Demonstrațiile cazurilor particulare ale Marii teoreme a lui Fermat

Deschid acest subiect ca să mai diversificăm o idee activitatea pe forum, precum și datorită faptului că unii pot fi interesați, sau chiar din pură curiozitate, să cunoască demonstrațiile elementare ale cazurilor particulare ale acestei teoreme, construite de vechii și marii matematicieni.
Acum nu am timp, dar voi scrie zilele acestea, cel mai probabil în week-end, două demonstrații foarte frumoase ale cazurilor n=3 și n=4, corecte de altfel, ale marii teoreme a lui Fermat, pe care le-am găsit într-un volum mai vechi de teorie a numerelor.
I-aș ruga de altfel, pe cei care știu de existența unor demonstrații corecte ale celorlalte cazuri particulare, n= 5, 7, ..., sau chiar și ale acestora (n= 3 și 4) , să atașeze un linc sau dacă au răbdare să le scrie complet.
Cred că este interesant să vedem cum au gândit acei matematicieni.

OK.
Voi traduce, prezenta și comenta pentru început demonstrația elementară a teoremei lui Fermat pentru cazul n=3, exact așa cum este ea scrisă în volumul THEORIE DES NOMBRES - TOME SECOND - LE SECOND DEGRE BINAIRE, la pagina 600. (scuze pentru lipsa accentelor )

Pentru a ușura munca cititorului în a înțelege această demonstrație voi interveni pe alocuri încercând să explic mai clar de unde se deduc anumite implicații, scriind în paranteză, cu un font mai mic pentru a se distinge explicațiile mele complementare, de textul original al demonstrației.

Așadar :

Teorema lui Fermat pentru cazul n=3

Vom scrie ecuația lui Fermat sub o formă mai simetrică, schimbând z în -z :


Lema I :
Dacă , cu D(x,y)=1, atunci una din valorile  x, y, x-y este divizibilă cu 6.

De fapt, este primitiv reprezentabil prin forma (1, -1, 1), iar pentru că există doar o clasă de determinant 3, u este reprezentabil prin aceeași clasă și putem deduce reprezentarea primitivă a lui prin cea a lui u, prin formulele de multiplicare a formelor.

(În continuare, se face trimitere la un capitol din același volum în care sunt enunțate câteva teoreme, care demonstrează o parte din modalitățile și condițiile de multiplicare a formelor. Este un capitol întreg, destul de important în fundamentul acestei demonstrații, despre care nu voi detalia altceva aici.)

Punând  
prin formula multiplicării formelor vom avea   cu


Deci o reprezentare pentru este, fie aceasta, fie una dintre acelea pe care le putem deduce prin substituții automorfe de (1, -1, 1), adică
unde unul din cele trei sisteme schimbă semnul.

(Este vorba despre reprezentarea soluțiilor primitive X, Y pentru , unde acestea pot fi, fie exact soluțiile X și Y ale sistemului anterior, fie una este -X+Y, iar cealaltă este -x, fie una este -Y, iar cealaltă este X-Y.)

În prima reprezentare, valoarea celei de-a doua necunoscute, adică este divizibilă cu 6, în a doua reprezentare este diferența între cele două valori ale necunoscutelor, adică (-X+Y)+X, etc.

(Deci dacă soluțiile necunoscutelor nu sunt exact valorile X, Y ale sistemului deduse prin multiplicarea formei, caz în care a doua, Y, este sigur divizibilă cu 6, ca și în cazul celei de-a treia reprezentări unde una din soluții este -Y, în cealaltă reprezentare, diferența necunoscutelor este exact exprimarea lui Y, caz în care diferența x-y este divizibilă cu 6. Lema este corect și complet demonstrată.)

Lema II :

Dintre cele trei valori x, y, z, ca și soluții primitive ale ecuației (1), una este divizibilă cu 6.

(Aici se face o trimitere în subsolul paginii care spune :
Vedem ușor că una este divizibilă cu 2 și una care este divizibilă cu 3,
transformând în congruență mod 9 și insistând asupra faptului că
(mod 9). Dar nu demonstrăm astfel că este aceeași valoare care se divide în același timp cu 2 și cu 3.
Deși nu este demonstrat aici, dacă cineva vrea să cunoască modul în care se demonstrează că una din soluții se divide cu 2 și una se divide cu 3, îi pot arăta ulterior cum se demonstrează asta.)

Este cel puțin una din cele trei valori care nu se divide nici cu 2, nici cu 3.
Presupunem că aceasta este z. Scriem :
unde

Valorile și sunt prime între ele, altfel un factor prim comun ar trebui să dividă
sau .

Dar acest factor nu poate fi trei, pentru că z nu este divizibil cu 3. (prin presupunerea inițială)
Deci ar trebui să fie unul din factorii lui x sau y și divizând x+y ar divide în același timp x și y ceea ce este imposibil.(prin faptul că x și y sunt prime între ele.)

