Conjectura lui Legendre

Scris de **meteor** Lun 28 Ian 2013, 14:11

Enunt: Intre patratele orecaror doua numere consecutive, exsista cel putin un numar prim.

Demonstratie [incompleta]:
Conform teoremei numerelor prime (TNP): $\pi (x)\sim \frac{x}{ln(x) }$ .
Functia $f(x)$ , $f(x):[e^{2};+\infty )\rightarrow [\frac{e^{2}}{2};+\infty )$ , $f(x)= \frac{x}{ln(x) }$ pe intervalul $[8;+\infty )$ este concava strict crescatoare.
Functia $\pi (x)$ , cu parere de rau, are o multime (o infinitate) de puncte de influxiune, ceea ce nu pot sa demonstrez la moment complet ca functia $\pi (x)$ , indeplineste permament pe acel interval urmatoarea inegalitate $\pi (x)\geq \frac{x}{ln(x)}$ .
Deaceea voi lua ca adevarat aceasta inegalite, sau dea gata voi pune in aplicatie rezultatele obtinute de unii matimaticieni, care, sunt demonstrate complet (spre exmplu functiile lui Pierre Dusart). Intrucit functiile care aproximeaza mai exsact functia $\pi (x)$ de subt acest a functie sunt deasupra acestei functii ( $f(x)$ ), voi putea (pentru simplicitate) sa lucrez in continuare.
Functia $f(x)$ (sau $m(x)$ ) reprezinta numarul minim de numere prime care exsista pina la un oarecare numar. Aceasta e cheea.
Fie avem sirul de numere: $1,2,3,4,5,....,x^{2},x^{2}+1,...,(x+1)^{2}-1,(x+1)^{2}$ .
De la $1$ la $x^{2}$ sunt cel putin $\frac{x}{ln(x)}$ numere prime (daca sa fim mai rigurosi sunt: $\left [ \frac{x}{ln(x)} \right ]$ sau $\left [ m(x) \right ]$ ... )
De la $1$ pina la $(x+1)^{2}$ sunt cel putin $\frac{(x+1)^{2}}{ln(x+1)^{2}}$ .
Deci intre $x^{2}$ si $(x+1)^{2}$ sunt cel putin $\frac{(x+1)^{2}}{ln(x+1)^{2}}-\frac{x^{2}}{ln(x^{2})}$ numere prime.
O incercare de a demonstra conjectura lui Legendre, este atunci daca, se indeplineste inegalitatea: $\frac{(x+1)^{2}}{ln(x+1)^{2}}-\frac{x^{2}}{ln(x^{2})}\geq 1$ .
Definim o noua functie (sau.. e aceeasi functie doar ca x-ul e la patrat.. adica e vorba de $f(x^{2})$ ), fie functia $g(x)=\frac{x^{2}}{ln(x^{2})}$ , $g(x):[8;+\infty ]\rightarrow [8;+\infty ]$ .
Aceasta functie este strict concava si crescatoare pe acest interval, si ca atare aici si se termina demonstratia...
Functia $g(x+1)$ ( $f((x+1)^{2})$ ) reprezinta translatia graficului functiei $g(x)$ ( $f((x)^{2})$ ) cu o unitate in stinga.
Aceasta inseamna ca.. $\frac{(x+1)^{2}}{ln(x+1)^{2}}-\frac{x^{2}}{ln(x^{2})}\geq 1$ .
QED
(se pot face fel de fel de generalizari a conjecturii lui Legendre, din punct de vedere a numarului de numere prime in interval, fie din punct de vedere a puterii limitelor intervalului, etc. Aici trebue sa nu uitam sa specificam de la ce numar e adevarat demonstratia. Se poate demonstra, cum am mai spus, aplicind alte functii mult mai puternice ca aceasta care eu am aplicat-o. Aplicind aproape acelasi rationament se pot demonstra si multe alte conjecturi, ceea ce o voi face in curind. Este foarte misterios din ce cauza pina in ziua de azi nu s-a rezolvat aceasta conjectura, avind peste 100 de ani, si avind toate intrumentele necesare pentru a putea fi rezolvata.)