Varianta "tare" a conjecturii abc.

O altă versiune a conjecturii abc este următoarea :

Fie a,b,c trei numere naturale nenule și prime între ele.
Nu există
a' unul din divizorii lui a,
b' unul din divizorii lui b,
c' unul din divizorii lui c
și m un număr natural oarecare
astfel încât a+b-c=a'b'c'm.

Nu am găsit un contra exemplu în niciun caz pe care l-am încercat.
Această observație am găsit-o încercând să stabilesc de ce teorema lui Fermat rezultă din conjectura abc.
Însă această versiune "tare" a conjecturii abc are un raționament mult mai eficient și mai simplu de dedus că rezultă evident adevărul teoremei lui Fermat dacă aceasta ipoteză este adevărată.

Și se pare că această versiune a conjecturii abc este adevărată .

Deci a,b,c sunt prime între ele, deci nenule diferite iar
a' este divizorul lui a,
b' este divizorul lui b,
c' este divizorul lui c,
m un număr natural oarecare.

Presupunem că este adevărată egalitatea :
a+b-c=a'b'c'm,
Notăm
a=a'a"
b=b'b"
c=c'c"
Atunci avem :

(a'a"+b'b")-c'c"=a'b'c'm
a'a"-(c'c" - b'b")=a'b'c'm
b'b"-(c'c" - a'a")=a'b'c'm

Din :
a'a"-(c'c" - b'b")=a'b'c'm
b'b"-(c'c" - a'a")=a'b'c'm

rezultă că

a'a"-a'b'c'm=b'b"-a'b'c'm

Deci că
a'a"=b'b"
adică a=b

Dar asta înseamnă că a și b nu sunt prime între ele, nenule diferite, ci egale.

Pe baza acestei teoreme voi demonstra mai mult decât elementar Marea teoremă a lui Fermat.
Dar să verific mai întâi dacă demonstrația este corectă.

Nu, se pare că e o greșeală.

Să vă arăt cum ar rezulta teorema lui Fermat din această conjectură.

Ecuația , unde p este un număr prim impar, poate fi scris ca produs în trei moduri:





și dacă p este impar atunci și



De unde rezultă că x și (z-y) au divizor comun, y și (z-x) au un divizor comun, iar z și (x+y) au un divizor comun.
Dar (x+y)-z=x-(z-y)=y-(z-x).
Iar pentru că x, y, z sunt prime între ele, rezultă că divizorul comun al lui x și (z-y), nu poate avea vreun factor comun cu cel al lui y și (z-x) sau a lui z și (x+y), pentru că altfel ar însemna că acel divizor ar divide x și y, sau x și z, sau y și z, ceea ce este imposibil pentru că x , y, și z sunt prime între ele.
Deci asta înseamnă că x+y-z se divide cu unul din divizorii lui x, unul din divizorii lui y și cu unul din divizorii lui x.
Dar x+y-z se divide și cu p, iar dacă nici x, nici y, nici z, nu se divid cu p, atunci x+y-z=x'y'z'm, unde m se divide cu 3.
Dacă una dintre soluțiile x, y, z se divide cu 3, atunci m ar putea fi 1 sau un alt număr natural.
Dar ceea ce este mai important este că x+y-z=x'y'z'm, unde x' este divizorul lui x, y' este divizorul lui y, z' este divizorul lui z.

Întrebare :

Există x, y, z naturale prime între ele, astfel încât x+y-z=x'y'z'm, unde x' este divizorul lui x, y' este divizorul lui y, z' este divizorul lui z ?

Dacă nu există, marea teoremă a lui Fermat este adevărată.

Mai mult, prin aceea dezvoltare a binomului lui Newton despre care vorbeam în alt subiect, dacă x,y,z sunt soluțiile ecuației pentru n un număr prim impar p, se poate arăta că fiecare dintre (z-x), (z-y) și (x+y) sunt obligatoriu, fie p la puterea p-1, fie ca un număr la puterea p.
Evident, dacă una se divide cu p, aceea este p la puterea p-1, iar celelalte două soluții sunt numere la puterea p. Dacă niciuna nu se divide cu p, atunci toate trei soluțiile x,y,z sunt numere la puterea p.

curiosul a scris:
Deci asta înseamnă că x+y-z se divide cu unul din divizorii lui x, unul din divizorii lui y și cu unul din divizorii lui x.
Dar x+y-z se divide și cu p, iar dacă nici x, nici y, nici z, nu se divid cu p, atunci x+y-z=x'y'z'm, unde m se divide cu 3.
Dacă una dintre soluțiile x, y, z se divide cu 3, atunci m ar putea fi 1 sau un alt număr natural.
Dar ceea ce este mai important este că x+y-z=x'y'z'm, unde x' este divizorul lui x, y' este divizorul lui y, z' este divizorul lui z.

