de multe linkuri, carti, articole ce arata ca cuantica este o mirimistroceala ce incearca sa se tina dupa descoperirile facute de teozofii de-acu 100 ani, si nu reuseste. Chiar ieri am citit ca unul din fondatorii acestei "mecanici cuantice" s-a sinucis cand a constatat ca n-a avut dreptate.

Sunt în asentimentul tău şi regret că există oameni atât de proşti încât să se sinucidă.

Ca sa-ti raspund la intrebarea din capul postarii, eu "intrevad o conexiune profunda" intre lucrarile tale (cu Tr. Frenet) si eterul pe care il studiem aici

Asta e bine, pentru că aşa pot avea speranţa că mă vei ajuta să duc mai departe asemenea cercetări. Mai trebuie doar să te conving că eterul nu este o substanţă, ci este tocmai spaţiul format din puncte fizice Smile

.

observatia ta ca nu exista alte traiectorii decat cele elicoidale chiar "m-a lasat cu gura cascata" deoarece am intrevazut o asemenea legatura.

Corpurile reale nu pot avea acceleraţii infinite, deci derivatele traiectoriilor lor (exprimat neriguros, doar plastic) nu pot fi infinite şi trebuie să se anuleze odată şi odată la un ordin oarecare (numit „ordin caracteristic al mişcării”).

Daca iti mai aduci aminte, chiar ti-am propus o colaborare intr-o aplicatie pe elicele de ordin "n" din ANU. Pe care, insa, ai abandonat-o imediat dupa inceperea ei.

Da, îmi amintesc că am discutat aşa ceva. E posibil să fi abandonat din cauză că mi s-a părut că subiectul nu se încadrează bine în topicul respectiv sau că nu aveam cunoştinţele necesare, etc.

In privinta teoremei de recursivitate, te felicit pentru descoperire, chiar daca eu credeam ca exista dinainte sau ca era subanteleasa (trebuie sa-mi cer scuze din nou, dar la cunostintele mele de matematica...).

Mersi şi sper să o folosim cum se cuvine pentru a aprofunda pe mai departe Fizica.

Totusi, trebuie sa spun ca stiam inca din liceu ca cea mai generala forma de traiectorie este elicea si de aceea nu inteleg de ce spui ca "teorema de recurenta..." spune acest lucru? Adica vreau sa spun ca era spus dinainte.

Elicea (de ordinul întâi) nu este cea mai generală, ci este cea mai simplă curbă din spaţiu. Şi nu ştiu cum ai aflat tu în liceu despre elice. Sunt curios să ne spui amănunte, cu siguranţă vor fi interesante. Fă un efort şi aminteşte-ţi în ce lucrare ai găsit ceva legat de elice. Eu aşa ştiu că ea se studiază doar la geometria diferenţială a curbelor, materie care se face doar în facultate.

În plus, teorema de recurenţă ne spune că orice curbă, oricât de complicată ar fi ea, dacă este o curbă normală (cu derivate finite), aşa cum sunt traiectoriile corpurilor, atunci curba respectivă este o elice de ordinul n cu n natural. Faptul că orice corp merge pe o traiectorie normală nu rezultă din teorema de recurenţă, ci este considerat a fi evident, adică se poate postula printr-o afirmaţie pe care eu am numit-o „axioma traiectoriei”.

Mai am si alte semne de intrebare privitor la afirmatia ta: a obligativitatii traiectoriei elicoidale, si anume ca mai sunt conicele, strofoidele, cicloidele, lemniscatele, logaritmicele, si alte curbe, nereductibile -unele- la forme elicoidale.

Tocmai acest semn de întrebare te poate ajuta să înţelegi mai bine ce este o traiectorie. Axioma traiectoriei postulează că o curbă plană, precum sunt cele din exemplele tale, nu poate fi o traiectorie (deci o curbă normală, adică o curbă pe care se poate deplasa un corp) pentru că raportul dintre curbura şi torsiunea unei curbe plane este infinit.

