O problema de geometrie

Se poate o idee la o problemă căreia nu i-am putut demonstraţia?

Fie ABCD paralelogram, în planul P, astfel încât AB paralelă cu DC si AD paralelă cu BC.
Fie un punct E, în planul P, astfel încât dreapta EC este perpendiculară pe BC în punctul C şi EA perpendiculară pe AB în punctul A.
Să se demonstreze că dreapta ED este perpendiculară pe diagonala AC a paralelogramului.

Se poate o indicaţie, ceva?

Punctele E, C si A sunt coliniare, deoarece apartin aceleiasi drepte AE, perpendiculare pe laturile AD si BC, ale paralelogramului, care la randul lor sunt paralele.
Daca EA este perpendiculara pe AD in punctul A, unind E cu D se formeaza triunghiul dreptunghic ADE cu unghiul drept in A, iar dreapta ED nu poate fi perpendiculara pe AC, pentru ca ar insemna ca ED sa fie perpend. pe AE, punctul C fiind coliniar cu A,C,E.
Cred ca daca ai atasa un desen ar fi mai graitor.

Confuzia generată este că punctul E nu aparţine planului P, în care se află paralelogramul. De fapt, el se află în acelaşi plan cu paralelogramul (din ipoteză). Figura nu este în spaţiu.
E o problemă care i s-a dat fiicei mele, pe lângă altele, ca recapitulare pentru o testare la matematică. Ei bine, în testul dat la clasă nu s-a mai dat şi această problemă, astfel încât nici profa lor nu le-a mai arătat rezolvarea. În schimb, pe mine mă obsedează! Am încercat cu calculul unghiurilor, să caut triunghiuri asemenea, dar se complică prea mult şi nu iese nimic.

Iată figura:

https://2img.net/r/ihimizer/i/fig1f.jpg/

Nu este clar de loc textul problemei. daca figura este in planul P, atunci triunghiul EAC este drept in punctul A, iar triung.ECB este drept in pct.C Deci figura formata din cele doua triunghiuri este un patrat EABC, asta inseamna ca punctul E se suprapune cu punctul D, iar paralelogramul de fapt este un patrat. In acest caz EB este tot una cu DB ca diagonala a patratului ce va fi perpendiculara pe AC care este cealalta diagonala a patratului. (diagonalele unui patrat sunt perpendiculare).
Paralelogramul din problema este de fapt un patrat.

Figura EABC de care zici este un patrulater care are două unghiuri drepte opuse. Cum suma măsurilor unghiurilor unui patrulater este 360^o, rezultă de aici că suma măsurilor unghiurilor ABC şi AEC este 180^o. Asta nu înseamnă că musai ABC şi AEC să aibe câte 90^o. Cu ABCD pătrat, ar fi doar un caz particular şi atunci era simplu. Dar, în ipoteză se specifică în mod clar că e vorba de un paralelogram (nici măcar romb).

Din textul problemei rezulta ca, trebuie demonstrat ca diagonalele sunt perpendiculare. Asta se poate intampla cand figura respectiva este un patrat sau un romb. Atat patratul cat si rombul sunt cazuri particulare ale unui paralelogram. Alta rezolvare nu cred ca este.

Hai că i-am dat până la urmă de capăt! E simplă de tot, numai că trebuie să mai desenezi ceva, ca în figura ataşată.

Demonstraţie:
Avem AB paralelă cu DC (din ipoteză – ABCD fiind paralelogram) şi AD paralelă cu BC.
Dacă prelungim AD, până va intersecta EC, în punctul N, atunci AN va fi perpendiculară pe EC în N (deoarece AN paralelă cu BC care este perpendiculară pe EC – din ipoteză).
Prelungim şi CD până va intersecta EA în punctul M; CM va fi şi ea perpendiculară pe EA în M (deoarece CM paralelă cu AB care este perpendiculară pe AE – din ipoteză).
Aşadar avem triunghiul format EAC, unde AN şi CM sunt înălţimi. Punctul D se află la intersecţia a două înălţimi, deci este ortocentru în triunghiul EAC.
Dreapta ED, trece prin ortocentru, deci este la rândul ei înălţime şi deci perpendiculară pe latura opusă, AC.
Oricum, problema e frumoasă, dar e şi cam încurcătoare. Prima dată mă apucasem să calculez unghiuri şi se complica rău de tot. Pe urmă (după îndelungi transpiraţii) m-am gândit să folosesc faptul că ABCD este paralelogram. Şi aşa i-am dat de capăt. Sper că n-am greşit pe undeva, având în vedere că nu am mai rezolvat probleme de j'de ani!
Mulţumesc mult, Virgil, pentru interesul acordat! Chestia cu pătratul mi-a dat idei să folosesc faptul că ABCD este paralelogram.

