Fizica elicoidală și izotropia spațiului

Rezumarea primului mesaj :

Râdem, glumim, dar asta chiar mi se pare o observație pertinentă, și suficient de simplă, cât să merite un topic separat.

Să admitem că trăim într-un Univers în care particulele libere se deplasează pe elice circulare. Pe cale de consecință, ecuația de mișcare valabilă în acest Univers trebuie să producă pentru legile de mișcare ecuațiile parametrice ale elicei circulare, anume să existe, pentru o particulă liberă, o direcție în care se deplasează rectiliniu și uniform și un plan perpendicular pe aceasta în care descrie o mișcare circulară, întocmai cum spun ecuațiile parametrice ale elicei circulare.

Și tocmai aici este marea problemă. O ecuație pentru o particula liberă, ce nu conține termeni de forță, este neapărat simetrică în spațiu (căci forța fiind absentă, pe oricare direcție fizica este aceeași) și totuși o astfel de ecuație simetrică trebuie să producă un rezultat în care această simetrie nu există, căci avem în mișcarea particulei o direcție preferențială. Acest lucru este în contradicție cu simetria inițială a ecuației, și nu poate însemna decât că...

Ipoteză elicoidală implică faptul că spațiul este anizotrop.

Nu sunt de acord cu prima afirmație. Dreapta mi se pare o structură mult diferită, deoarece în orice spațiu, ea este cea mai scurtă dinstață dintre două puncte. Elicea o chestie drăguță, dar mi se pare că e o chestie mult mai particulară decât o dreaptă.

Gândește-te și că o dreaptă are sens în oricâte dimensiuni, dar cum generalizezi o elice într-un spațiu cu mai multe, sau mai puține dimensiuni? Dacă în plan elicea îți devine un cerc, atunci e clar că devine o chestie extrem de diferită de o dreaptă.

Sunt lucruri diferite, din punctul meu de vedere. Nici acea clasificare cu lacretianul nu ajută prea mult, deoarece pentru o dreaptă nu este constant, ci infinit (mai corect ar fi spus, nedeterminat!).

omuldinluna a scris:Nu sunt de acord cu prima afirmație.

Vezi? Ţi-am descoperit baiul. De aici ţi se trage. De-aia nu pricepi tu Fizica elicoidală şi generalitatea ei.

Dreapta mi se pare o structură mult diferită, deoarece în orice spațiu, ea este cea mai scurtă dinstață dintre două puncte. Elicea o chestie drăguță, dar mi se pare că e o chestie mult mai particulară decât o dreaptă.

Ţi se pare, da' las' c-o dregem noi. Îi venim noi de hac, de-o să-nţelegi complet cum stau treburile.

Gândește-te și că o dreaptă are sens în oricâte dimensiuni, dar cum generalizezi o elice într-un spațiu cu mai multe, sau mai puține dimensiuni? Dacă în plan elicea îți devine un cerc, atunci e clar că devine o chestie extrem de diferită de o dreaptă.

Ia mai gândeşte-te. Cât de "extrem de diferită" poate fi o dreaptă de o elice? Elicea poate fi generalizată uşor şi ea la mai multe dimensiuni. Ia pune mâna şi aprofundează chestiunea, ca să-ţi poţi da cu părerea în cunoştinţă de cauză, nu să contrazici în mod gratuit Fizica elicoidală.

Sunt lucruri diferite, din punctul meu de vedere. Nici acea clasificare cu lacretianul nu ajută prea mult, deoarece pentru o dreaptă nu este constant, ci infinit (mai corect ar fi spus, nedeterminat!).

Ia spune-mi ce este curba cu lancretianul nul. Este sau nu este o dreaptă?

Problema cu lacretianul nul e următoarea. Dacă ai o curbă tridimensională, cu torsiune dar fără curbură, de fapt vorbești de o curbă plană cu curbură nenulă, pentru că e fixată în planul în care torsionează. Deci nu e o dreaptă.

omuldinluna a scris:Dacă ai o curbă tridimensională, cu torsiune dar fără curbură, de fapt vorbești de o curbă plană cu curbură nenulă, pentru că e fixată în planul în care torsionează.

N-am înţeles asta. Dacă are torsiune, atunci nu este curbă plană.

Deci nu e o dreaptă.

Dar ce este atunci, un cerc?

Asta întreb și eu. Poate o curbă să aibă torsiune fără să aibă curbură?

Da. De exemplu, chiar o dreaptă. Sau poţi demonstra riguros că o dreaptă nu are torsiune? Dacă da, cum?