Daca vrei sa spui ca dreapta e o forma (degenerata) de elice, ai putea avea dreptate intrucat, din cate stiu, si conicele degenereaza in drepte

Dreapta este o curbă mai specială, pentru că torsiunea ei nu poate fi determinată prin metode geometrice. Cum torsiunea dreptei nu poate fi determinată prin metode geometrice, avem dreptul să admitem că ea nu este nulă, iar prin aceasta admitem că raportul dintre curbura şi torsiunea dreptei poate fi nul (şi, deci, determinat). Existenţa unei torsiuni nenule asociată unei drepte ar echivala din punct de vedere fizic cu rotaţia triedrului său Frenet.

Scris de mm Joi 06 Mai 2010, 20:08

Dreapta este o curbă mai specială, pentru că torsiunea ei nu poate fi determinată prin metode geometrice. Cum torsiunea dreptei nu poate fi determinată prin metode geometrice, avem dreptul să admitem că ea nu este nulă,

Sincer sa fiu, nu prea sunt de acord cu nici una din afirmatiile tale din acest citat. Astfel, ce intelegi prin metode geometrice? Pai orice masurare dimensionala este, de regula, una geometrica. Mai sunt si altele de ex., interferometria.

Nu numai torsiunea dreptei da rezultatul zero prin orice metoda de masurare ci si curbura dreptei. Sigur ca, ne putem imagina ca nu e curba dar si un copil daca se uita de-a lungul unei muchii (un lat iesit de la abricht, de ex.) vede toate punctele muchiei confundate intr-un singur punct! Ca sa afirmi ca dreapta e curba, trebuie s-o dovedesti cumva si nu teoretic.

Mai pot aparea si tot felul de aberatii, de ex. cum deosebesti o tangenta (despre care spui ca e curba si torsionata) de curba la care-i tangenta?
Nu, nu ai dreptul sa spui despre ceva masurat ca nu este conform masuratorii, pe motiv ca -pasa-mi-te- nu a putut fi "determinat" si sa folosesti acest subtefugiu imagistic pentru a contesta masuratoarea sau rezultatul ei cinstit! Sau de a presupune, cu convingere, ca si daca nu a iesit la masuratoare curbura sau torsiune asta inseamna ca ele exista totusi. (Desi nu se vad, vrei sa zici?).

Desigur ca nu-ti contest libertatea de gandire sau de a crede in ceva, doresc numai sa subliniez ca una e realitatea -care ne impune recunoasterea ei in amanunt- si alta e spatiul matematic abstract. Banuiesc ca la acesta te referi, desi traiectoriile sunt proprii corpurilor in miscare.

Am ajuns la "traiectorie", despre care spui ca nu poate fi plana, insa stie toata lumea -pe masurate- ca proiectilele au traiectorie parabolica. Sa inteleg de aici ca negi existenta parabolei ca realitate fizica, ori, pur si simplu, si aici te afli in spatiul matematic (in care iti construiesti teoria)?

Mai trebuie doar să te conving că eterul nu este o substanţă, ci este tocmai spaţiul format din puncte fizice Smile

Deja m-ai convins deoarece, in acceptiunea mea, aceasta matrita-model abstracta a ta "bate" foarte bine cu Koilonul, care exact asta si este. Atata doar ca nu se stie cu ce viteza se deplaseaza acele puncte, pe cand tu presupui ca e "c".

Despre elice am aflat in liceu de la profa de mate, care a fost f. buna. Cred ca bautura a afectat-o la un moment dat. In plus, beneficiam si atunci, ca si-acuma, de o imaginatie f. buna, vedere in spatiu ii spun unii.

Pe scurt, punctele in care tepria ta se suprapune cu realitatea (teozofica) sunt:
- Koilonul este eterul cel mai fin, format din niste balonase de aceeasi dimensiune, inghesuite unele in altele -sau pe-aproape- [aici inca nu stiu] si prin urmare, neglijand diametrul lor, se obtine exact modelul tau;
- In "constructia" unui "punct material"=balonasul, Divinul a folosit in exclusivitate doar elicii -de diverse grade, cum am vorbit odata- care alcatuiesc balonasul de o anumita forma (toroid si aranjament in banda moe). Asta coincide -practic- cu "exclusivitatea" luarii in considerare (intr-un spatiu model matematic) numai a traiectoriilor elicoidale, asa cum faci tu.
Nepotriviri intre modelul eterului si teoria ta:
- Mai este un "fluid" fara dimensiuni printre balonase. Cred ca l-ai putea neglija folosind altele, precum volumul compresibil-extensibil, distante intre balonase=punctele tale, etc.
- Nu cred ca balonasele au viteza luminii, cel putin nu am ajuns inca la aceasta concluzie.