În loc de 3 am vrut să spun p, dar le-am amestecat un pic pentru că în timp ce scriam asta am vrut să prezint și demonstrația cazului n=3.
Dar se pare că sunt persoane care le consideră aberații, așa că mă voi abține pentru a nu deteriora imaginea forumului.

Teoremă :

Dacă x, y, z sunt numere naturale nenule și prime între ele, nu există x' unul din divizorii lui x, y' unul din divizorii lui y, z' unul din divizorii lui z și m un număr natural nenul, astfel încât x+y-z=x'y'z'm.

Cred că am reușit s-o demonstrez !
Aceasta demonstrează atât teorema lui Fermat cât și conjectura abc.
Voi mai verifica încă o dată calculele, să fiu sigur că nu sunt greșeli de regulă a semnelor sau altele elementare de acest gen, după care o voi scrie aici.

Enunțul este fals.
Am găsit deja câteva contra exemple.
Și sunt de altfel, o infinitate.

Chiar voiam sa stiu daca ai reusit, pentru ca ma gandeam daca nu cumva se poate demonstra numai in cazul cand m , x, y, z sunt diferiti de 2.Sau mai mari strict ca 2.
Valabil si pentru divizori.

Da, nu am analizat chiar toate cazurile.
Am observat că în posibila demonstrație era o greșeală de regulă a semnelor.
După care am vrut să văd valabilitatea ei calculând ceva mai mult.
Am găsit un contra exemplu, după care un altul și un altul.
Așa că am renunțat.
Într-adevăr, două numere erau impare și unul par în acele contra exemple. Nu am verificat dacă există contra exemple și în cazul în care toate sunt impare, dar cred că sunt.
Pentru moment o las deoparte că nu vreau să pierd timpul cu ea.
Probabil că dacă pe viitor găsesc ceva care are legătura cu asta o voi relua, altfel pentru moment nu mai dezvolt.
Pentru moment verific și vreau să dezvolt totuși o demonstrație corectă pentru cazul n=3, că parcă nu pot să renunț totuși.
Simt că îmi scapă ceva.
Deocamdată mai îmi bat capul aici.
De multe ori ajung să obosesc și fac greșeli elementare, dar tot nu le las.
Ideea este că nu trebuie să mai fiu așa entuziasmat.
Te-aș ruga dacă vrei și dacă ai timp, să te uiți un pic la demonstrația cazului n=4 (din subiectul celălalt) și să-mi spui dacă ți se pare că ar fi vreo greșeală pe undeva ca să încerc s-o corectez.
Părerea mea este că demonstrația cazului n=4 este corectă.

De fapt, analizam acum cazul n=3 și era să fac aceeași greșeală ca și în cazul n=4. Și acolo e o greșeală. Am egalat la un moment dat cele două paranteze cu x^2 și 2y^2, Sau invers în funcție de care este par.
dar chiar dacă cele două paranteze sunt prime între ele, la fel cum este și x și y, factorii lui x și factorii lui y, pot fi distribuiți în cele două paranteze, acestea rămânând totuși două valori prime între ele. Deci nu e corectă analiza. O să trebuiască să o revizuiesc și pe aceea. Probabil că o s-o folosesc pe cealaltă pe care o am. Dacă nu cumva are și aia vreo greșeală, desigur.

Pentru orice n=nr par oricare ar fi z
(x+y-z)(x+y+z)=2xy este par
Notez x+y=a
(a-z)(a+z) este par daca si numai daca unul din termeni este par pentru orice paritate a lui z
Ar rezulta

sau

Daca a este impar z trebuie sa fie si el impar
daca a este par si z trebuie sa fie par pentru a fi indeplinita egalitatea de mai sus.
Cu alte cuvinte a rezultat ca daca x+y este impar z este impar si el
si daca x+y este par si z este par.
Ce parere ai?

Am gresit.

cand (x+y)^2k este impar z^2k este impar
si cand (x+y)^2k este par z^2k este par

Syntax a scris:
Daca a este impar z trebuie sa fie si el impar
daca a este par si z trebuie sa fie par pentru a fi indeplinita egalitatea de mai sus.
Cu alte cuvinte a rezultat ca daca x+y este impar z este impar si el
si daca x+y este par si z este par.
Ce parere ai?

