Cazul n=4 al Teoremei lui Fermat

Scris de **curiosul** Sam 12 Oct 2013, 15:10

Mi-am permis să deschid un subiect separat plecând de la ultimele 3 mesaje din alt topic pentru că o analiză mai amănunțită ar putea demonstra cazul particular al acestei teoreme.
Mă bazez, în limita timpului său disponibil, pe părerile și observațiile lui Geza, pentru care îi mulțumesc.
În subiectul respectiv

curiosul a scris:Ecuația $\mathbf{a^2+b^2=2c^2}$ are alte soluții cu excepția soluțiilor $\mathbf{1^2+7^2=2\cdot 5^2}$ ?
Dacă da, pot fi generalizate soluțiile întregi ale acestei ecuații după o anumită exprimare generală a lor ?

și

curiosul a scris:OK, mersi Geza.
Întrebarea a apărut analizând $\mathbf{x^4+y^4=z^4}$ și aducând egalitatea la forma unei ecuații pitagorice $\mathbf{{x}'^2+{y}'^2={z}'^2}$ , unde $\mathbf{{x}'=x^2}$ , $\mathbf{{y}'=y^2}$ , $\mathbf{{z}'=z^2}$ cu soluțiile

$\mathbf{{x}'=x^2=\frac{u^2-v^2}{2}\Rightarrow 2x^2=u^2-v^2}$

$\mathbf{{y}'=y^2=uv}$

$\mathbf{{z}'=z^2=\frac{u^2+v^2}{2}\Rightarrow 2z^2=u^2+v^2}$

cu u, v impare prime între ele.

Geza, am luat-o băbește, prin calcul numeric, încercând ca apoi, pe baza constantelor pe care le pot observa să încerc să generalizez o modalitate de exprimare a soluțiilor ecuației $\mathbf{a^2+b^2=2c^2}$ , a, b, c impare, prime între ele.

Am analizat pentru început situația în care una din valorile a sau b este 1.
Am dat, cel puțin în partea de început a soluțiilor consecutive peste o constantă, într-un fel sau altul.
Iată prime valori numerice care respectă condițiile :
$\mathbf{1^2+b^2=2\cdot c^2 }$
$\mathbf{1^2+7^2=2\cdot5^2 }$
$\mathbf{1^2+41^2=2\cdot29^2 }$
$\mathbf{1^2+239^2=2\cdot169^2 }$
$\mathbf{1^2+1393^2=2\cdot985^2 }$
$\mathbf{1^2+8119^2=2\cdot5741^2 }$
...
Dacă am nota valorile 7, 41, 239, 1393, 8119,...cu $\mathbf{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},..}$ observăm că relația de recurență este $\mathbf{b_{n+1}=6b_{n}-b_{n-1}}$ , iar în mod similar pentru c, $\mathbf{c_{n+1}=6c_{n}-c_{n-1}}$ .

Întrebarea mea acum este dacă în acest caz, pentru a=1, toate soluțiile ecuației $\mathbf{1^2+b^2=2\cdot c^2}$ pot fi obținute prin relația de recurență de mai sus.
Deocamdată doar am calculat, fără să încerc să stabilesc prin ecuații algebrice dacă rezultă acest lucru.
Cum am spus, pentru moment voi face doar calcule numerice, pentru a verifica constantele care apar, urmând să încerc să generalizez o exprimare prin care se pot găsi soluțiile ecuației $\mathbf{a^2+b^2=2\cdot c^2}$ pentru a, b, c impare, prime între ele.
Dacă ai timp, orice părere mi-ar fi utilă, iar în continuare voi încerca să găsesc constante între soluțiile ecuației pentru a=3,5,7,9..., încercând ulterior să observ dacă există și dacă poate fi formulată o relație de recurență generală.

Scris de **curiosul** Sam 12 Oct 2013, 15:44

Geza, se pare că dacă valorile a, b, c sunt toate mai mari ca 1, ca și soluții ale ecuației $\mathbf{a^2+b^2=2c^2}$ , atunci ele au un factor comun.

Dacă una dintre valorile a sau b este egală cu 1, a să spunem, ecuația are soluții prime între ele, impare, așa cum rezultă de mai sus.
Dacă a este mai mare ca 1, soluțiile ecuației sunt soluțiile pentru a=1 înmulțite toate cu un număr impar.
Spre exemplu, dacă $\mathbf{1^2+7^2=2\cdot 5^2}$ , atunci $\mathbf{3^2+(3\cdot 7)^2=2\cdot (3\cdot 5)^2}$ , precum și pentru toate celelalte cazuri.
Evident prin simplificarea ecuației cu factorul comun impar respectiv la puterea 2.

Dacă a, b, c sunt mai mari ca 1, atunci ecuația nu admite soluții a, b, c impare, toate prime între ele.
Rămâne să demonstrăm asta.
Prin calcul numeric se verifică, cel puțin pentru valorile pe care le-am încercat, dar trebuie o demonstrație.