Tangenta la o dreaptă este fixă în spațiu, și în consecință normala la dreaptă este 0, căci derivata tangentei e nulă. Rezultă că nu poți defini o binormală, deci nu are sens să ridici măcar problema existenței torsiuni.

Într-adevăr, matematica nu are mijloace să determine o binormală în acest caz, tocmai de aceea este mai neputincioasă decât Fizica. În schimb, este clar că triedrul lui Frenet continuă să existe şi pentru o dreaptă, doar că nu-i putem determina toţi versorii.

Aşadar, ca să demonstrezi că o dreaptă nu este elice, trebuie să demonstrezi că lancretianul dreptei nu este constant. Ori, asta nu ai demonstrat încă.

În schimb, dacă tot ai înţeles rolul tangentei, îţi pot propune eu o demonstraţie a faptului că dreapta este o elice. Se ştie că elicea este o curbă care face un unghi constant cu o dreaptă fixă în spaţiu. Atunci putem spune că o dreaptă este o elice care face un unghi nul cu o dreaptă fixă în spaţiu. Mulţumit? Este unghiul nul un unghi constant sau nu?

Nu Abel, binormala aia nu există. E definită ca produsul vectorial dintre normală și tangentă, ori dacă nici măcar normala nu există, pentru că derivata tangentei e 0, despre ce vorbim?

Nu ai ce să demonstrezi privitor la lancretianul dreptei, deoarece el ca obiect nu există. Este definit de tine ca raportul unor cantități care pentru o dreaptă nu există. Când ai o problemă care te conduce la 0/0 înseamnă că ai greșit ceva, nu că rupi barierele științei.

Și încă ceva, dreapta nulă e nulă. Nu poți să faci un unghi cu o dreaptă nulă.

Hmmm... deci tot nu te-am lămurit încă, deşi mie mi s-a părut că am fost cât se poate de clar. Mnoa, asta e, mergem mai departe, o vreme... Asta ca să se vadă câtă muncă de lămurire trebuie dusă doar pentru un asemenea fleac, darmite pentru ceva şi mai profund.

omuldinluna a scris:Nu Abel, binormala aia nu există. E definită ca produsul vectorial dintre normală și tangentă, ori dacă nici măcar normala nu există, pentru că derivata tangentei e 0, despre ce vorbim?

Derivata tangentei este
.
Ceea ce se anulează este scalarul numit curbură, nu versorul normalei.

Nu ai ce să demonstrezi privitor la lancretianul dreptei, deoarece el ca obiect nu există. Este definit de tine ca raportul unor cantități care pentru o dreaptă nu există. Când ai o problemă care te conduce la 0/0 înseamnă că ai greșit ceva, nu că rupi barierele științei.

Fii bun şi răspunde-mi la întrebarea din mesajul anterior, privitoare la faptul că dreapta este o elice a cărei tangentă face un unghi constant cu o dreaptă fixă din spaţiu.

Aici e greșeala. Derivata tangentei este

, unde parametrul este t, modulul tangentei e intre semne || iar versorul are caciula. Ori ambii termeni sunt nuli. Normala nu exista.

Daca discuti miscarea accelerata a unui mobil, si identifici tangenta cu viteza particulei pe dreapta, iti ramane numai primul termen, care este paralel cu tangenta, deci binormala e oricum o dai 0. Dreapta nu are torsiune si nici curbura, caci tangenta este independenta de pozitie.

Ai demonstrat doar că derivata tangentei este nulă. De aici până la a demonstra că normala nu există mai ai de mâncat multă pâine.

Păi dacă e 0 se cheamă că nu există. Ce, un corp se mișcă accelerat cu accelerație 0? O curbă se curbează cu curbura 0? Nu, corpul nu e accelerat, iar curba nu are curbură.

Oricum, pot la fel de bine să te invit pe tine să demonstrezi că există, dacă tot o folosești. Chiar, cum demonstrezi că normala există când derivata tangentei e 0? Argumentul tău e că nu poți să demonstrezi că nu există, deci trebuie să existe? Păi nu poți să demonstrezi nici că există, deci atunci înseamnă că nu există. Sau există și e 0? Sau nu există și e 0?

Oricum o dai, 0 e 0. Cine are cap, să priceapă.

Tu dacă nu poţi determina prin calcul matematic unde se află un om, tragi repede concluzia că omul acela nu există? Adică normala, un vector de modul unitate dispare pur şi simplu în cazul dreptei, aşa ca prin minune?

Dar, până reuşeşti să înţelegi că dreapta este un caz particular de elice, să ne oprim puţin la faptul cu care tu eşti de acord. Eşti de acord că lancretianul dreptei este nedeterminat. Bun. Atunci vin cu o întrebare în acest context. Ţi se pare mai firesc, mai natural ca un corp liber să se deplaseze mai degrabă pe o curbă de lancretian nedeterminat decât pe o curbă de lancretian determinat?

