Conjectura lui Oppermann

Scris de **meteor** Lun 28 Ian 2013, 20:33

Enunt: Intre $x^{2}-x$ si $x^{2}$ ; la fel intre $x^{2}$ si $x^{2}+x$ , $x\geq 2$ , permament exsista cel putin un numar prim.

Demonstratie [incompleta]:
Conform datelor enuntului trebue sa determinam:
$\begin{cases} \pi (x^{2})-\pi (x^{2}-x)\geq 1 , x\geq 2\\ \pi (x^{2}+x)-\pi (x^{2})\geq 1\end{cases}$
Aceeasi poveste.. luam functia minim $m(x)$ ca fiind anticvariatul: $f(x^{2})=\frac{x^{2}}{ln(x^{2})}$ .
Asa arata aproximativ povestea:

Avem deci de demonstrat urmatoarele inegalitati:
$\begin{cases} \frac{x^{2}}{ln(x^{2})} -\frac{x^{2}-x}{ln(x^{2}-x)}\geq 1 \\ \\\frac{x^{2}+x}{ln(x^{2}+x)} -\frac{x^{2}}{ln(x^{2})}\geq 1 \end{cases}$ .
Toate trei functii sunt definite pe intervalul: $[3;+\infty )$ .
Pe acest interval toate trei sunt strict concave si strict crescatoare.

Acum, o metoda de rezolvare poate arata asa:
trebue sa gasimi niste constante $\lambda$ si $\nu$ astfel incit sa reprezinte translatiile functiei $f(x^{2})$ spre stinga si spre dreapta, INSA, ducind contul ca trebue sa fim atenti, astfel incit ele sa tinda spre limitele lor inferioare/superioare.
Demonstrind caci in cadrul acestor intervale (desigur dupa o valoare anumita determinata) demonstram conjectura.
Pina la valoarea cea anumita (am spus ca trebue sa ne starium sa fie in un anumit sens potrivita) se verifica cu mina.
Astfel conjectura devine total rezolvata.
Inegalitatile despre care vorbeam asa arata:
$2,3,4,...,x^{2}-x,...,(x-\lambda )^{2},...,x^{2},....,(x+\nu )^{2} ,...,x^{2}+x$
Inegalitatile se respecta pentru: $\lambda =\frac{1}{2}$ , $\nu =\frac{1}{3}$ , deci lucram cu ele.
Daca demonstram ca intre $\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}$ si $x^{2}$ , la fel intre $x^{2}$ si $\left ( x+\frac{1}{3} \right )^{2}$ exsista cel putin cite un numar prim, demonstram conjectura.
Povestea astfel arata:
Conjectura lui Oppermann Operm2

$\begin{cases} \pi (x^{2})-\pi ((x-\frac{1}{2})^{2}) \geq 1\\ \pi ((x+\frac{1}{3})^{2}) -\pi (x^{2})\geq 1 \end{cases}$ lund anticvariatul avem: $\begin{cases} f (x^{2})-f ((x-\frac{1}{2})^{2}) \geq 1\\ f ((x+\frac{1}{3})^{2}) -f (x^{2})\geq 1 \end{cases}$ .
Deci dupa un numar suficient de mare conjectura este adevarata.
Acest numar este $9$ .
Pina la $9$ se verifica usor cu mina.
QED.

Scris de **meteor** Joi 04 Iul 2013, 22:32

Cu toate ca incalc unele principii de ale mele (merg pe un teren absolut necunoscut, nu stiu cum s-au obtinut cutarele instrumente), totus voi scrie.

Se poate de rezolvat si prin alta metoda.
Metoda data este si ea incompleta din cauza caci este nevoe de demonstrat o inegalitate (presupun ca demonstratia nu va fi una usoara), insa este mai puternica, adica ar putea solutiona conjecturi mai complicate.
Cum am mai spus cine demonstreaza inegalitatea:
$p_{n+1}\geq \left ( m(p_{n})+1 \right )^{-1}$
cum am mai spus
$\left ( m(p_{n})+1 \right )^{-1}$ reprezinta valoarea inversei functiei $m(x)+1 \right$ in punctul $p_{n}$ .

Acel poate trece la verificarea daca sunt adevarate simultan inegalitatile, deci si la verificarea veridicitatii conjecturii:
$\left\{\begin{matrix} p_{n}\geq \left ( m(p_{n}-\sqrt{p_{n}})+1 \right )^{-1}\\ p_{n}+\sqrt{p_{n}}\geq \left ( m(p_{n})+1 \right )^{-1} \end{matrix}\right.$

Scris de **meteor** Sam 10 Aug 2013, 12:35

Intradevar conjetura lui Oppermann cuprinde conjectura lui Andrica, si se demonstraza foarte simplu.

Conjectuta lui Oppermann spune ca intre $x-\sqrt{x}$ si $x$ la fel intre $x$ si $x+\sqrt{x}$ trebue sa fie cite un numar prim.
Conjetura lui Andrica sune doar ca intre $x$ si $x+2\sqrt{x}+1$ trebue sa fie un numar prim.
Dupa cum se vede conjectura lui Andrica este mai slaba , deoarece spune de existenta numrului prim in un interval ai mare (de 2 ori), fate de conjectura lui Oppermann.

Dupa cum am aratat pentru a rezolva conjectura lui Oppermann, e deajuns sa aplicam functia $\frac{x}{\ln x}$ .

Insa, trebue ceva ceva de mai demonstrat, care se pare ca e la fel de simplu.

Scris de Continut sponsorizat

Conjectura lui Oppermann

Conjectura lui Oppermann

Re: Conjectura lui Oppermann

Re: Conjectura lui Oppermann

Re: Conjectura lui Oppermann