Este corect !
Nu înțeleg totuși cum ai ajuns aici :

Syntax a scris:
Ar rezulta

curiosul a scris:
Nu înțeleg totuși cum ai ajuns aici :

Syntax a scris:
Ar rezulta

Daca (x+y-z)(x+y+z)=2xy
si notez x+y=a
rezulta (a-z)(a+z)=2xy=2(a-y)(a-x)
De fapt aceasta relatie nu ma ajuta cu nimic.
a^2-z^2=par ,asta era important
din a^2=par+z^2 ar rezulta relatiile dintre x+y si z functie de paritate.
De asemenea ar trebui sa fie valabil si pentru:

Ok. Am înțeles acum.
S-ar putea să te ajute, totuși.
Analizează acum la ce putere poate fi factorul 2, atât în dreapta cât și în stânga, dacă x și y sunt unul par unul impar, iar z este impar.
Vezi dacă nu cumva obții într-o parte 2 la puterea a doua și în cealaltă doar 2.
Analizează.

Am notat x=2x' (numar par)
Am notat y=2y'+1 (numar impar)
Am notata z=2z'+1 (numar impar)
Inlocuind in formula

rezulta:

Nu am inteles de ce ai folosit in demonstratia ta factorul 2

Practic ai luat numai numere pare folosind factorul 2.
deoarece la orice putere va fi 2 inmultirea cu un alt numar va da un numar par.

Syntax a scris:
Am notat x=2x' (numar par)
Am notat y=2y'+1 (numar impar)
Am notata z=2z'+1 (numar impar)

Foarte bine. Acum înlocuiește-le în expresia la care s-a ajuns :









Înlocuiește în aceasta din urmă și verifică puterea la care poate apărea 2 de fiecare parte a egalității.

Simplificând cu 2 la puterea a treia rezultă că x' trebuie să se dividă din nou cu 2.
Dar în partea stângă , fie y', fie y'+1 se divide cu 2, la fel cum și pentru z, fie z', fie z'+1 se divide cu 2.
Dacă x' se mai divide o dată cu 2, apare 2 la puterea a doua în dreapta și în partea stângă în fiecare paranteză toate se divid din nou cu 2, în produsul acestor paranteze apare 2 la puterea a doua.
Dar în stânga mai rămâne un 2 în urma simplificării anterioare cu 2 la puterea a treia.
Deci în stânga va fi din nou 2 la puterea a treia, iar în dreapta doar doi la puterea a doua.
În stânga, din nou, mai rămâne un doi după ce simplificăm din nou cu 2 la puterea a doua.
Înțelegi până aici ?

Sper sa nu incurc dar am folosit alte notatii mai simple
x=2a
y=2b+1
z=2c+1


A rezultat o expresie de forma 8*A=8*B


De asemenea am observat ca pentru x=2a, y=2b, z=2c
rezulta

In plus e valabil si pentru
la fel x=2a, y=2b z=2c
rezulta

dar pentru orice s si pentru orice u expresia este un numar par.
la a doua care nu exclude posibilitatea

va fi un numar impar.

Se pot inversa paritatile la cele 2 expresii de baza.

Iar am gresit:

Syntax,
ideea este ecuația trebuie să aibă soluții primitive, prime între ele.
Dacă ele au un divizor comun, simplificând cu acesta și cu oricare alt divizor comun ar mai avea, la puterea respectivă, se ajunge la o ecuație cu toate soluțiile prime între ele.
Dacă presupunem că numai două dintre ele au un factor prim comun, separând aceste soluții de o parte a egalității, va rezulta că și cealaltă trebuie să se dividă cu acel factor prim, situație în care toate au același factor prim și se procedează ca mai sus, până se ajunge la soluții prime între ele.

Deci nu este posibilă situația în care ecuația are soluții care nu sunt prime între ele, și nu are și soluții prime între ele.
Deci se rezumă la a analiza soluțiile ecuației ca fiind prime între ele.
Odată găsite aceste soluții primitive se pot găsi toate celelalte soluții care derivă din acestea primitive.
Dar acestea sunt importante în analiza acestei ecuații, soluțiile prime între ele.

Îți explic și altfel ca să înțelegi mai bine.

Presupunem că x și y au ca divizor comun un număr prim la o anumită putere : și .
Din ecuația



prin scoaterea factorului comun rezultă că z trebuie să se dividă de asemenea cu . Notăm așadar, și rescriem ecuația :







Dacă două dintre ele ar mai avea încă un factor prim comun, se ajunge în situația de mai sus și ecuația se simplifică din nou cu acel factor comun la puterea n, de altfel, cu fiecare alt factor prim comun al lor, până se ajunge la soluțiile x", y", z" toate prime între ele.

Deci nu este posibilă situația în care pentru un anumit n, ecuația are soluțiile x', y', z' având toate un divizor comun și nu are soluții x", y", z" toate prime între ele. Pentru că aplicând raționamentul de mai sus, rezultă că există soluțiile x", y", z" prime între ele, ca și soluții ale ecuației pentru acel n.