În aceste condiții, egalitatea (2) impune ca și să fie ambele cuburi. Fie
Astfel, după cum rezultă din lemma anterioară, dacă nici x, nici y nu este divizibil cu 6, atunci x-y trebuie să fie divizibil cu 6.
Dar aceasta este imposibil pentru că x și y sunt unul par și unul impar. (rezultă din faptul că z a fost presupus ca fiind soluția care nu se divide cu 6, acesta fiind impar, celelalte două nu pot fi ambele impare, sau ambele pare)

Aceste două leme demonstrate, revenim la ecuația (1) unde presupunem că z este soluția care se divide cu 6. În consecință, notăm :
Avem așadar,
x,y,t nefiind divizibile nici cu 2, nici cu 3.

Căutăm cum se distribuie factorii 2 și 3 în primul membru. (pentru că acum s-a presupus că z este divizibil cu 6, deci este par, iar x, y, z prime între ele, rezultă că x și y sunt impare) este par,  în timp ce este impar, deci factorul este conținut în .

Pe de altă parte avem:
Atunci

(Ultimele congruențe rezultă evident din cele anterioare, dar acest pas putea fi sărit în demonstrație, putându-se trece direct la a arăta că dacă z se divide cu 3, iar x și y nu, prin suma acestora două din urmă la puterea a treia, se ajunge la un număr divizibil cu 3, doar dacă unul este de forma 3k+1, iar celălalt de forma 3q-1, concluzie la care se ajunge și în continuare în demonstrația respectivă)

Nu putem avea pentru că dacă ar fi așa niciunul din factorii și n-ar fi divizibili cu 3 (deci nici z). Avem așadar  .
Pentru că nimic nu distinge încă x de y, putem presupune că
Atunci cei doi factori   și sunt ambii divizibili cu 3. Dar al doilea nu este divizibil cu 9, pentru că notând x=3h+1 și y=3k-1, se ajunge la
Pe de altă parte,   și nu pot avea alți factori comuni cu excepția lui 3, pentru că așa cum am văzut mai sus, un alt factor comun ar divide 3xy.

(O mică paranteză, toată această ultimă parte, și nu numai, poate fi demonstrată mult mai simplu și ușor de înțeles, deși și de aici rezultă destul de evident. Faptul că p prim poate fi singurul factor comun atât în dezvoltarea diferenței, cât și a sumei a două numere prime între ele la puterea p, s-a demonstrat generalizat și mult mai simplu chiar pe acest forum, de către Mezei Geza. )

Rezultă din toate acestea că :
u, v nefiind divizibile nici cu 2, nici cu 3 și sunt prime între ele.
A doua ecuație a sistemului se scrie :
valorile și fiind numere întregi așa cum rezultă din sistemul (3).
Atunci, ca mai sus, avem pentru v expresia :
și pentru și unul din sistemele următoare de valori :
sau
sau
unde sistemele precedente de valori schimbă semnele și este inutil de a scrie pentru că le putem deduce din cele precedente schimbând semnele lui și .
Din aceste trei sisteme de valori, ultimele două sunt inacceptabile.
De fapt, din al doilea se ajunge la
de unde
unde
egalitate imposibilă pentru că termenii și sunt divizibili cu 9, în timp ce 3y nu este (pentru că y nu se divide cu 3, dacă am presupus că z se divide cu 6).
Imposibilitatea celui de-al treilea sistem se vede scriind de asemenea : .
Rămâne așadar :
Atunci prima ecuație a sistemului (4) devine :
(din a doua ecuație de mai sus și din prima din sistemul (4), de fapt, se ajunge la)
Oricare doi din factorii primului membru sunt valori prime între ele, altfel un factor comun al acelor numere ar divide x și y. Deci oricare dintre ele este un cub și avem (pentru că al doilea membru este un cub) :

unde factorul 3 intră doar într-unul din factorii q, r, s.
Avem atunci
ecuație de aceeași formă ca ecuația inițială (1). Valorile necunoscutelor sunt prime între ele două câte două. Mai mult, ele sunt toate diferite de 0, pentru că altfel u ar fi nul și în consecință, de asemenea și z. Dar cele trei valori q, r, s, care ar conține factorul 3, l-ar conține doar la o putere n-1, cum rezultă din egalitatea (5).
Astfel am dedus din soluțiile presupuse ale ecuației (1), alte soluții, din care niciuna nu este nulă, pentru aceeași ecuație și unde factorul 3 ar fi conținut cu un exponent diminuat cu o unitate.
Din aproape în aproape am ajunge așadar, la soluții pentru această ecuație nedivizibile cu 3, ceea ce este imposibil.
Corolar:
Teorema lui Fermat este adevărată pentru toate valorile de n care se divid cu 3.