Observatie: am spus deja ca spatiului abstract matematic i se poate "atasa" semnificatia fizica de eter, referindu-ma la articolul lui Gaponov.

Scris de **Abel Cavaşi** Joi 06 Mai 2010, 21:05

Mă bucur că vrei să aprofundezi strania noţiune numită „torsiune”, mm. Şi eşti pe drumul bun. Trebuie să treci prin asemenea întrebări ca să ajungi mai departe. Ele sunt intersecţiile din drumul tău.

mm a scris:ce intelegi prin metode geometrice?

Metodele geometrice sunt cele care implică instrumente geometrice, instrumente care măsoară dimensiuni spaţiale, precum lungimea sau unghiul. Alte metode ar fi acelea care implică şi timpul. De exemplu, prin metode geometrice poţi măsura curbura unui cerc (măsori raza lui şi calculezi inversa ei) sau înălţimea unui munte, dar numai prin metode geometrice nu poţi măsura viteza cu care se deplasează un tren sau temperatura cafelei din ceaşca mea.

Pai orice masurare dimensionala este, de regula, una geometrica. Mai sunt si altele de ex., interferometria.

Ok, deci nu orice măsurare este una geometrică, ci doar acelea care implică noţiuni geometrice. Ne-am înţeles aici?

Nu numai torsiunea dreptei da rezultatul zero prin orice metoda de masurare ci si curbura dreptei. Sigur ca, ne putem imagina ca nu e curba dar si un copil daca se uita de-a lungul unei muchii (un lat iesit de la abricht, de ex.) vede toate punctele muchiei confundate intr-un singur punct! Ca sa afirmi ca dreapta e curba, trebuie s-o dovedesti cumva si nu teoretic.

Cred că faci confuzie între curbură şi torsiune. Da, curbura dreptei este nulă, dar cum ai tras tu concluzia că şi torsiunea dreptei este nulă? Torsiunea exprimă răsucirea (dreptei), nu curbarea (ei).

Mai pot aparea si tot felul de aberatii, de ex. cum deosebesti o tangenta (despre care spui ca e curba si torsionata) de curba la care-i tangenta?

Tangenta este dată simplu de parametrii directori ai dreptei. Mai greu este cu normala şi binormala. Ştim că aceşti doi versori din urmă se află într-un plan perpendicular pe dreaptă, dar nu putem determina poziţia lor în acest plan, nu putem determina dacă sunt în repaus sau se rotesc.

Am ajuns la "traiectorie", despre care spui ca nu poate fi plana, insa stie toata lumea -pe masurate- ca proiectilele au traiectorie parabolica. Sa inteleg de aici ca negi existenta parabolei ca realitate fizica, ori, pur si simplu, si aici te afli in spatiul matematic (in care iti construiesti teoria)?

Proiectilele nu au traiectorie parabolică, ci doar aproximativ parabolică (ar avea-o parabolică doar în câmp gravitaţional uniform şi constant, ceea ce nu există). Dar acea aproximaţie este hotărâtoare pentru a scoate traiectoria din plan. Nu uita de forţa Coriolis, nu uita că Pământul, Soarele, Galaxia se mişcă. De altfel, eu am tras concluzia că nu există traiectorii plane nu din asemenea consideraţii legate de forţe Coriolis, ci din ceea ce ne spune despre curbe teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet.

Mai trebuie doar să te conving că eterul nu este o substanţă, ci este tocmai spaţiul format din puncte fizice Smile
Deja m-ai convins deoarece, in acceptiunea mea, aceasta matrita-model abstracta a ta "bate" foarte bine cu Koilonul, care exact asta si este. Atata doar ca nu se stie cu ce viteza se deplaseaza acele puncte, pe cand tu presupui ca e "c".

Faină şi utilă remarcă. Mă bucur că începem să găsim din ce în ce mai multe puncte comune prin minţile noastre Smile

.