Scris de **curiosul** Sam 12 Oct 2013, 16:53

Să-ți arăt, Geza, pentru început, cea mai simplă demonstrație a faptului că soluțiile întregi ale ecuației $\mathbf{a^2+b^2=c^2}$ trebuie să poată fi exprimate
$\begin{cases} \mathbf{a=\frac{u^2-v^2}{2}}\\ \mathbf{b=uv}\\ \mathbf{a=\frac{u^2+v^2}{2}} \end{cases}\Rightarrow a^2+b^2=c^2$

Ecuația $\mathbf{a^2+b^2=c^2}$ admite soluții întregi prime între ele. Una din soluțiile a sau b este o soluție impară, altfel, dacă ambele ar fi pare, atunci c ar fi de asemenea o soluție pară, iar ecuația nu ar avea soluții prime întyre ele, caz în care toate s-ar divide cu 2. Deci una din soluțiile a sau b este un întreg impar. Fie b soluția impară.
$\mathbf{a^2+b^2=c^2}$
$\mathbf{b^2=(c-a)(c+a)}$ , unde c si a au paritate diferită, în același timp nefiind divizibile de un număr prim impar, de unde rezultă că atât c-a, cât și c+a sunt prime între ele, iar din egalitatea $\mathbf{b^2=(c-a)(c+a)}$ rezultă că ambele sunt pătrate perfecte.
Fie b=uv, ceea ce înseamnă că $\mathbf{(c-a)=v^2}$ , iar $\mathbf{(c+a)=u^2}$ .
Atunci $\mathbf{(c-a)+(c+a)=u^2+v^2}$ , deci $\mathbf{c=\frac{u^2+v^2}{2}}$ , iar $\mathbf{(c+a)-(c-a)=u^2-v^2}$ unde $\mathbf{a=\frac{u^2-v^2}{2}}$ .
Deci soluțiile a, b, c primitive ale ecuației trebuie obligatoriu să poată fi exprimate în acest fel.

În cazul ecuației $\mathbf{(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2}$ , cum rezultă de mai sus, avem soluțiile pentru y impar :
$\begin{cases} \mathbf{u^2-v^2=2x^2} \\ \mathbf{ uv=y^2}\\ \mathbf{u^2+v^2=2z^2} \end{cases}$

cu uv impare prime între ele.
Dacă, am presupune că observațiile mele din mesajele mele sunt adevărate, iar ecuația $\mathbf{u^2+v^2=2z^2}$ nu admite soluții u, v, z impare prime între ele, mai mari ca 1, ci doar cazul în care una din valorile u sau v este egal cu 1, atunci din a doua relație a sistemului rezultă că $\mathbf{y^2=u\Rightarrow u={u}^'2}$ și înlocuind în prima relație a sistemului ar rezulta că
$\mathbf{{u}^{'4}-1=2x^2}$
$\mathbf{({u}^{'2}-1)({u}^{'2}+1)=2x^2}$ , unde cele două paranteze sunt două numere pare consecutive, singurul lor factor comun putând fi doar 2.
Putem demonstra că z este obligatoriu impar pentru soluțiile x, y, z ca fiind soluții primitive ale ecuației $\mathbf{(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2}$ , aducând ecuația la forma
$\mathbf{(x^2+y^2-z^2)(x^2+y^2+z^2)=2x^2y^2}$ , unde dacă am presupune că x și y sunt impare, atunci membrul din stânga se divide cu 4 în timp ce acela din dreapta doar cu 2.
Deci dacă y este impar atunci x este par și notăm $\mathbf{({u}^{'2}-1)(({u}^{'2}+1)=2(2^n{x}'{x}'')^2}$ , iar dacă singurul factor comun al celor două paranteze din stânga este doi, una dintre ele va fi $\mathbf{({u}^{'2}-1)=2{x}''^2}$ , iar cealaltă va fi $\mathbf{({u}^{'2}+1)=2^{2n}{x}'^2}$ , sau invers.
Pentru oricare situație, una din valorile $\mathbf{({u}^{'2}+1)}$ sau $\mathbf{({u}^{'2}-1)}$ va fi un pătrat perfect, situație imposibilă în ambele cazuri.
Cu alte cuvinte, nu există întregi s, t astfel încât $\mathbf{s^2+t^2=1}$ , sau $\mathbf{s^2-t^2=1}$ .

Deci trebuie demonstrat că ecuația $\mathbf{a^2+b^2=2c^2}$ nu are soluții a, b, c impare, prime între ele, toate mai mari ca 1, ci doar cazul în care una din soluțiile a sau b este egală cu 1.

Scris de Continut sponsorizat

Cazul n=4 al Teoremei lui Fermat

Cazul n=4 al Teoremei lui Fermat

Re: Cazul n=4 al Teoremei lui Fermat

Re: Cazul n=4 al Teoremei lui Fermat

Re: Cazul n=4 al Teoremei lui Fermat