Bine ca ti-ai gasit linistea.

Se poate demonstra că într-un triunghi ascuțitunghic, ca cel de mai jos :

unde h și h' sunt înălțimile pe laturile AB și respectiv BC,
există egalitatea

Evident, primele două sunt egale, reprezentând cosinusul unghiului B.
Nu reușesc să demonstrez egalitatea și cu ultimul raport, deși pare să-mi rezulte printr-o implicație...algebrică, să-i spunem.
Asta dacă nu am greșit pe undeva.
Are cineva vreo idee despre cum se poate demonstra dacă este sau nu adevărată egalitatea de mai sus ?

Caută ceva cu asemănarea triunghiurilor, ceva cu LUL.

Am încercat, poate insuficient, cine știe...
Oricum, am ajuns la acest rezultat arătând că dacă există un n, și există unul chiar dacă este real, dar nu intru acum în detalii, pentru care , atunci rezultă că pentru acel n, în condițiile din triunghiul de mai sus, este adevărat și că , dacă este adevărat raportul mai sus menționat.

În fine..., ideea este că geometric, nu am reușit să demonstrez asta și aș fi curios dacă rezultatul obținut în altă parte este corect și verificat geometric, motiv pentru care am deschis întrebarea (problema).

curiosul a scris:Se poate demonstra că într-un triunghi ascuțitunghic, ca cel de mai jos :

unde h și h' sunt înălțimile pe laturile AB și respectiv BC,
există egalitatea  

Evident, primele două sunt egale, reprezentând cosinusul unghiului B.
Nu reușesc să demonstrez egalitatea și cu ultimul raport, deși pare să-mi rezulte printr-o implicație...algebrică, să-i spunem.
Asta dacă nu am greșit pe undeva.
Are cineva vreo idee despre cum se poate demonstra dacă este sau nu adevărată egalitatea de mai sus ?

Asa la prima vedere eu zic ca nu este corecta a doua egalitate. Egalitatea ar fi corecta daca triunghiul ar fi isoscel.

E multa bataie de cap cu calculele.
Da un exemplu numeric ca este mai simplu,daca da corect merita sa ne batem capul si cu demonstratia analitica.

De exemplu ia laturile 5,6,7.Ca precis este ascutitunghic
Cu Heron gasesti Suprafata
Din suprafata gasesti h si h'
Din h si h' gasesti segmentele ... si asa din aproape in aproape gasesti toate elementele
Faci rapoartele si vezi daca a doua egalitate da corect.
Daca este corecta refacem rationamentul si analitic.Dar inca odata dupa parerea mea slabe sanse.

Pare să fie adevărată, Orakle.
O să-ți scriu mai târziu cum am gândit, dacă am timp, pentru că într-adevăr, e ceva de scris și n-am timp să redactez în LaTex.

Asta dacă n-am greșit cumva pe undeva.

Cum să nu fie adevărată? Ai încercat ce ți-am spus?

curiosul a scris:Pare să fie adevărată, Orakle.
O să-ți scriu mai târziu cum am gândit, dacă am timp, pentru că într-adevăr, e ceva de scris și n-am timp să redactez în LaTex.

Asta dacă n-am greșit cumva pe undeva.

Iti fac eu demonstratia ca la carte imediat ce am un pic de timp liber.

Fie triunghiul ascutitunghic ABC
Pentru a simplifica scrierea renotam:
AB=c
AC=b
BC=a
1-Orice triunghi este unic definit de valorile (abc). Consideram aceste variabile ca fiind variabilele de baza si explicitam restul elementelor in functie de aceste variabile.
2-Din ipoteza triunghiul este ascutitunghic.
Aceasta ipoteza este echivalenta cu conditia ca valoarea unghiurilor A,B,C sa fie intre 0 si 90 de grade,conditie care se poate rescrie ca cosA,cosB,cosC sa fie valori pozitive.
Folosind conditia de mai sus din Teorema lui pitagora generalizata:
a^2=b^2+c^2-2bscosA
rezulta:
b^2+c^2-a^2>0    (1.1)
Efectuand similar calculele si pentru laturile b si c rezulta :
a^2+c^2-b^2>0    (1.2)
a^2+b^2-c^2>0    (1.3)

Cele trei conditii (1.1)-(1.3) sunt conditile necesare pentru ca triunghiul ABC sa fie tr. obtuzunghic.
Pentru a ne verifica calculele vom efectua si un calcul numeric.Calcul in care vom folosi valorile a=5 ,b=6 ,c=7 Valori care verifica conditiile de mai sus.

