Conjectura Beal

Enunțul acestei conjecturi afirmă faptul că ecuația are soluții pentru x, y, z mai mari ca 2, doar dacă a, b, c au un divizor comun.

Să încercăm să dezvoltăm în acest subiect modalități de demonstrare a acestei conjecturi.

În primul rând, ceea ce este evident și rezultă direct este faptul că dacă această ecuație are soluții care nu sunt prime între ele, deci au un divizor comun, atunci prin simplificare cu acel divizor, ecuația ajunge să aibă și soluții prime între ele, pentru acele valori x, y, z.
Deci ar trebui analizate soluțiile primitive ale ecuației.

Problema care se ridică în această situație este alta.
Este suficient să demonstrăm că ecuația nu are soluții primitive, pentru ca să rezulte că dacă ea are soluții, atunci acestea nu sunt prime între ele ?
Pentru că aceasta cere de fapt enunțul conjecturii.
Trebuie arătat că dacă ecuația are soluții, atunci soluțiile a, b, c au un divizor comun.
Din punctul meu de vedere, conjectura se rezumă doar la a demonstra că ecuația nu are soluții a, b, c prime între ele.
Dacă nu are soluții primitive, atunci fie ecuația nu are soluții, fie ecuația are soluții a, b, c, dar acestea nu sunt prime între ele, ci au un divizor comun.

Dar apare imposibilitatea prin faptul că dacă ecuația are soluții a, b, c care au un divizor comun, atunci are și soluții prime între ele.

Cu alte cuvinte, demonstrația este făcută doar prin menționarea aspectului de mai sus.
Dacă ecuația are soluții, are obligatoriu soluții prime între ele.
Așa cum rezultă din raționamentul de mai jos :

Considerăm x, y, z diferite, fără să aibă importanță care dintre ele este mai mare ca oricare alta.
Considerăm numărul p divizorul comun al acestora.
Ecuația devine :



Simplificăm prin divizorul comun p la cea mai mică putere (presupunem că această putere este x prin condiția pusă ( ) iar ecuația devine :



Ecuație care deasemenea poate fi scrisă



Dacă z este mai mare ca y, de aici rezultă că în termenul din dreapta egalității mai poate fi scos factorul comun p , pentru că z-x>y-x :



De aici rezultă că egalitatea de mai sus este adevărată doar dacă termenul din stânga se divide cu .

Dar de asemenea rezultă că a' se divide cu p și nu numai, din egalitatea la care sa ajuns, rezultă că p trebuie să fie cel puțin la puterea x în factorizarea lui .
Din condiția pusă, , rezultă că



unde y-x+s=x.

Înlocuind în ecuația la care s-a ajuns valoarea de mai sus, egalitatea devine :







Egalitate pe care o putem aduce la forma



Din egalitatea de mai sus putem scoate în termenul din dreapta factorul comun iar egalitatea devine



de unde rezultă că b' trebuie să se dividă din nou cu p.

Se pare că am ajuns în situația anterioară și vom ajunge în aceeași situație ori de câte ori vom continua raționamentul pe același principiu.

Dar continuând în același mod raționamentul vom ajunge să arătăm că una din valorile a, b este exact divizorul comun al soluțiilor a, b, c.
Carevasăzică, forma ecuației inițiale, plecând de la presupunerea că soluțiile a, b, c au divizorul comun p, va deveni



Simplificând ecuația prin a la puterea x , aceasta devine





Dacă z este mai mare ca y, atunci în partea dreaptă a egalității îl putem scoate factor comun pe a, ceea ce ar însemna că 1 se divide cu a. Evident fals, dacă a este mai mare ca 1, egalitatea de mai sus neavând, de altfel, niciun fel de soluții netriviale.
Pentru că soluțiile triviale ale ecuației de mai sus sunt de altfel și soluțiile triviale ale ecuației inițiale, acestea ies din calcul.

În consecință, am arătat că plecând de la ipoteza că ecuația ar avea soluții a, b, c, având toate un divizor comun p, se ajunge la a arăta că ecuația nu are soluții.

Ecuația ar putea avea soluții dacă soluțiile a, b, c sunt soluții primitive și prime între ele.

Deci vis-a-vis de acestă conjectura am arătat exact inversul.
Ea poate avea soluții doar dacă a, b, c sunt prime între ele, nicidecum că ele trebuie să aibă proprietatea că au un divizor comun.