Pe scurt, punctele in care tepria ta se suprapune cu realitatea (teozofica) sunt:
- Koilonul este eterul cel mai fin, format din niste balonase de aceeasi dimensiune, inghesuite unele in altele -sau pe-aproape- [aici inca nu stiu] si prin urmare, neglijand diametrul lor, se obtine exact modelul tau;
- In "constructia" unui "punct material"=balonasul, Divinul a folosit in exclusivitate doar elicii -de diverse grade, cum am vorbit odata- care alcatuiesc balonasul de o anumita forma (toroid si aranjament in banda moe). Asta coincide -practic- cu "exclusivitatea" luarii in considerare (intr-un spatiu model matematic) numai a traiectoriilor elicoidale, asa cum faci tu.

Sună bine, rămâne să aprofundăm/clarificăm.

Nepotriviri intre modelul eterului si teoria ta:
- Mai este un "fluid" fara dimensiuni printre balonase. Cred ca l-ai putea neglija folosind altele, precum volumul compresibil-extensibil, distante intre balonase=punctele tale, etc.
- Nu cred ca balonasele au viteza luminii, cel putin nu am ajuns inca la aceasta concluzie.

Ok, ţinem seama...

Observatie: am spus deja ca spatiului abstract matematic i se poate "atasa" semnificatia fizica de eter, referindu-ma la articolul lui Gaponov.

Atunci de ce îi mai spuneţi „eter” şi nu, mai simplu, „spaţiu”? Dar asta e o altă chestiune, pe care ar trebui s-o discutăm în altă parte.

Scris de mm Mier 12 Mai 2010, 09:24

Ai fost foarte clar cand ai explicat ce sunt masuratorile geometrice. Din pacate nu ai mai fost la fel de clar si in alte probleme. Astfel:
Da, curbura dreptei este nulă, dar cum ai tras tu concluzia că şi torsiunea dreptei este nulă? Torsiunea exprimă răsucirea (dreptei), nu curbarea (ei).
Spui tu. Insa daca ceva este zero matematic, in realitate nu exista, respectiv nu poate fi pus in evidenta. Iar daca curbura dreptei -recunosti si tu- este zero, inseamna ca avem , in realitatea fizica, ... o dreapta.
Lucrurile difera un pic in privinta torsiunii care nu poate fi definita in absenta razei elicei. Si ea este zero la o dreapta. Prin urmare, in acest caz -al dreptei- nu este permisa definirea torsiunii.

Spatiu si eter, am mai raspuns intr-o postare, pot sa se suprapuna pe un "domeniu" dar nu se pot confunda. Eterul este o realitate complexa, "eterul"-conceptia teoretica- este o matematizare aproximativa si partiala a acestei realitati, iar spatiul este o abstractie matematica -prin excelenta- care, se poate de asemenea suprapune partial (dar altul) cu realitatea-eter. Bineinteles ca nu-i suficienta aceasta complicatie si, in plus, eterul-realitate este multiplu si avand o serie de proprietati fizice (dintre care, pe unele le-am copiat de la Mishin si redat aici).

Spui ca dreapta e data de parametrii directori (un sinus si un cosinus, probabil la asta te referi), adica nu mai e o curba. Dar asta e un artificiu ieftin de a ocoli intrebarea mea: cum deosebesti tangenta de curba pe care sta. Pentru ca, mergand mai departe, daca tangenta e totusi o curba (cum sustii tu), atunci si parametrii ei vor fi variabili si nu constanti.

Proiectilele nu au traiectorie parabolică, ci doar aproximativ parabolică (ar avea-o parabolică doar în câmp gravitaţional uniform şi constant, ceea ce nu există)
Asta-i o presupunere. In realitatea fizica, in permanenta exista abateri de la traiectorie, ele sunt tolerate de catre ingineri intre anumite limite (perfect acceptabile) iar traiectoria ramane asa cum a fost definita, masurata, (ras)verificata, etc. Traiectoria parabolica este o realitate fizica, caci daca n-ar fi, americanii nu ar reusi sa-si atinga tintele cu precizia de care dau dovada.

