Elicea circulară este curba necesară şi suficientă

Să presupunem că dorim să cunoaştem cu o acurateţe cât mai mare traiectoria unui punct material prin spaţiu. Ştim că aceasta nu poate fi cunoscută cu precizie, ci doar cu o oarecare aproximaţie. Ne interesează, deci, care este curba ce aproximează cel mai bine traiectoria punctului material.

Pentru a determina această curbă avem la dispoziţie poziţiile succesive ale punctului material, determinate la diferite momente de timp. Dacă am putea dispune de o infinitate de astfel de poziţii succesive, nici măcar atunci nu am putea fi siguri că avem toate punctele necesare traiectoriei, căci infinitul poate fi numărabil sau nenumărabil. Aşadar, oricum trebuie să recurgem la aproximări.

Atunci, următoarea problemă care se pune este la ce fel de aproximări vom recurge, conştienţi fiind de faptul că nu putem dispune de toate punctele traiectoriei. O primă soluţie care ne vine în minte este aceea folosită azi în mod frecvent, anume soluţia bazată pe presupunerea că între două puncte succesive observate punctul material s-ar deplasa tocmai pe o dreaptă. Dacă punctul material s-ar deplasa cu adevărat pe o dreaptă, atunci, desigur, presupunerea noastră ar fi minunată.

Dar, vai, ce ne facem dacă după câteva puncte succesive constatăm că punctul nostru material nu s-a deplasat pe o dreaptă, ci pe o curbă mai complicată? Mai putem admite ca fiind justificată presupunerea noastră că punctul s-a deplasat pe o dreaptă? Evident, nu.

Atunci am putea admite eventual că între primele două puncte succesive punctul s-a deplasat pe o dreaptă, apoi între următoarele două puncte succesive punctul s-a deplasat pe o altă dreaptă şi tot aşa mai departe. Ar fi corectă o asemenea abordare? Nuuuuuuuuuuu! Nici această abordare nu ar fi corectă, deoarece punctul material nu poate trece brusc de la o dreaptă la alta. Niciun corp din Univers nu se poate deplasa astfel, nu poate coti atât de brusc, dacă are masă. Deci, nu! Nu putem admite împărţirea traiectoriei în segmente de dreaptă! Aşadar, dreapta nu este suficientă pentru aproximarea traiectoriei.

Aşa că va trebui să căutăm o altă soluţie. Altă soluţie ar fi să mai netezim puţin traiectoria şi să admitem că punctul material se deplasează, nu pe segmente de dreaptă, ci pe arce de cerc. Am obţine astfel o aproximare mai realistă, care ar putea ţine seama de curbura traiectoriei. Doar că, în acest caz, ar trebui să luăm în considerare trei puncte, nu două ca în cazul segmentelor de dreaptă, căci doar prin trei puncte trece un cerc unic.

Buuuuun. Deci, arce de cerc. Dar este această abordare suficientă? Nu cumva apar problemele care au apărut în cazul segmentelor de dreaptă? Nu cumva apar şi aici nişte salturi? Hmmm... Păi, să vedem. Cercul este o curbă plană. Aşadar, dacă am constata că traiectoria este o curbă plană după orice interval de timp, atunci am putea spune că aproximarea curbei cu o succesiune de cercuri este rezonabilă.

Dar aşa cum nu ne-am putut limita la drepte, nu ne putem limita nici la o asemenea presupunere cu cercurile. Punctele materiale nu se mişcă pe curbe plane, decât în cazuri foarte, foarte, foarte particulare sau poate chiar inexistente. Ori, dacă punctul material nu se mişcă pe curbe plane, atunci tripletele de puncte aflate pe traiectorie ne-ar furniza cercuri aflate în plane diferite. Iar trecerea de la un plan la altul, din nou, nu se poate face brusc, ci treptat, lin. Aşadar şi cercul este insuficient. Trebuie să mergem mai departe, să căutăm alte soluţii.

Următoarea soluţie ar fi elicea circulară. După cum am văzut, elicea circulară este cel puţin necesară pentru a trece de la traiectoria dreaptă la traiectoria curbată în plan şi de la traiectoria curbată în plan la traiectoria curbată în spaţiu. Să vedem atunci dacă ea ne satisface capriciile. Să vedem dacă ea îndeplineşte toate cerinţele de aproximare a traiectoriei.

Putem observa în primul rând că elicea circulară nu mai presupune niciun salt brusc. Elicea circulară nu ne obligă să facem salturi bruşte de la o dreaptă la o altă dreaptă, ori de la un plan la alt plan. De ce? Pentru că ea ne dă şi curbură şi torsiune. Dreapta nu ne dădea nimic, nici curbură, nici torsiune, iar cercul nu ne dădea torsiune, deşi ne dădea curbură. Elicea circulară, însă, ni le dă pe amândouă.

Bun. Dacă elicea circulară ni le dă pe amândouă, este ea atunci şi suficientă? Desigur. Pentru că altceva în afară de curbură şi torsiune nu ne mai trebuie. Curbele din spaţiu sunt complet descrise de curbură şi torsiune. În concluzie, elicea circulară este necesară şi suficientă pentru aproximarea curbelor. De aceea, nu mai este corect să împărţim o traiectorie în segmente de dreaptă şi nici în arce de cerc, ci numai în porţiuni de elice circulară.

Aşadar, nu este corect să ne rezumăm la perechi de puncte pentru segmente de dreaptă sau la triplete de puncte pentru arce de cerc, ci trebuie să evaluăm cvadruplete de puncte pe care să fixăm elicea circulară unică ce trece prin acele patru puncte. În principiu, pentru aproximarea corectă a traiectoriei analizăm câte un cvadruplet de puncte observate şi facem o legătură armonioasă între toate cvadrupletele posibile pe care le obţinem cu punctele observate. Cu n puncte observate vom avea combinări de n luate câte 4 elice circulare ce aproximează curba. Daţi-i bătaie!