Ciudată întorsătură de situație.
Raționamentul prezentat mai sus este dezvoltat așa la repezeală și s-ar putea să nu fie corect, dar sper să dea idei și altora care știu cum să fructifice concluziile mele.

Aștept oricum, feedback-urile voastre, să vedem ce putem corecta.

Curiosule eu ma cam uit ca pisica in calendar la ecuatia data !
Este domeniul tau,eu nu vad nici macar o cale de "tentativa" de rezolvare daramite o rezolvare! Metoda prin care incerci tu mai sus nu stiu daca are o finalitate.
Te intreb poti sa-mi trimiti un link cu demonstratia Marii Teoreme a lui Fermat ?

Apreciez în primul rând, sinceritatea ta.
Deși știm amândoi faptul că în ce privește matematica tu etși cu mult mai informat, documentat și experimentat ca mine, modestia ta își spune cuvântul
Respectele mele.
Într-adevăr, poate subiectul numere propriu-zise îl cunosc și înțeleg ceva mai bine, dar datorită unei exersări practice intensive, să spun așa. Pentru că le-am calculat mult de tot.
Ori calculându-le, m-am familiarizat bine de tot cu factorizarea lor.

În ce privește Marea teoremă a lui Fermat, de pe internet am citit doar lucrurile uzuale și comun expuse pe majoritatea site-urilor.
Diferența este că poate le-am înțeles într-un fel mai diferit.
În concluzie, nu am un linc cu demonstrația teoremei lui Fermat, cea făcută de Andrew Wiles, iar cele expuse de mine și Dacu sunt doar tentative nevinovate, raționamentele lor având multe lacune.

Eventual, dacă vrei, îți pot explica mai așa, pas cu pas, cam cum am gândit.
Raționamentul de mai sus nu urmează o logică directă parcursă pas cu pas, pentru că ar trebui mult mai multe detalii menționate, dar m-=am rezumat la esențialul din care rezultă concluzia.
După ce am scris-o, am mai parcurs-o de câteva ori și mi se pare a avea un raționament corect.
Dar s-ar putea să-mi scape ceva, așa că o mai analizez în continuare.
Să nu fie o surpriză momentul în care voi reveni cu un mesaj în care voi explica unde este greșeala.

Pe site-ul unde a dat Mezei lincul, există un exemplu:
15^2+10^3=35^2
Într-adevăr, relația se verifică.
Dar punând condiția ca exponenții să fie strict diferiți unul față de altul, fără să aibă importanță care,
spre exemplu z>y>x>2,
ajungem să arătăm că ecuația nu poate avea soluții a,b,c având toate un divizor comun, prin raționamentul din primul mesaj.

Cum reiese și din exemplul dat mai sus, apare condiția ca cel puțin doi dintre exponenții x, y, z să fie identici Situație în care am ajunge la :



sau



sau



sau combinații de acest tip între exponenții x, y, z.

Evident, dacă x=y=z ecuația se supune teoremei lui Fermat, caz în care folosindu-ne de aceasta putem arăta că cel puțin doi din exponenții x, y, z sunt diferiți, altfel prin teorema lui Fermat ecuația nu are soluții.

Analizăm în continuare (generic) una din situațiile în care două sunt identice, să spunem ultima:





Plecăm din nou de la presupunerea că soluțiile a, b, c au un divizor comun p și rescriem ecuația :





Exponenții x, y fiind diferiți, ca și în cazul raționamentului folosit în primul mesaj, simplificăm cu cea mai mare putere comună a lui p.
Presupunem că x este mai mic decât y, caz în care putem simplifica cu p la puterea x. Ecuația devine



Dar rezultă că a' se divide din nou cu p, iar în factorizarea lui a' la puterea x, trebuie să apară p la puterea x.
Deci fie y-x este egal cu x, fie paranteza din dreapta încă se mai divide cu p.
În cazul în care y-x=x, simplificând cu p la x, sau la puterea y-x, se ajunge la o ecuație de formă asemănătoare celei inițiale, dar cu soluții prime între ele, ceea ce contrazice conjectura lui Beal, existând o situație pentru care ecuația are soluții a, b, c prime între ele.

Deci ar rămâne de analizat celelalte cazuri, când paranteza mare se divide cu p, sau dacă x este mai mare ca y, situații aproximativ identice. Cazul acesta este mai complicat, pentru că nu ne mai putem folosi de factorizare. Trebuie să analizăm condițiile în care o sumă sau diferență de două numere prime între ele se divide cu un număr diferit de termenii sumei sau diferenței.

Voi mai analiza un pic și voi reveni.