Nu, dacă nu știu unde e, nu mă apuc să-mi fac planuri cu el până nu aflu   .

În același spirit, nu poți să construiești o teorie pe cantități care sunt 0. Normala nu dispare ca prin minune, ți-am arătat de ce, și îți mai arăt o dată.

Dacă , atunci daca membrul stang e 0, inseamna ca , deci vectorul  nu exista. Invers, daca normala e 0, inseamna ca derivata tangentei este 0. Nu poti sa faci rationamente pe un vector care e 0. Cred ca ce trebuie tu sa reusesti sa intelegi e ca dreapta nu e un caz particular de elice.

Mi se pare natural si firesc ca un corp sa se deplaseze conform legilor fizicii. Daca in contextul in care discutam legea relevanta este , natural mi se pare ca traiectoria corpului sa fie specificata de aceasta lege.

omuldinluna a scris:Normala nu dispare ca prin minune, ți-am arătat de ce, și îți mai arăt o dată.

Dacă , atunci daca membrul stang e 0, inseamna ca , deci vectorul  nu exista.

Repeţi aceeaşi greşeală. Şi eu ţi-am mai spus că această concluzie este greşită. Nu se anulează, ci .

Mai departe, constat că răspunsurile tale devin foarte superficiale şi pripite, aşa că mă retrag o vreme, până vei mai cugeta la ceea ce am scris.

Nu e gresit, si ti-am scris special asa, ca sa intelegi. Un vector de modul 0 e 0.

Versorul normalei iti indica directia in care e orientata derivata tangentei. Daca derivata tangentei e 0, atunci nu iti mai indica nimic, deci nu exista. Cum spuneam, 0 e 0, cine are cap, sa priceapa.

Merită totuși pusă întrebarea, ce fel de geometrie trebuie să aibă un spațiu tridimensional astfel încât mișcarea liberă să se facă pe elice circulare? Analiza pe care am început-o aici presupune un spațiu cu metrică euclidiană, dar anizotrop. O soluție mai frumoasă, și mai simplă cred, ar fi cea în care spațiul rămâne izotrop, dar funcția care măsoară distanța este modificată în mod corespunzător, astfel încât mișcarea pe o elice circulară să fie echivalentul mișcării rectilinii. Cum mișcarea rectilinie are mereu loc într-un subspațiu bidimensional al spațiului 3D, poate că de fapt am nevoie de un spațiu cuadridimensional în care să imersez mișcarea elicoidală? Sunt convins că matematicienii și-au pus deja problema asta. Trebuie căutat.

Curiozitatea mea e următoarea: într-un alt topic s-a ridicat întrebarea, dacă traiectoria elicoidală a particulelor unui gaz, altfel lipsit de interacții interne, modifică într-un fel ecuația de stare. Sunt curios dacă un gaz ideal, într-un astfel de spațiu, ar avea aceeași ecuație de stare.

Despre gaze am discutat puţin mai amănunţit în alt topic.

omuldinluna a scris:Cum mișcarea rectilinie are mereu loc într-un subspațiu bidimensional al spațiului 3D, poate că de fapt am nevoie de un spațiu cuadridimensional în care să imersez mișcarea elicoidală?

Cred că trebuie plecat de la o mişcare circulară într-un spaţiu bidimensional, altfel, dacă pleci de la mişcarea rectilinie vei obţine cel mult o curbă într-un subspaţiu 3D al spaţiului 4D, nu o elicoidă.

Razvan a scris:

omuldinluna a scris:Cum mișcarea rectilinie are mereu loc într-un subspațiu bidimensional al spațiului 3D, poate că de fapt am nevoie de un spațiu cuadridimensional în care să imersez mișcarea elicoidală?

Cred că trebuie plecat de la o mişcare circulară într-un spaţiu bidimensional, altfel, dacă pleci de la mişcarea rectilinie vei obţine cel mult o curbă într-un subspaţiu 3D al spaţiului 4D, nu o elicoidă.

Cuadridimensional nu bidimensional ai vrut sa scrii, Nu ?

Razvan a scris:

Nu, am zis bine. Dacă avem o mişcare rectilinie într-un spaţiu 2D, ea poate fi proiecţia pe acel spaţiu a unei curbe în 3D.
Dacă avem o mişcare circulară în 2D, aceasta poate fi proiecţia unei elice circulare din 3D.
Cel puţin, la o asemenea traiectorie, în 3D, ştiu că re referă Abel.
Dacă încercăm să exprimăm o elice circulară în 4D, acest lucru a mai fost deja făcut şi e reprezentat de metrica Kerr, folosită în cazul unei găuri negre cu moment unghiular. Nu ştiu dacă omuldinlună vrea să ajungă până acolo.  
Deşi, mi-ar place să urmăresc dezvoltarea!