Asta este demonstrația așa cum este ea scrisă în acel volum.
Acum, ajuns încă o dată la finalul ei, aș avea totuși o nelămurire.
Faptul că nu reiese de nicăieri că aceeași soluție se divide și cu 3, și cu 2 este oarecum irelevant pentru că demonstrația nu se bazează pe factorul 2, ci pe cel cu 3. Ar fi fost frumos să fie demonstrat și faptul că, obligatoriu, una din soluții trebuie să se dividă cu 3, pentru că, după cum am văzut și la finalul acesteia, demonstrația, în tot ansamblul ei, bazează pe această soluție divizibilă cu 3.
Dar nici asta nu e o problemă, pentru că acest lucru îl pot demonstra și eu, într-adevăr destul de ușor.

Dar cred că demonstrația este incompletă, pentru că după demonstrarea celor două leme, demonstrația se bazează până la final doar pe presupunerea că z se divide cu 6, ajungându-se la a se arăta imposibilitatea acestui lucru. Dar din a doua lemă rezultă că una din soluțiile x, y, z una se divide cu 6. Demonstrația nu a luat în calcul cazul în care soluția divizibilă cu 6 este una din soluțiile x sau y, ci doar cazul în care z se divide cu 6.
Probabil că demonstrația s-ar fi bazat pe același raționament, ajungându-se la reprezentări asemănătoare prin formulele de multiplicare a formelor.

Îmi scapă mie ceva, sau am dreptate, demonstrația nu ia în calcul situația în care x sau y se divide cu 6 ?
Voi ce ziceți ?

Cred că voi reveni ulterior asupra demonstrației anterioare, pentru că nu sunt complet convins, demonstrația fiind totuși destul de greoaie și dificil de înțeles. Eventual voi încerca, pe baza principiului pe care a fost construită, să o reproduc într-un mod mai clar, unde implicațiile rezultă printr-un mod mai ușor de înțeles, analizând și situația în care una din valorile x sau y este soluția care se divide cu 3.

În continuare, voi prezenta demonstrația cazului n=4, așa cum este scrisă acolo, fără alte comentarii personale, demonstrație care este bazată pe principiul dezvoltat de Fermat însuși, reprodusă de Frenicle de Bessy, ceva mai simplă și mai ușor de înțeles.

Teorema lui Fermat pentru cazul n=4

Acestă teoremă se enunță :
Ecuația nu are alte soluții, cu excepția celor unde una din necunoscutele x sau y are o valoare nulă. Vom demonstra acest rezultat pentru o ecuație mai generală, și anume
Această ecuație nu are alte soluții cu excepția celor pentru care una din valorile x sau y este nulă.
Putem presupune că soluțiile x, y, z sunt prime între ele.
Presupunem de fapt, că ele ar avea un factor prim comun p. Punând
ecuația devine
Deci z' trebuie să se dividă cu p. Notând z'=pz" se ajunge la
Dacă valorile x' , y' , z" ar avea încă un factor prim comun am repeta raționamentul până când s-ar ajunge la o ecuație de forma (1) în care valorile necunoscutelor n-ar mai avea niciun factor prim comun.
În particular, valorile celor trei necunoscute nu sunt pare; ele nu pot fi două pare și unul impar și nici toate trei impare. Deci este o soluție pară și două impare.
Transformând ecuația în congruență (mod 4) observăm că nu este posibil ca x și y să aibă valori impare și z o valoare pară. Deci z are o valoare impară, una din necunoscutele x sau y, spre exemplu x, are o valoare pară și cealaltă necunoscută, y, are o valoare impară. Fie
y fiind impar. Ecuația devine
x' , y, z având valori impare, fără factori comuni. Vom face demonstrația pentru o ecuație mai generală:
Această ecuație se scrie :
Putem observa că cel mai mare divizor comun al lui și este egal cu 2. Deci avem :
Dar al doilea sistem derivă din primul schimbând z în -z, în , u cu v și v cu u. Este suficient așadar, de a considera doar primul sistem. Ajungem la
Dacă n>1, transformând această ecuație în congruență (mod 4) se obține
Deci și ecuația (3) devine :
adică o ecuație de aceeași formă cu ecuația (2), dar exponentul n diminuat cu o unitate. Repetând acest procedeu ori de câte ori este necesar ajungem la o ecuație de aceeași formă cu ecuația (2), însă unde n=1, adică
Ori transformând aceasta din urmă în congruență mod 8, observăm că ea este imposibilă.
Teorema lui Fermat este, așadar, adevărată pentru n=4.
Remarcă
Este evident că dacă teorema lui Fermat este adevărată pentru o valoare de n, ea este de asemenea și pentru valoarea lui n multiplul precedentului. Deci teorema lui Fermat este adevărată pentru toate valorile lui n divizibile cu 4.