Și un alt mic ajutor pentru vânătorii de recompense...matematice.
La o analiză mai profundă, se pare că demonstrația conjecturii Beal, se rezumă la a demonstra că singura soluție primitivă a ecuației este :



cu D(1,s,t)=1.

Poate că exprimarea nu este corectă, dar eu m-am obișnuit cu ea, iar prin soluții primitive se înțelege de fapt, soluțiile pentru care cel mai mare divizor comun al lor este 1 și care poate genera toate celelalte soluții înmulțind temenii soluției primitive cu un număr, astfel încât să se obțină alte soluții ale ecuației anazate.
În cazul conjecturii Beal, ecuația pentru care trebuie să găsim soluțiile este



Pentru care trebuie să demonstrăm că ea nu poate avea soluțiile a,b,c prime între ele, dacă exponenții x, y, z sunt mai mari ca 2.
Conjectura nu menționează neaparat faptul că aceștia trebuie să fie diferiți, sau identici, sau relativ primi.

Analizând soluția primitivă de mai sus, , pentru a ajunge la o ecuație de forma , cu x, y, z strict mai mari ca 2, putem înmulți termenii soluției primitive cu un număr la o anumită putere, strict mai mare ca 2, caz în care apar anumite condiții:

Fie numărul cu care înmulțim termenii soluției primitive, astfel încât să ajungem la o ecuație de forma și care să îndeplinească condiția din conjectura lui Beal. Prin înmulțirea termenilor ecuației cu numărul se ajunge la ecuația



Pentru a putea aduce termenii egalității de mai sus la aceeași putere, ca egalitatea de mai sus să fie una de forma este absolut necesar ca x să fie un multiplu de k dacă x>k, precum și x să fie un multiplu de q dacă x>q, în cazul în care iar ecuația analizează valorile întregi a, b, c, x, y, z, situație în care ecuația devine pentru cazul în care x>k și x>q :



Evident, în cazul în care unul din exponenții ecuației primitive k, sau q este 1, egalitatea de mai sus va deveni o ecuație în care doi dintre termeni sunt la o putere identică.
În această situație k și q pot fi numere prime între ele, caz în care x trebuie să fie cel puțin produsul acestora.

Analizând o altă situație, în care x este mai mic decât k și q, condiția pentru care soluțiile sunt întregi este inversă, caz în care x' este factorul comun al lui x și k, iar x" este factorul comun al lui x și q, situația în care atât x, cât și q și k, nu pot fi numere prime, iar ecuația va deveni :



Firește, analizând combinații de genul x este mai mare decât k, dar mai mic decât q, sau invers, soluțiile ecuației vor fi combinații ale raționamentelor de mai sus. Am expus doar cazurile generale din care derivă și combinarea lor.

Raportat la afirmația de la începutul mesajului, precum că demonstrarea conjecturii Beal se reduce la a demonstra că această soluție primitivă este de altfel, singura soluție primitivă o voi expune într-un mesaj ulterior, precum și eventuale modalități de analizare o demonstrație în acest sens.
În principiu, raționamentul de bază este bazat pe faptul că dacă există o altă soluție primitivă a ecuației față de cea prezentată, caz în care s și t pot fi prime între ele deci nu au un divizor comun, ar însemna că celălalt termen trebuie să fie mai mare ca 1, să spunem un număr r diferit de 1 (și 0, evident), atunci ecuația ar avea o soluție primitivă cu toți termenii r, s, t, numere prime între ele, putând fi considerat un contraexemplu al conjecturii.
În mesajele viitoare voi prezenta modificările care apar în raționament în cazul în care celălalt termen este diferit de 1.

15^2+10^3=35^2 rezulta
(3*5)^2+(2*5)^3=(7*5)^2 rezulta
(3)^2+8*5=(7)^2 rezulta
(7)^2-(3)^2=8*5
Deja suntem intr-un caz particular fata de presupunerea ta

In schimb (poate este o idee care o poti dezvolta)
(7)^2-(3)^2=(5)^1*(2)^3
prezinta o baza pentru cateva familii de numere care respecta conjectura.
una din ele o obtinem prin amplificarea cu 5 la o putere care satisface conditiile :
putere para si 2n-1 divizibil cu 3
(trebuie sa ies!)
Mai este un caz care are atat 5 cat si 2 la o putere convenabila
Cu alte cuvinte divizorii lui 40 la puteri convenabil alese.