Scris de **Abel Cavaşi** Mier 28 Sept 2011, 19:45

Ştiu că fiecare dintre voi sunteţi ocupaţi cu o mulţime de probleme interesante, dar aş dori totuşi să-mi răspundeţi, dacă puteţi, la două întrebări importante legate de această teoremă care mi se pare cam nebăgată în seamă:

-1). Este ea corectă? Este, deci, bine formulată şi bine demonstrată?
-2). Ce fel de consecinţe credeţi că are ea pentru Fizică? Are ea vreo consecinţă valoroasă, revoluţionară?

Vă mulţumesc mult pentru efortul de a-mi răspunde!

Scris de **WoodyCAD** Mier 28 Sept 2011, 21:37

Construieste .....FRACTALI....si aplica consecinta recursivitatii...dezvoltarii acestora!
....o distinsa profesoara de romana...a inteles cum se construiesc FRACTALII ....in Geometrodinamica Elicoidala...
...
Esti pe o directie ....FUNDAMENTALA....insa cu ochelarii pe nas....intrebi de ....OCHELARI!
....
Esti publicat, cu drept de auror,....la ORDA. Crezi ca a fost ...UN MOFT....de....BON TON...sa-ti protejez paternitatea......pe banii mei?....NU
....TU HABAR NU AI .....CE AI DESCOPERIT!
...
...esti UN SARAC LIPIT....CE DOARME PE UN SAC DE BANI...URIAS!..ATUNCI CAND TE VEI TREZI.....NUMAI ATUNCI VEI INTELEGE....VEI VEDEA!

Scris de **Abel Cavaşi** Mier 28 Sept 2011, 21:44

Mulţumesc pentru răspunsul tău prompt şi interesant, Dane! Dar ce te face să crezi că nu cunosc valoarea acestei descoperiri?

Scris de **WoodyCAD** Joi 29 Sept 2011, 08:34

....asa .....PARI....cand ne intrebi de diamantul neslefuit...din mainile tale!
TU NU ESTI SIGUR...... NU AI CURAJUL SA LUPTI PENTRU IDEILE TALE....SLEFUIESTE DIAMANTUL....s
...
NESIGURANTA VINE DIN ASPECTUL ....APARENT SOLITAR...!
....
DACA AI FI STUDIAT CAP-COADA TEORIA/PRACTICA pusa on line......a Fundamentului Universului.....NU MAI ERA CAZUL SA NE INTREBI....!
....
NE-AI FI SPUS DIRECT.....IATA CUM FOLOSIM RECURSIVITATEA....IN FUNDAMENTUL UNIVERSULUI!
....Ne-ai fi aratat elicoida ne nivel N, construita din subelicoide ne nivel N-1.....si mai multe... construind macroelicoida de nivel N+1.
....
EU SPUN CE TREBUIE SA FACI...PENTRU CA EU AM INTELES...ROLUL RECURSIVITATII IN FUNDAMENTUL UNIVERSULUI...
....
ATENTIE...EU NU PRESUPUN....EU VAD!

Scris de **WoodyCAD** Joi 29 Sept 2011, 23:48

...esti la inceput de drumuri....inca la RASCRUCE!
UNUL, cel fara de DIVINITATE, iti asigura...CUNOASTEREA!

https://www.dailymotion.com/video/xldka8_power-of-spin-everything-in-nature-spins_tech

Daca intelegi FUNDAMENTUL UNIVERSULUI.....by Dan Preda.....intelegi TOT!...
....
NU POTI INTELEGE....DECAT CU O NOUA CONSTIINTA....UNA CARE SA POATA SUSTINE O PUTERE NEMARGINITA....! ....EU AM PARCURS ACEST DRUM....SI ESTE IMPOSIBIL SA MA INTORC....SA REDEVIN .....MAIMUTA!

https://www.youtube.com/watch?v=y6-GFQqTkkg&feature=related

Scris de **george** Sam 01 Oct 2011, 21:04

"Universul nu este altceva decât o mulţime de nimicuri care se mişcă cu viteza luminii."
Nimic nu poate atinge viteza luminii...,doar o unda!
Deplasarea nu se face decat din aproape in aproape(vezi pendulul lui Newton).

Scris de **Abel Cavaşi** Vin 21 Oct 2011, 10:49

Alţi membri ai forumului ce părere au?