Personal nu cunosc mare lucru despre metrica asta,mersi de link. Ma documentez acuma !

Evident că s-a strecurat o greșeală în mesajul meu. Mișcarea rectlinie poate fi redusă la un subspațiu 1D, printr-o rotire convenabilă a reperului.

Deocamdată m-am gândit la următoarea șmecherie. O să lucrez, cât mai curând sper, la un model de gaz ideal bidimensional, ținut într-un pătrat. Dacă reușesc să aflu cum se traduce teorema lui Stokes în 2 dimensiuni, o să pot calcula ecuația de stare a acelui gaz. Apoi tot ce am de făcut e să împăturesc pătratul în așa fel încât să obțin un cilindru, și să aplic din nou teorema lui Stokes pe noua geometrie.

Bănuiala mea e că, cel puțin în două dimensiuni, ecuația de stare o să fie aceeași, indiferent că mișcarea moleculelor e rectilinie sau elicoidală, dar trebuie verificat mai întâi.

omuldinluna a scris:Evident că s-a strecurat o greșeală în mesajul meu. Mișcarea rectlinie poate fi redusă la un subspațiu 1D, printr-o rotire convenabilă a reperului.

Deocamdată m-am gândit la următoarea șmecherie. O să lucrez, cât mai curând sper, la un model de gaz ideal bidimensional, ținut într-un pătrat. Dacă reușesc să aflu cum se traduce teorema lui Stokes în 2 dimensiuni, o să pot calcula ecuația de stare a acelui gaz. Apoi tot ce am de făcut e să împăturesc pătratul în așa fel încât să obțin un cilindru, și să aplic din nou teorema lui Stokes pe noua geometrie.

Bănuiala mea e că, cel puțin în două dimensiuni, ecuația de stare o să fie aceeași, indiferent că mișcarea moleculelor e rectilinie sau elicoidală, dar trebuie verificat mai întâi.

Nu este gresit,este corect si in 2D si in 1D
Teorema lui Stokes ? Sunt curios ce vrei sa faci si la ce iti foloseste !

Ok, uitați care-i faza. M-am uitat din nou pe demonstrația teoremei de virial de la câmpul central (link la semnătură și apoi săriți din cuprins) și mi-am dat seama că de fapt e independentă de geometrie sau dimensiunea spațiului. Ca să o aplicăm la exemplul gazului ideal în două dimensiuni, trebuie să ținem cont de numai două lucruri:

1. Atomii având numai două grade de libertate, teorema de echipartiție a energiei spune că aceștia au energia medie .

2. Vectorii fiind bidimensionali, divergența lor este egală cu 2.

Indiferent de forma containerului bidimensional în care este confinat gazul, rezultă deci aceeași ecuație de stare !

Dacă iau containerul ca fiind un pătrat de latură a, atomii au traiectorii rectilinii între ciocnirile cu cele patru muchii ale pătratului, iar ”volumul” este chiar aria pătratului . Dacă îl împăturesc acum ca să obțin un cilindru, atomii se vor deplasa elicoidal, și ciocnirile nu mai au loc decât cu conturul capetelor cilindrului. ”Volumul” este chiar suprafața cilindrului, anume . Vedeți că deși volumele sunt diferite, ecuația de stare este aceeași și independentă de geometrie!

Pot să revin cu calcule amănunțite mai târziu, pentru cine nu e convins, dar e suficient să mai studieze odată teorema de virial și să constate că geometria sau dimensionalitatea spațiului nu au nici un impact.

Edit: și evident, nu era vorba de teorema Stokes ci de teorema Gauss. Vârsta.

Acuma chiar ca ai gresit
"Volumul" este acelasi.
Perimetrul cilindrului este a,tu l-ai considerat 2*pi*a

Hai sa vedem. Volumul bidimensional al unui cilindru trebuie sa fie , adica ar fi chiar suprafata de raza rho a unui cilindru 3D. Dac rho=z=a, obtii formula mea.

Cred ca am gresit altceva. Raza cilindrului obtinut prin impaturirea patratului de latura a e a/2? Atunci am obtine pi*a^2. Oricum, acest detaliu nu schimba faptul ca ecuatia de stare, cel putin pe spatii 2D, are aceeasi forma independent de geometria acestora.