3.Considerand abc variablele de baza folosind formula lui Heron putem gasi aria triunghiului ABC in functie de aceste variabile.


unde cu p am notat semiperimetrul triunghiului ABC
p=(a+b+c)/2
In cazul exemplului nostru p=9 si S=(9*4*3*2)^0.5=6*6^0.5

Nu Orakle, Abel are dreptate, rezultă prin LUL la asemănare.   
Practic, dacă ai roti triunghiul DBE, aducând D în locul lui E (adică pe BC, că nu cade în același punct cu E) și E în locul lui D (respectiv, adică pe AB) , ED ar fi paralelă cu AC.
Triunghiul nu e desenat corect, dar așa ar trebui să fie.

Practic ai același unghi B, și celelalte două laturi respectând proporționalitatea, ceea ce înseamnă că triunghiurile sunt asemenea și implicit egalitatea menționată inițial se respectă și cu ultimul termen.
E un fel de Thales, dar trebuie privit invers triunghiul din vârf, rotit 180 de grade cu B fixat.

Asta e de bine, îmi confirmă că rezultatul la care am ajuns în cealaltă parte este corect.
O să-ți arăt la ce folosește (în ce am analizat eu, cel puțin), dar într-un alt subiect și mai probabil mâine, că azi nu am timp.

Da! Ai dreptate egalitatea este corecta !
I-am dat de capat !Si este simplu de demonstrat.   

In triunghiul mare ABC scriem teorema lui Pitagora generalizata:

In triunghiul mic DBE scriem teorema lui Pitagora generalizata:


Dar din cele doua triunghiuri dreptunghice rezulta:

respectiv:

Introducem in T.P. scrisa pentru triunghiul DBE si rezulta:

paranteza din membrul drept este exact rezulta:

De unde rezulta:
exact egalitatea discutata.

Pentru demonstratia asta nu ai nevoie de valorile lui h si h' asa ca nu are rost sa te complici cu Heron.
E mai simplu asa daca nu ai nevoie si de alte elemente din triunghi.

Demonstratiile pe baza de asemanari nu zic ca nu sunt bune dar pentru siguranta e mai bine sa faci demonstratii folosind calcule analitice



Este urmat de topicul „Alte aspecte privind teorema lui Fermat”.

orakle a scris:Asa la prima vedere eu zic ca nu este corecta a doua egalitate. Egalitatea ar fi corecta daca triunghiul ar fi isoscel.

Corect!Triunghiul trebuie să fie un triunghi isoscel cu AB=AC şi nu neapărat ascuţitunghic sau un triunghi echilateral pentru a avea acel şir de trei rapoarte egale.

Dacu a scris:

orakle a scris:Asa la prima vedere eu zic ca nu este corecta a doua egalitate. Egalitatea ar fi corecta daca triunghiul ar fi isoscel.

Corect!Triunghiul trebuie să fie un triunghi isoscel cu AB=AC şi nu neapărat ascuţitunghic sau un triunghi echilateral pentru a avea acel şir de trei rapoarte egale.

Citește asta :

orakle a scris:In triunghiul mare ABC scriem teorema lui Pitagora generalizata:

In triunghiul mic DBE scriem teorema lui Pitagora generalizata:


Dar din cele doua triunghiuri dreptunghice rezulta:

respectiv:

Introducem in T.P. scrisa pentru triunghiul DBE si rezulta:

paranteza din membrul drept este exact rezulta:

De unde rezulta:
exact egalitatea discutata.

Pentru demonstratia asta nu ai nevoie de valorile lui h si h' asa ca nu are rost sa te complici cu Heron.
E mai simplu asa daca nu ai nevoie si de alte elemente din triunghi.

Demonstratiile pe baza de asemanari nu zic ca nu sunt bune dar pentru siguranta e mai bine sa faci demonstratii folosind calcule analitice

orakle a scris:Asa la prima vedere eu zic ca nu este corecta a doua egalitate. Egalitatea ar fi corecta daca triunghiul ar fi isoscel.

Repet si corectez (nu am fost atent la notaţiile vârfurilor triunghiului):
Triunghiul ABC trebuie să fie isoscel cu AB=BC ascuţitunghic sau obtuzunghic sau isoscel dreptunghic cu unghiul A=90 grade sexagesimale sau trebuie sa fie un triunghi echilateral pentru ca să existe acel sir de trei rapoarte egale.
Mii de scuze!

Părerea mea Dacule, este că demonstrația lui Orakle este general valabilă pentru orice triunghi ascuțitunghic. În demonstrația lui Orakle nu apare niciun aspect care să restricționeze situația, fiind valabilă doar pentru triunghiul isoscel, sau pentru genul de triunghiuri pe care le-ai menționat.

Mă înșel ?