Scris de **Abel Cavaşi** Dum 29 Iul 2012, 11:07

Pe topicul „Felix Ehrenhaft - Discutii Libere”

CAdi a scris:Totusi ai putea sa ne dai formula lancretianului ?
Depinde de raza ? sau are raza variabila in formula ? sau sunt cumva niste derivate ale unor coordonate ?

Lancretianul este raportul dintre curbură şi torsiune. Curbura unei curbe ne arată cât de repede deviază curba de la o linie dreaptă, iar torsiunea ne arată cât de repede deviază curba de la o curbă plană.

Scris de **CAdi** Dum 29 Iul 2012, 11:21

OK, multumesc ! Am sa studiez mai in detaliu problema

Scris de **omuldinluna** Lun 04 Feb 2013, 18:16

Cum e bine să avem activități cât mai diverse, am început să aloc timp și acestei probleme. Ți-am citit varianta de pe scribd, și am verificat-o atent parțial (încă nu am terminat, sunt la triedrul de ordinul 2). Ai câteva greșeli mici în formule dar e clar că sunt de redactare și nu greșeli de matematică. Îmi erau și mie cunoscute formulele, dar în preocupările mele nu am avut nevoie de ele.

Ideea e că triedrul de ordinul 2 nu pare să spună nimic nou, căci e construit din combinații de vectori ale triedrului de ordinul 1 și atunci e natural să aibă proprietățile acestuia. Fizica e deja inclusă în proprietățile triedrului de ordin 1, iar al doilea e practic obținut printr-o rotație în jurul normalei și o reflexie față de planul comun tangentei și binormalei, iar evoluția sa este determinată cauzal de evoluția triedrului de ordinul 1. Rămâne să mai studiez, dar deocamdată iepurele nu prea are de unde să sară, căci tot ce se petrece cu triedrul de ordin 2 decurge din ce s-a întâmplat cu triedrul de ordinul 1.

Scris de **Abel Cavaşi** Lun 04 Feb 2013, 20:20

Ok, mersi mult că te-ai aplecat şi asupra aceste probleme! În sfârşit!

Dar... Păi, a spune că triedrul de ordinul 2 se obţine din triedrul de ordinul 1 este ca şi cum ai spune că elicea se obţine din dreaptă. Mai aprofundează şi ai să vezi că nu-i chiar aşa.

Scris de **Abel Cavaşi** Mier 03 Apr 2013, 19:35

Ce s-o fi întâmplat cu formulele de pe blogul meu la articolul cu teorema? Aveţi vreo idee?

Scris de **Razvan** Mier 03 Apr 2013, 20:18

Văd că link-urile de la imaginile formulelor trimit către un document de pe G-docs, de exemplu:
http://docs.google.com/File?id=df92vsj3_3742c6r8bgcf
Posibil să fi şters de acolo documentul? Sau să-i fi modificat setările de distribuire?

Scris de **Abel Cavaşi** Joi 04 Apr 2013, 07:12

Chiar nu ştiu ce s-o fi întâmplat. Nu-mi amintesc să fi modificat ceva atât de drastic. Oricum, mi-ai dat ideea să repar problema şi am copiat o parte a conţinutului dintr-un document dedicat care conţinea deja formulele. Aşa că acum parcă s-a reparat. N-am verificat formulele, dar sper că nu sunt greşite.

Scris de **curiosul** Joi 06 Feb 2014, 11:29

La o analiză mai atentă și mai profundă a principiului acestei demonstrații am ajuns la alte concluzii.
Matematic, elicea propriu-zisă trebuie să aibă o axă regulată prin definiție.
Aceasta poate fi o linie, dreaptă, curbă plană, sau curbă în spațiu.
Dacă este o linie dreaptă sau curbă plană, atunci există o linie dreaptă sau curbă plană care poate caracteriza traiectoria unui corp, diferită de o elice.
Prin fizica elicoidală traiectoria unui corp nu poate fi o linie dreaptă sau curbă plană, motiv pentru care, prin această fizică, traiectoria unui corp este elicoidală.
Dar o elice, circulară sau curbă, trebuie să aibă o axă care să o definească, axă care nu poate fi linie dreaptă sau curbă plană.
În această situație, axa elicei trebuie să fie o altă elice, dreaptă sau curbă, sau o curbă în spațiu 3D.
Analogia cu teorema de recurență a formulelor lui Frenet pe care o susține Abel, axa unei elice este o elice, sau generalizat, axa interioară a traiectoriei de mișcare a unui corp are forma traiectoriei propriu-zise.