Cat despre perimetru, cred ca prin impaturire, patratul ala se lungeste putin  . Nu sunt mare priceput in topologie, dar intuitiv e clar ca patratul se deformeaza ca sa-l poti inchide intr-un cilindru.

omuldinluna a scris:Hai sa vedem. Volumul bidimensional al unui cilindru trebuie sa fie , adica ar fi chiar suprafata de raza rho a unui cilindru 3D. Dac rho=z=a, obtii formula mea.

Cred ca am gresit altceva. Raza cilindrului obtinut prin impaturirea patratului de latura a e a/2? Atunci am obtine pi*a^2. Oricum, acest detaliu nu schimba faptul ca ecuatia de stare, cel putin pe spatii 2D, are aceeasi forma independent de geometria acestora.

Cat despre perimetru, cred ca prin impaturire, patratul ala se lungeste putin  . Nu sunt mare priceput in topologie, dar intuitiv e clar ca patratul se deformeaza ca sa-l poti inchide intr-un cilindru.

Raza cilindrului obtinut prin impaturirea patratului de latura a e a/2 ?
Nu,este a/(2*pi)

Nu se lungeste,suprafata nu se modifica daca indoi patratul si faci un cilindru din el.Inceraca cu o foaie de hartie.
Edit: Acuma citesc si vad ca tu te referi la perimetru si nu la suprafata
Perimetrul cui ?


"Oricum, acest detaliu nu schimba faptul ca ecuatia de stare, cel putin pe spatii 2D, are aceeasi forma independent de geometria acestora."

Deacord,formal nu se intampla nimic,dar trebuie sa definesti Numarul lui Avogadro,Kb,R,valori definite pe volum si nu pe suprafata cum ai tu nevoie.
Daca spatiul il consideri izotrop banuiesc ca nu este o asa mare problema si valaorea lor (cu alte unitati de masura-evident) in modul nu cred ca se va modifica.

Si inca ceva...
Esti sigur ca scaderea gardului de libertate nu influenteaza expresia ecuatiei de stare?
Asa la prima citire si mie mi se pare corect dar pentru a fi sigur trebuie vazuta exact demonstratia in 3D si refacuta pentru 2D.

Deci lucrurile stau așa: dacă iau atomii clasici, și îi confinez într-un pătrat, apar două schimbări în acea demonstrație. Energia medie a fiecărui atom este cu 1/2kT mai mică decât valoarea de acolo, deoarece ei mai au numai două grade de libertate, iar la final, când folosesc teorema divergenței, divergența oricărui vector de poziție este 2, și nu 3, deoarece vectorul are acum numai două componente.

Teorema divergenței este valabilă independent de dimensiunea spațiului, dar dacă vreau să mă conving că rămâne adevărată și pentru situația pătratului, nu e nici o problemă. Integrala de suprafață închisă din acel produs scalar devine o sumă de patru integrale, câte una de-a lungul fiecărei muchii, orientarea normalei acestei ”suprafețe” fiind perpendiculară la muchie, spre exterior în planul ce conține pătratul, iar valoarea câmpului de vectori trebuie evident cosiderată cea de pe suprafață. Integrala de volum din divergență este egală chiar cu aria totală a pătratului înmulțit cu 2. Dacă o să verifici, (vezi formula din demonstrație) o să vezi că ele dau la fel. Acum, când împăturesc pătratul într-un cilindru, o să oblig moleculele să se miște elicoidal pe acest subspațiu 2D cu geometrie diferită. Poți să verifici din nou teorema lui Gauss și pe cilindru, rezultatul e tot PV=NKT.

O să vă arăt în amănunt toate astea, dar nu azi.

omuldinluna a scris:Integrala de suprafață închisă din acel produs scalar devine o sumă de patru integrale, câte una de-a lungul fiecărei muchii, orientarea normalei acestei ”suprafețe” fiind perpendiculară la muchie, spre exterior în planul ce conține pătratul, iar valoarea câmpului de vectori trebuie evident cosiderată cea de pe suprafață.

Acum, când împăturesc pătratul într-un cilindru, o să oblig moleculele să se miște elicoidal pe acest subspațiu 2D cu geometrie diferită.

Când se mişcă elicoidal pe cilindru nu avem doar o sumă de 2 integrale, că două laturi dispar? Şi integrala de volum din divergenţă să fie egală cu suma celor două integrale, de-a lungul perimetrelor "capacelor" cilindrului?

Exact asa si este nu este nevoie de o alta demonstratie! 3 se simplifica cu 3 si in acest caz 2 ul cu 2.
Ce ma intereseaza este unde vrei sa ajungi sau unde vei ajunge folosind acesta modelare.