Mezei Geza a scris:15^2+10^3=35^2 rezulta
(3*5)^2+(2*5)^3=(7*5)^2 rezulta
(3)^2+8*5=(7)^2 rezulta
(7)^2-(3)^2=8*5
Deja suntem intr-un caz particular fata de presupunerea ta

Nu prea suntem Geza. Pentru că în exemplul tău, 15 este la puterea a doua, exemplul nu poate fi considerat contraexemplu pentru conjectura lui Beal. Am mai calculat și eu și dacă unul din exponenți este 2 pot să-ți dau o grămadă de contraexemple, în sensul că bazele termenilor sunt numere prime între ele.
Unul din ele este 3^5+10^2=7^3.
Observi că 3, 10 și 2 nu au niciun divizor comun.
De aceea conjectura lui Beal se referă strict la exponenți mai mari ca 2.

Ideea este că trebuie să încercăm să găsim o soluție primitivă, în care valorile, ab, c sunt toate numere prime între ele. Ar fi contraexemplul conjecturii. Voi încerca să demonstrez ulterior că singură formă a soluției primitive este cea pe care am prezentat-o.

Deci exemplul tău trebuie să plece, ca și soluție primitivă de la trei numere prime între ele, sau în sens invers de la o soluție care satisface conjectura lui Beal pentru exponenți mai mari ca 2.

Deci argumentele tale nu sunt contradictorii spuselor mele.
Sper să înțelegi ce vreau să spun.
Eu am înțeles ce ai vrut tu să spui.

Nu la conjectura am zis ca este contarexemplu
Poate nu m-am exprimat corect ci la

1+s^k=t^q

În schimb s-ar putea să ai dreptate în a doua parte a mesajului, pe care nu l-am aprofundat, dar la prima vedere, mă gândesc că în raționamentul meu trebuie plecat tot de la forma ecuației, ca și soluție primitivă, pentru că pe 1 îl poți ridica la orice putere, iar în exemplul tău
(7)^2-(3)^2=(5)^1*(2)^3
termenul din dreapta egalității nu poate fi adus la aceeași putere ca să aducem egalitatea la forma
a^x+b^y=c^z.
Dacă înțelegi ce vreau să spun.
Prin alte cuvinte soluția primitivă este și o soluție a ecuației, dar în cazul nostru și una trivială.
Ori în exemplul tău, nu putem aduce egalitatea la forma
a^x+b^y=c^z.
Înțelegi ce vreau să spun ?

Mezei Geza a scris:15^2+10^3=35^2 rezulta
(3*5)^2+(2*5)^3=(7*5)^2 rezulta
(3)^2+8*5=(7)^2 rezulta
(7)^2-(3)^2=8*5
Deja suntem intr-un caz particular fata de presupunerea ta .

Ok. Am înțeles ce vrei să spui.
Cred că ai dreptate.
Și cred că o să trebuiască să mai completăm ceva.
Dacă nu o să avem nevoie de particularizarea cazurilor, în cel în care unul din termeni este 1, iar celălalt caz când cel puțin unul din exponenți este 2.
Într-adevăr, mai analizăm.
Mulțumesc pentru intervenție.

Mezei Geza a scris:15^2+10^3=35^2 rezulta
(3*5)^2+(2*5)^3=(7*5)^2 rezulta
(3)^2+8*5=(7)^2 rezulta
(7)^2-(3)^2=8*5
Deja suntem intr-un caz particular fata de presupunerea ta

Și totuși, ca și soluție primitivă a ecuației, stadiul ireductibil în care ai adus egalitatea:

(7)^2-(3)^2=8*5

nu poate fi scris ca a^x+b^y=c^z,

Pe când forma soluției primitive triviale la care m-am gândit eu, poate fi :

1^x+s^y=t^z
1+s^k=t^y.
Pentru k, y, mai mari ca 2. 1 poate avea orice putere, deci și una mai mare ca 2.
Ca și soluție a ecuației, nu cred că există altă formă, dar mai trebuie analizat.
De fapt asta și încerc să demonstrez în continuare, dar mi-ai dat o idee bună, plecând de la situația în care cel puțin unul din exponenți este 2, caz în care termenii pot fi toți mai mari ca 1 și numere prime între ele, putând fi considerate cazul particular al soluției primitive a ecuației. Cu menționarea că nu toți termenii au exponentul mai mare ca 2. Dar s-ar putea să fie interesant de analizat.
Mai vedem. Orice vrei să mai menționezi, orice, este binevenit.
Oricum mai trebuie adăugat ceva, care îmi scăpa din vedere.