Deci axa elicei este o elice, dacă fizica elicoidală nu acceptă noțiunea de linie dreaptă sau curbă plană, pentru că axa elicei este o curbă 3D regulată, și nu poate fi alta decât o elice.

Dar elicea care reprezintă axa elicei inițiale, este o elice dacă axa acesteia este tot o elice.
Și așa mai departe.
Teorema de recurență a lui Abel, deși nu este solid fundamentată din punctul meu de vedere, cam asta susține și demonstrează într-un fel sau altul, dar nu se referă strict la elice, ci privește generalizat forma axei interioare a traiectoriei unui corp și demonstrează că axa interioară a traiectoriei are aceeași formă cu traiectoria, dar este insuficientă pentru a demonstra elicoidalitatea traiectoriei.
Caracteristica elicoidală a traiectoriei, este doar o ramură implicată și nu o caracteristică generală.

Demonstrația nu este suficientă, dar nu înlătură, ci dimpotrivă susține, caracterul elicoidal, dar pentru că demonstrația este insuficientă nu poate stabili un caracter fundamental elicoidal.

Însă Abel, mai ai ceva de muncă pentru interpretarea și demonstrarea corectă și completă a caracterului fundamental și absolut elicoidal fizic-matematic, pentru că mai apare și relativitatea traiectoriei elicoidale față de punctul de referință ales.

Pentru asta am să-ți mai fac o animație, sper în cursul zilei de astăzi, din care să înțelegi ce vreau să spun.

Scris de **WoodyCAD** Joi 06 Feb 2014, 13:26

Felicitari ptr logica...curiosu!(ce ai scris este confirmat 90% in teorie unificata)
...mai putin asta, unde ai o problema...!

O PRIMATA LOGICA a scris:mai apare și relativitatea traiectoriei elicoidale față de punctul de referință ales.

...
TRAIECTORIA(GEOMETRIA ELICOIDALA, este UNICA fata de orice referential)....practic TU esti UNIC ptr ca particulele din care esti compul au traiectorii...UNICE!
...REALITATEA GEOMETRICA...nu este relativa, este UNICA, infinitatea umbrelor fiind RELATIVE!
...este vorba despre o modificare a perceptiei, o modificare de concept spatiu-timp odata cu PERCEPTIA UNICA A REALITATII!

UN CUB(o geometrie) ramane cub in orice referential!...insa UMBRELE INFINITE ALE CUBULUI SUNT CONCEPTE DISTORSIONATE...nu realitatea in sine!
...vezi capitolul despre ...PRINCIPIU si REALITATE...in TEORIA UNIFICATA!

Scris de **Abel Cavaşi** Joi 06 Feb 2014, 15:32

@curiosul
Elicea se defineşte recursiv în modul următor:
-Curba de lancretian nul este o elice de ordinul zero. Elicea de ordinul zero este o dreaptă.
-Curba de lancretian constant este o elice de ordinul unu. Elicea de ordinul unu este o elice propriu-zisă, aşa cum este cunoscută astăzi. Axa elicei de ordinul unu este o elice de ordinul zero.
-.......................................
-Elicea de ordinul n are ca axă o elice de ordinul n-1.

Teorema de recurenţă implică următorul fapt: pentru orice curbă care poate fi descrisă de un corp, există un număr natural finit k astfel încât traiectoria parcursă de corp să fie tocmai o elice de ordinul k.

Scris de **WoodyCAD** Joi 06 Feb 2014, 16:23

Curiosule, nu te mai chinui cu simularea...intreaga natura respecta...SI REGULA COMPUNERII AXIALE (Teorie Unificata)!
CHIAR SI PLANETELE!
Ia priveste traiectoria soarelui, implicit restul planetelor!
NU TE GANDI LA CE SPUNE ASTROFIZICA....MAIMUTICA PREA SAVANTA ESTE VARZA, EA GANDESTE PROIECTIV!
TU GANDESTI CORECT!...