Din acest motiv, teorema poate fi analizată cu proprietatea soluțiilor x, y, z ca fiind prime între ele.

Acum am inteles ca tu te refereai la solutii pentru x, y z ca fiind doar numere prime.
Eu aplicam rationamentul la numere pare si impare (pentru n)

Acum as vrea ca sa refac calculele pentru x+y =impar si z impar pentru cazul n=4.
Consider ca x + y impar pentru ca ar putea include si pe 2 numar prim. Iar 2 +orice numar prim =numar impar.E foarte buna ideea nepotului meu ca numai 2 este nr prim par

Syntax a scris:Acum am inteles ca tu te refereai la solutii pentru x, y z ca fiind doar numere prime.

Din modul în care te-ai exprimat, cred că trebuie să-ți mai explic ceva.
Diferența dintre două(sau mai multe) numere prime și două(sau mai multe) numere prime între ele este că în primul caz ele sunt prime, iar în al doilea caz subliniat ele pot fi și non prime.
Desigur, două numere prime sunt și prime între ele.
Îți dau exemplu:
Numerele 3 și 5 sunt prime. Dar numerele 9 și 25 nu mai sunt prime, însă sunt prime între ele pentru că nu au niciun divizor comun. Așa cum sunt 8 și 15, 13 și 21 etc.

Numere prime între ele sunt numerele care nu au niciun divizor comun.
Ele pot fi numere prime, pot fi de asemenea non prime.
E o diferență, care are implicații destul de mari, iar pe baza numerelor prime între ele se pot baza raționamentele multor demonstrații .
Pentru că dacă două numere prime între ele nu au niciun divizor comun, într-o eventuală egalitate în care se ajunge să se arate că termenii egalității sunt numere prime între ele, egalitatea nu poate fi posibilă.
De asemenea dacă unul din termenii egalității se divide cu un număr prim, iar celălalt nu se divide, din nou, egalitatea nu este posibilă, pentru că ar contrazice teorema care spune că orice număr are o factorizare unică, deci dacă un număr se divide cu un număr, iar altul nu se divide cu acel număr, atunci acele numere nu sunt egale. Înțelegi ce vreau să spun ?

1. x+y impar si z impar
Singura posibilitate ca x+y sa fie impar si totusi sa contina nr prim 2
ar fi ca x=2 (sau y=2)
Daca inlocuiesc in formula


se vede ca pentru x=2 suma x+y nu poate fi impara daca si y=2
deci y este diferit de 2
in plus pentru ca z este impar nici z nu poate fi 2.
Asadar dand factor comun si inlocuind pe x cu 2 rezulta

Dar pentru ca atata termenul din dreapta cat si cel din stanga trebuie sa fie impari si mereu in stanga observ ca ramane un 2, iar y si z deja am stabilit ca nu pot fi egali cu numarul prim 2 rezulta ca
egalitatea nu e posibila.

Cazul 2.
x+y par si z par
Daca x=2 (dar poate fi si y=2)
atunci x+y este impar pentru orice y=numar prim.(CONTRADICTIE)
z poate fi egal cu 2 deoarece respecta echivalenta par +2=par
Ramane posibilitatea ca si x si y sa fie numere prime diferite de 2.
Nr prim+nr prim=numar par. CORECT(fara numarul prim 2)
Am zis eu bine ca cifra asta 2 e speciala si nu ma crede nimeni:)
Pentru termenul din dreapta avem par+z^2
singurul numar prim par este 2
Deci pentru z=2
x si y poate fi orice numar prim diferit de 2.

Acum o sa testez teoria lui 2

Da am inteles ce vrei sa spui.
x , y, z pot fi numere prime sau pot fi numere prime intre ele.
Oricum nu ti se pare interesant ca noi avem seturi de solutii de 3 termeni?
Oare matricile ne pot ajuta cumva?

Syntax a scris:
Oricum nu ti se pare interesant ca noi avem seturi de solutii de 3 termeni?
Oare matricile ne pot ajuta cumva?

Probabil că da, dar nu am analizat.
Analizându-le prin matrici, încearcă să te folosești de matricile care conțin un număr de ecuații egale cu numărul necunoscutelor. S-ar putea să fie mai utile.
Dar de regulă, și pentru că multe subiecte nu le stăpânesc prea bine, le analizez efectiv printr-o logică elementară.
De multe ori funcționează, de multe ori sunt insuficiente informațiile elementare.
Dar ideea este că toate derivă într-un fel sau altul din cele elementare, fundamentale, sau cel puțin au logică comună.