Oricum, Marea teoremă a lui Fermat ajunge să devină un corolar al unei eventuale demonstrații a conjecturii Beal.
Pentru că dintr-o eventuală demonstrație a acesteia din urmă, în cazul particular x=y=z=s>2, ecuația conjecturii lui Beal devine
a^s+b^s=c^s
de unde printr-o demonstrație a acesteia din urmă, ecuația de mai sus are soluții doar dacă a,b,c au un divizor comun.
Pentru că x=y=z=s>2 , dacă ecuația ar avea soluții a^s+b^s=c^s poate fi simplificată prin divizorul comun al soluțiilor a,b,c la puterea s, ori de câte ori este necesar, până când se ajunge la valori a', b', c' prime între ele, ca și soluții ale ecuației.
Dar printr-o demonstrație a conjecturii Beal, ar însemna că acestea trebuie să aibă un divizor comun ca și soluții ale ecuației.
Contradicție din care rezultă adevărul marii teoreme a lui Fermat.
Deci conjectura Beal este mai tare ca Marea teoremă a lui Fermat, adevărul primei implicând adevărul celei din urmă, care bănuiesc că ar trebui să fie și mai dificil de demonstrat ca cea a lui Fermat.
Dar merită oricum analizată.
Oricum, faptul că este un premiu mare pus în joc, prin concurența care apare, mulți vor urmări s-o demonstreze singuri ca să nu împartă premiul.
Dar acesta este un mare dezavantaj, pentru că un efort comun este întotdeauna mai eficient decât unul propriu.
Pentru că ce știe și ce poate unul poate fi completat cu ce știe și ce poate altul, eficiența fiind lejer ridicată.
Și mai mult, prin părerea afirmativă a mai multora vis-a-vis de corectitudinea demonstrației, crește și probabilitatea ca ea să fie una corectă.
Prin urmare, din motivul principal menționat mai sus, s-ar putea să mai dureze mult până să vedem o demonstrație corectă și completă.

Dar nu vă speriați, în următoarea perioadă voi veni eu cu vreo 30-40 de demonstrații ale acestei conjecturi, ca să aibă fiecare de unde alege.

curiosul a scris:

Și totuși, ca și soluție primitivă a ecuației, stadiul ireductibil în care ai adus egalitatea:

(7)^2-(3)^2=8*5

Nici nu mi-am propus asta.Inmultesti "inapoi" cu 25 si obtii un caz in care egalitatea si conjectura este corecta 15^2+10^3=35^2 (exact exemplul dat in link)
Doar am vrut sa subliniez ideea (poate te ajuta la ceva) ca forma (7)^2-(3)^2=8*5 este o baza pentru o familie intreaga de egalitati care respecta atat egalitatea cat si conjectura.

curiosul a scris:Deci conjectura Beal este mai tare ca Marea teoremă a lui Fermat

Si daca la Fermat s-au chinuit sute de ani si rezolvarea o inteleg doar catva iti dai seama ca Beal o sa ramana ani buni cu banii in buzunar
De fapt exista doua posibilitati
Se poate reduce la Fermat si atunci rezolvarea vine in mai putin de un an
Ori este o generalizare a ei si banii undeva in 2300-2400

curiosul a scris:Dar nu vă speriați, în următoarea perioadă voi veni eu cu vreo 30-40 de demonstrații ale acestei conjecturi, ca să aibă fiecare de unde alege.

Stai linistit ca in limita timpului disponibil te ajut si eu cu 10-20 de variante sa nu te plictisesti

VARIANTA 1- pornind de la teorema lui Fermat multiplicata
Ce spune de fapt Teorema lui Fermat ?
Spune ca in egalitatea

Daca A si B intreg, c nu este intreg (Corect sau bat campii ?) oricare ar fi n
Multiplic egalitatea convenabil un intreg D^n unde D este intreg (normal)
si satisface conditia D*c intreg.
Este singura conditie sa pot obtine o egalitate de intregi (corect?)
Pot obtine eventual si puteri diferite (D*c)^n il pot scrie si ca F^m
dar inca nu este un caz general dar dupa parerea mea promite.
Eventual mai adun (scad) o egalitate Fermat la prima dar de data asta la puterea m si reiei rationamentul de la capat


Ce zici merita pierdut timpul cu ea ?

PS Daca iei bani imi dai comision

Mezei Geza a scris:

curiosul a scris:

Și totuși, ca și soluție primitivă a ecuației, stadiul ireductibil în care ai adus egalitatea:

(7)^2-(3)^2=8*5

Nici nu mi-am propus asta.Inmultesti "inapoi" cu 25 si obtii un caz in care egalitatea si conjectura este corecta 15^2+10^3=35^2 (exact exemplul dat in link)
Doar am vrut sa subliniez ideea (poate te ajuta la ceva) ca forma (7)^2-(3)^2=8*5 este o baza pentru o familie intreaga de egalitati care respecta atat egalitatea cat si conjectura.

Am înțeles ce vrei să spui, dar din punctul meu de vedere nu ar fi prea eficient și nu ne-ar ajuta prea mult, dacă am începe să analizăm de ce aș înclina să fiu totuși de acord cu ce susțin eu.

Mai degrabă ne-am concentra pentru moment un pic mai mult pe:

VARIANTA 1- pornind de la teorema lui Fermat multiplicata
Ce spune de fapt Teorema lui Fermat ?
Spune ca in egalitatea

Daca A si B intreg, c nu este intreg (Corect sau bat campii ?) oricare ar fi n
Multiplic egalitatea convenabil un intreg D^n unde D este intreg (normal)
si satisface conditia D*c intreg.
Este singura conditie sa pot obtine o egalitate de intregi (corect?)
Pot obtine eventual si puteri diferite (D*c)^n il pot scrie si ca F^m
dar inca nu este un caz general dar dupa parerea mea promite.
Eventual mai adun (scad) o egalitate Fermat la prima dar de data asta la puterea m si reiei rationamentul de la capat


Ce zici merita pierdut timpul cu ea ?

Hmm... Interesant tare. Mă apuc acum de logificat un pic ce spui și ne vedem mai târziu.

PS Daca iei bani imi dai comision

Mă mai gândesc !
S-ar putea să-ți dau.
Dar nu vom fi noi aceia care se vor bucura de banii aia, ci alții mai isteți, că la noi...știi tu cum e !
Dar poate ajunge să batem palma și să bem o bere împreună să sărbătorim ( dacă faci cinste, firește )
Hai că mă apuc de ce ai scris și-ți spun după aia la ce concluzii am ajuns.
Oricum, mi se pare interesant.
Mersi mult de ajutor.

Bun.
Am început așa cum ai raționat.
Plecăm de la teorema lui Fermat și rescriem egalitatea pentru soluția z un număr rațional, pe care-l scriem sub formă de fracție ireductibilă :



Înmulțim egalitatea prin y la puterea n:



Fracția fiind considerată ireductibilă rezultă că x și y nu au niciun factor comun. Plecând deasemenea de la ipoteza că a, b și x sunt prime între ele, rezultă că termenii ay, by, x sunt prime între ele.

Însă prin teorema lui Fermat egalitatea nu are soluții întregi prime între ele. Am putea considera, dar nu ne-ar ajuta prea mult, faptul că n este un produs de trei factori n=rst:



Dar nu ne-ajută, pentru că egalitatea prin teorema lui Fermat nu este posibilă pentru întregi și n mai mare ca 3.
Mai mult, teorema lui Fermat este implicată prin conjectura lui Beal, deci nu cred că este posibilă o demonstrație care să se bazeze pe o teoremă ce o implică ea însăși.
Este nevoie de o teoremă care să fie cel puțin echivalentă cu ea ca structură logică, pentru a putea implica ceva ce poate fi folosit în demonstrarea ei.
Iar în cazul nostru, teorema lui Fermat este mai slabă ca cea a lui Beal.
Mi-e greu să cred că poate fi utilă. Dar mai analizez.

Sau am putea înmulți egalitatea cu y la o putere mai mare, dar cel puțin multiplul pătratului lui n :





și într-adevăr, ajungem la a-l avea pe y factor comun.
Așa cum anticipasem și cred că se și poate demonstra, toate egalitățile care satisfac conjectura lui Beal au cel puțin doi termeni ai căror exponenți au cel puțin un factor comun (în cazul nostru sunt identici - n)

Mai analizăm o idee.
Oricum, s-ar putea să fie o idee foarte bună de plecare, bazată pe teorema lui Fermat.

Credeam ca pleci de la ideea ca relatia de mai sus este un numar intreg

Nu mi-a trecut prin cap să o aduc la forma asta.
Tu cum ai dezvolta-o mai departe ?
Dacă n-ai răbdare nu scrie în latex că voi înțelege ce vrei să spui.

curiosul a scris:Nu mi-a trecut prin cap să o aduc la forma asta.
Tu cum ai dezvolta-o mai departe ?
Dacă n-ai răbdare nu scrie în latex că voi înțelege ce vrei să spui.

Nu am pus inca pixul pe el doar asa teoretic ma gandeam ca plecand cumva din dezvoltare pentru A^n+B^n poate putem pune cumva niste conditii.
Inca nu am "rumegat" problema
Ma mai gandesc

curiosul a scris:
Plecăm de la teorema lui Fermat și rescriem egalitatea pentru soluția z un număr rațional, pe care-l scriem sub formă de fracție ireductibilă :



Înmulțim egalitatea prin y la puterea n:



Fracția fiind considerată ireductibilă rezultă că x și y nu au niciun factor comun.

Dar se pare că nici așa nu este corect.
Pentru că în termenul din stânga putem scoate y la puterea n factorul comun, ceea ce ar însemna că în factorizarea lui x apare y, deci x este un multpilu de y și ar însemna că fracția nu este ireductibilă.
Asta de asemenea ar însemna că prin teorema lui Fermat, pentru n mai mare ca 2 și soluțiile a, b întregi, soluția c este irațională. Altfel am ajunge la contradicția de mai sus, adică fracția nu poate fi ireductibilă așa cum am presupus.

curiosul a scris:

curiosul a scris:
Plecăm de la teorema lui Fermat și rescriem egalitatea pentru soluția z un număr rațional, pe care-l scriem sub formă de fracție ireductibilă :



Înmulțim egalitatea prin y la puterea n:



Fracția fiind considerată ireductibilă rezultă că x și y nu au niciun factor comun.

Dar se pare că nici așa nu este corect.
Pentru că în termenul din stânga putem scoate y la puterea n factorul comun, ceea ce ar însemna că în factorizarea lui x apare y, deci x este un multpilu de y și ar însemna că fracția nu este ireductibilă.
Asta de asemenea ar însemna că prin teorema lui Fermat, pentru n mai mare ca 2 și soluțiile a, b întregi, soluția c este irațională. Altfel am ajunge la contradicția de mai sus, adică fracția nu poate fi ireductibilă așa cum am presupus.

Mi se pare corecta deductia ta

Mezei Geza a scris:

curiosul a scris:

curiosul a scris:
Plecăm de la teorema lui Fermat și rescriem egalitatea pentru soluția z un număr rațional, pe care-l scriem sub formă de fracție ireductibilă :



Înmulțim egalitatea prin y la puterea n:



Fracția fiind considerată ireductibilă rezultă că x și y nu au niciun factor comun.

Dar se pare că nici așa nu este corect.
Pentru că în termenul din stânga putem scoate y la puterea n factorul comun, ceea ce ar însemna că în factorizarea lui x apare y, deci x este un multpilu de y și ar însemna că fracția nu este ireductibilă.
Asta de asemenea ar însemna că prin teorema lui Fermat, pentru n mai mare ca 2 și soluțiile a, b întregi, soluția c este irațională. Altfel am ajunge la contradicția de mai sus, adică fracția nu poate fi ireductibilă așa cum am presupus.

Mi se pare corecta deductia ta

Si daca te uiti atent contravine si teoremei lui Fermat

De retinut pe viitor ca c este irational
c*D numar intreg rezulta D irational,si eu parca am propus D ca fiind numar intreg . Este suficient D^n intreg
Se schimba scimbarea !!

Hai ca o dau in "lambada" nu ma mai pot concentra !
Ne auzim maine

Totuși Geza, am putea dezvolta mai departe câteva condiții, plecând de la demonstrația teoremei lui Fermat.

1. Pentru ca ecuația conjecturii lui Beal să aibă soluții, exponenții x, y, z nu pot avea un factor comun mai mare ca 3. Altfel ecuația este imposibilă prin teorema lui Fermat. Presupunem x=x'n, y=y'n, z=z'n, atunci ecuația devine . Dacă n este mai mare ca trei, atunci ecuația nu are soluții întregi, deci nici soluții prime între ele, nici soluții care să aibă un divizor comun.
În concluzie, plecând de la adevărul teoremei lui Fermat, în analiza conjecturii lui Beal ies din calcul exponenții termenilor care au toți un divizor comun mai mare ca 3.

2. Putem însă analiza tripletele pitagoreice în două moduri :

2.1. Toți exponenții ecuației conjecturii lui Beal sunt pari.

În această situație ecuația se scrie :





Presupunem că există asemenea triplete pitagoreice.
Înseamnă că există și a, b, c prime între ele.
Dar ecuația poate fi adusă și la forma :



iar dacă a,b,c sunt prime între ele soluțiile de mai sus ar reprezenta contraexemplul conjecturii lui Beal, pentru x, y, z mai mari ca 3.
În sens invers, presupunând că enunțul conjecturii lui Beal este adevărat, rezultă că nu există triplete pitagoreice care să fie toate puteri cu exponentul mai mare ca 1 .

2.2. Putem analiza în egală măsură, tripletele pitagoreice care sunt raționale și/sau iraționale, ce pot fi exprimate printr-o putere rațională, ca mai jos :



Ca și în cazul anterior, dacă aceste triplete ar admite soluții de această formă, cu a, b, c prime între ele, aceste triplete pitagoreice reprezintă contraexemple ale conjecturii Beal.
Din nou, considerând că enunțul conjecturii Beal este adevărat, nu există nici triplete pitagoreice de această formă.

Trebuie analizat, ceva mai dezvoltat.
Așa cum ai sugerat, putem dezvolta ceva condiții plecând de la teorema lui Fermat.
Și probabil că nu se opresc numai aici, dar pentru moment, referitor la ideea ta, doar asta am putut dezvolta până acum.

Deja mă pregătesc pentru demonstrația numărul 1.
Așa cum v-am obișnuit, prima demonstrație este și cea mai simplă.
După care vor urma demonstrațiile 2,3,4,...,30-40, pe care nu le va mai înțelege nici d***u !
Geza, fi pe fază !
Pe că voi folosi ceea ce ai demonstrat în binomul lui Newton, dacă nu reușesc s-o simplific.

curiosul a scris:Deja mă pregătesc pentru demonstrația numărul 1.
Așa cum v-am obișnuit, prima demonstrație este și cea mai simplă.
După care vor urma demonstrațiile 2,3,4,...,30-40, pe care nu le va mai înțelege nici d***u !
Geza, fi pe fază !
Pe că voi folosi ceea ce ai demonstrat în binomul lui Newton, dacă nu reușesc s-o simplific.

Hai ! Dai bataie !
Mi-am pregatit tastatura rosie sa pot sa o corectez !

E mult de scris Geza.
Și cred c-ar trebui s-o scriu în mai multe mesaje, câte unul pentru fiecare caz în parte, pentru că voi analiza cazurile separate când exponenți sunt egali, doar doi sunt egali și toți trei sunt diferiți. Mai apare și un caz suplimentar când doar doi sunt egali, iar ei sunt fie pari, fie impari.

Cum adică tastatura roșie pentru corectat ?
Ce vrei să spui ?
Am scris eu cumva, pe undeva, vreo demonstrație greșită ?


Hai să vedem ce iese, oricum !
Sper ca în seara asta să pot prezenta unul din cazuri.
Vorbim după aia pe marginea lui.
Până una alta, vezi dacă raționamentul prin care ai demonstrat în subiectul cu binomul este valabil și pentru suma (a+b)^n și pentru diferență (a-b)^n cu a,b prime între ele.
Eu cred că da și vom vorbi și despre asta.
Pentru că în cazul sumei îl dezvoltăm, în funcție de paritatea lui n așa:
n par
(a+b)^n=(a^2+b^2)(a^n-2-a^(n-3)b+a^(n-4)b^2-...)
n impar- prima paranteză conține termenii la puterea 1
Diferența față de cealaltă situație este că în cazul sumei vor apărea semnele ordonate +,-,+,-,+,-....

Inteleg ce vrei sa spui dar relatia pe care ai scris-o ai gresit-o
(a+b)^n=(a^2+b^2)(a^n-2-a^(n-3)b+a^(n-4)b^2-...)
Am dreptate ?

Mezei Geza a scris:
Inteleg ce vrei sa spui dar relatia pe care ai scris-o ai gresit-o
(a+b)^n=(a^2+b^2)(a^n-2-a^(n-3)b+a^(n-4)b^2-...)
Am dreptate ?

Bineînțeles !
Așa că o să trecem direct la demonstrația numărul 2.
În felul acesta le parcurgem pe toate mai repede.

Geza, 
când ai timp, aruncă o privire aici.
Sau mai detaliat aici.

Hai să discutăm "oleacă" despre aceste analize.
Părerile oricui vrea să se implice sunt binevenite.

Din punctul meu de vedere, demonstrația nu urmează o linie de implicare directă.
Tu ce părere ai ?