In TEORIE UNIFICATA...gasesti recursivitatea FRENET- elicoidala EXACT asa cum ai gandit TU....
DE ACEEA RECURSIVITATEA ACEASTA ESTE PROTEJATA LA ORDA...de mine(pe banii mei), asigurandu-i lui ABEL...PATERNITATEA!

Scris de **Abel Cavaşi** Mar 01 Apr 2014, 15:49

Am impresia că lipsa de interes pentru această teoremă derivă din faptul că nu am scos suficient în evidenţă importanţa ordinului unei traiectorii, noţiune care derivă din recurenţă. Vreau să repar aici acest handicap.

Dată fiind teorema de recurenţă, să presupunem că pentru o curbă oarecare există un număr natural k pentru care avem $Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ . În aceste condiţii, există o dreaptă asociată curbei date! Acesta este cel mai fascinant lucru din teorema asta!

Dreapta respectivă se numeşte dreapta caracteristică a curbei, iar numărul k se numeşte ordinul caracteristic al curbei sau, mai simplu, ordinul curbei. În acest caz, curba dată se numeşte elice generalizată de ordinul k.

Scris de **Abel Cavaşi** Joi 03 Apr 2014, 05:53

Văd că nu prea vă plac asemenea topice „grele”. Le preferaţi pe cele mai uşoare (mă refer, în special, la vizitatori). Oare de ce?

Am scris recent pe blogul meu un articol mai amănunţit cu elicea generalizată. Poate vă dă totuşi nişte soluţii la problemele actuale ale Ştiinţei.

Scris de **Abel Cavaşi** Vin 04 Apr 2014, 22:50

Un corolar al teoremei de recurenţă

Din teorema de recurenţă ştim că

$Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ .

Atunci avem şi

$Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ .

Deci, putem scrie atunci

$Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ .

În final, obţinem

$Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex.cgi?\omega_{k+1}=\sqrt{\dot\theta_k^2+\dot\theta_{k-1}^2+..$ .

Asta ar însemna că, dacă ultimul termen al dezvoltării de sub radical, adică $Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ , ar fi nul, atunci am putea ajunge la concluzia că darbuzianul de orice ordin (reprezentat aici prin $Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet Mimetex$ ) depinde doar de variaţiile lancretienilor de ordin inferior.

Scris de Moise Vin 04 Apr 2014, 23:01

Din orice triedru poti sa generezi cate alte triedre vrei, in orice fel vrei. Metoda prezentata aici nu este unica posibilitate. Aceste triedre nu au nici o semnificatie speciala, si nici nu sunt utile la nimic.

Scris de **Abel Cavaşi** Vin 04 Apr 2014, 23:04

Ai vrea tu. Dar te-ai gândit că triedrele astea satisfac formulele lui Frenet? Asta nu e un fleac.

Scris de Isus Vin 04 Apr 2014, 23:13

"Sper ca cei din categoria Cavasi sau Forever_Man dar si cei ca electron sa inteleaga ce incerc sa spun prin aceasta interventi"

Raspuns:

Ce inteleg eu din interventia ta este ca tu faci niste confuzii grave in ce priveste notiunea de "pseudostiinta". Din ce scrii tu rezulta ca pentru tine "pseudostiinta" este orice idee care pare imposibila, sau contradictorie cu stiinta curenta. De fapt pseudostiinta este orice demers care desi are pretentia sa fie "stiintific" nu respecta rigorile metodei stiintifice. Asta e tot.

Fara idei aparent imposibile si contradictorii cu stiinta curenta, nu se poate avansa. Deci nu asta e problema. Inovatiile si imaginatia sunt cat se poate de laudabile. Dar esential este cum se abordeaza si cum sunt sustinute aceste idei si "teorii alternative". Daca se redefinesc termenii dupa bunul plac fara a explica noile intelesuri prezente doar in capul "revolutionarului", daca se ignora sensurile consacrate si se insista in confuzii intentionate sau neintentionate, daca nu se duc rationamentele pana la capat ci se emit doar ipoteze "geniale si minunate si nemaipomenite" (in general laudate doar de autorii lor), pe care "ceilalti sa faca bine sa le dezvolte", ei bine atunci e cat se poate de clar vorba de pseudostiinta.

Scris de Continut sponsorizat

Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Genial raspunsul-sper sa va dea de gandit

Re: Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet