Deducerea Transformărilor Lorentz-Einstein

Șters

ilasus a scris:Presupun că pe o șosea rectilinie pe care sunt fixate două repere O, O’ la distanța x₁ unul față de altul, un mobil M se deplasează - în sensul de la O înspre O’ - cu viteza constantă u (u>0), astfel că în momentul inițial (t=0), mobilul M se află în locul inițial, adică în dreptul reperului fix O, iar în momentul t, așadar după un timp t măsurat începând din momentul inițial, mobilul M se află la distanța
 x = ut
în raport cu reperul O, respectiv la distanța
x₂ = x - x₁
în raport cu reperul O’. Deci în raport cu reperele O, O’, mobilul M parcurge distanțele x (în raport cu O), x₁ (între O și O’) și x₂ (în raport cu O’) în intervalele de timp
t = x/u
 t₁ = x₁/u
și respectiv
t₂ = t – t₁
Dacă presupun însă că reperul O’ nu este fix, ci unul mobil care se deplasează în același sens cu M și a parcurs x₁ = vt  
în timpul t cu viteza v

Asta era de dedus ?

Trunchiază subiectul. Editarea nu merge. Ce se întâmplă?

Ce-i cu mesajul ăsta: ’Utilizarea HTML este limitată’?
De ce îmi trunchiază subiectul?

Încerc încă o dată să trimit articolul, poate de data asta reușesc.

Presupun că pe o șosea rectilinie pe care sunt fixate două repere O, O’ la distanța x₁ unul față de altul, un mobil M se deplasează - în sensul de la O înspre O’ - cu viteza constantă u (u>0), astfel că în momentul inițial (t=0), mobilul M se află în locul inițial, adică în dreptul reperului fix O, iar în momentul t, așadar după un timp t măsurat începând din momentul inițial, mobilul M se află la distanța

                                       x = ut

în raport cu reperul O, respectiv la distanța

                                     x₂ = x - x₁

în raport cu reperul O’. Deci în raport cu reperele O, O’, mobilul M parcurge distanțele x (în raport cu O), x₁ (între O și O’) și x₂ (în raport cu O’) în intervalele de timp

                                        t = x/u
                                       t₁ = x₁/u
și respectiv
                                       t₂ = t – t₁

Dacă presupun însă că reperul O’ nu este fix, ci unul mobil care se deplasează în același sens cu M și a parcurs distanța

                                        x₁ = vt  

în timpul t cu viteza v<u în raport cu O, atunci în raport cu reperul O’, mobilul M parcurge distanța

                                       x₂ = x - vt

în timpul

                       t₂ = t – t₁ = t – x₁/u = t – vt/u = t – (v/u²)x

unde

                                        t₁ = (v/u²)x

este timpul în care mobilul M parcurge distanța x₁=vt dintre reperele O și O’. În concluzie, dacă în raport cu reperul O, mobilul M se deplasează pe distanța x în timpul t conform relațiilor

                       (1)         x = ut,  t = (1/u)x

iar între reperele O și O’, mobilul M se deplasează pe distanța x₁ în timpul t₁ date de relațiile

                       (2)        x₁ = vt,  t₁ = (v/u²)x

atunci în raport cu reperul O’, mobilul M se deplasează pe distanța x₂ în timpul t₂ exprimate de relațiile

                     (3)    x₂ = x – vt,  t₂ = t – (v/u²)x

În continuare, despre reperul O’ voi presupune că este fixat pe o platformă  aflată în mișcare pe șosea cu viteza constantă v. În acest caz, relațiile (1), (2) și (3) exprimă deplasarea mobilului M pe șosea, deci în raport cu platforma și nu pe platformă. Faptul că ’în raport cu platforma’ nu este totuna cu ’pe platformă’, deci că aceste sintagme exprimă lucruri diferite, mi se pare evident: cât timp mobilul M se deplasează ’în raport cu platforma’, așadar pe șosea, este exclusă posibilitatea ca acesta să fie în mișcare ’pe platformă’. Desigur, însă, că mobilul M se poate deplasa și pe platformă, însă pe o altă distanță x’ diferită de x și într-un alt timp t’ diferit de t, deci distanțele și intervalele de timp parcurse de M pe platformă nu vor putea fi aceleași cu cele parcurse de M pe șosea. De exemplu, dacă presupun că în raport cu reperul O’ fixat pe platformă, mobilul M se deplasează (pe platformă) pe distanța x’ în timpul t’ conform relațiilor

                       (1’)         x’ = ut’,  t’ = (1/u)x’

iar între reperele O și O’, mobilul M se deplasează pe distanța x’₁ în timpul t’₁ date de relațiile

                       (2’)        x’₁ = vt’,  t’₁ = (v/u²)x’

atunci în raport cu reperul O aflat pe șosea, mobilul M se deplasează pe distanța x’2 în timpul t’2 exprimate de relațiile

                     (3’)    x’₂ = x’ + vt’,  t’₂ = t’ + (v/u²)x’

Precizez că relațiile (1’), (2’) și (3’) pot fi deduse în același mod în care au fost deduse și relațiile (1), (2) și (3) din cazul precedent. Însă spre deosebire de primul caz, în care mobilul M și reperul O’ se deplasau în același sens în raport cu reperul O considerat în repaus relativ, în cazul de față mobilul M și reperul O se deplasează în sensuri opuse în raport cu reperul O’ considerat în repaus relativ.

Să remarcăm, în continuare, că distanțele și intervalele de timp omoloage exprimate în relațiile (1), (3’) și (1’), (3), adică distanțele x, x’₂ și x’, x₂, respectiv intervalele de timp t, t’₂ și t’, t₂, pot fi cel mult proporționale. Mai exact, factorul k din în egalitățile

                          (4)    x = k(x’ + vt’),  t = k(t’ + (v/u²)x’)
                          (4’)   x’ = k(x - vt),  t’ = k(t - (v/u²)x)

nu poate fi unitar. De exemplu, dacă încercăm să rezolvăm sistemul de ecuații Cramer (4) în necunoscutele x’, t’, sau sistemul de ecuații Cramer (4’) în necunoscutele x, t, constatăm că acestea au soluțiile (4’) și respectiv (4), numai dacă factorului k îi atribuim valoarea exprimată de relația

                                    (5)   k = 1/(1 – v²/u²)^1/2

Dacă presupun că u=c, unde c este viteza luminii în vid, atunci relațiile  (4), (4'), cu k dat de (5), se identifică cu transformările Lorentz-Einstein, în acest caz k fiind factorul Lorentz.

Și există vreo întrebare în topic? Sau se dorește a fi un topic educațional?

Rog citiți articolul intitulat 'Deducerea Transformărilor Lorentz-Einstein' din postarea precedentă și spuneți-vă punctul de vedere - dacă aveți. Cum se constată, deduc aceste vestite formule doar cu mijloacele fizicii clasice, deci fără a apela la principiile Teoriei Relativității. E posibil? Greșesc pe undeva?

Păi, totul este ok până la „factorul Lorentz”. Acest factor nu poate fi obținut CONCRET decât în ipoteza că viteza luminii are aceeași valoare față de oricare dintre observatori.

Abel Cavaşi a scris:Păi, totul este ok până la „factorul Lorentz”. Acest factor nu poate fi obținut CONCRET decât în ipoteza că viteza luminii are aceeași valoare față de oricare dintre observatori.

Din mesajul mai sus citat înțeleg faptul că articolul meu este 'ok', adică este corect. În ce privește valoarea factorului k, aceasta poate fi calculată pentru orice viteze u și respectiv v (v<u), deci și în cazul u=c (c=399 792 458 m/s în vid). Iar dacă (vezi articolul) un mobil M se poate deplasa cu aceeași viteză (u) atât pe șosea, cât și pe platformă, fără a fi necesară o ipoteză în acest scop, în mod sigur o astfel de ipoteză nu va fi necesară nici în cazul în care M este un semnal luminos.

Nu functioneaza bine tiparirea raspunsurilor.

ilasus a scris:Presupun că pe o șosea rectilinie pe care sunt fixate două repere O, O’ la distanța x₁ unul față de altul, un mobil M se deplasează - în sensul de la O înspre O’ - cu viteza constantă u (u&gt;0), astfel că în momentul inițial (t=0), mobilul M se află în locul inițial, adică în dreptul reperului fix O, iar în momentul t, așadar după un timp t măsurat începând din momentul inițial, mobilul M se află la distanța

                                       x = ut

în raport cu reperul O, respectiv la distanța

                                     x₂ = x - x₁

în raport cu reperul O’. Deci în raport cu reperele O, O’, mobilul M parcurge distanțele x (în raport cu O), x₁ (între O și O’) și x₂ (în raport cu O’) în intervalele de timp

                                        t = x/u
                                       t₁ = x₁/u
și respectiv
                                       t₂ = t – t₁

Dacă presupun însă că reperul O’ nu este fix, ci unul mobil care se deplasează în același sens cu M și a parcurs distanța

                                        x₁ = vt  

în timpul t cu viteza v<u în raport cu O, atunci în raport cu reperul O’, mobilul M parcurge distanța

                                       x₂ = x - vt

în timpul

                       t₂ = t – t₁ = t – x₁/u = t – vt/u = t – (v/u²)x

unde

                                        t₁ = (v/u²)x

este timpul în care mobilul M parcurge distanța x₁=vt dintre reperele O și O’. În concluzie, dacă în raport cu reperul O, mobilul M se deplasează pe distanța x în timpul t conform relațiilor

                       (1)         x = ut,  t = (1/u)x

iar între reperele O și O’, mobilul M se deplasează pe distanța x₁ în timpul t₁ date de relațiile

                       (2)        x₁ = vt,  t₁ = (v/u²)x

atunci în raport cu reperul O’, mobilul M se deplasează pe distanța x₂ în timpul t₂ exprimate de relațiile

                     (3)    x₂ = x – vt,  t₂ = t – (v/u²)x

Remarcăm că prima egalitate din (3) este de fapt transformarea Galilei, conform căreia mobilul M se deplasează cu viteza u-v în timpul t în raport cu reperul O’ fixat pe platformă. Deci care este adevărul: în raport cu reperul O’ fixat pe platformă, mobilul M se deplasează cu viteza u cum rezultă din relațiile (3), sau cu viteza u-v cum rezultă din transformarea Galilei? Eu cred că transformarea Galilei ignoră intervalele de timp t₁ și t₂ în care mobilul M se deplasează pe distanțele x₁ și respectiv x₂, deoarece nu au fost sesizate – dacă Galilei ar fi sesizat aceste intervale de timp, atunci transformarea Galilei s-ar fi identificat cu ambele relații din (3), nu doar cu prima dintre aceste relații. Într-o asemnea ipoteză, care ar fi fost consecințele?

Salut, ilasus!
Cred că ai amestecat situațiile.
Ai formulat mai întâi t1=x1/u pentru situația în care O' este fix, după care x1=vt pentru situația în care O' este în mișcare.
Ce ai făcut tu ulterior, în t2=t-t1, l-ai înlocuit pe t1 din situația cu O' fix în situația cu O' mobil și de aia ai și ajuns la rezultatul la care ai ajuns.
Cred că ai amestecat un pic situațiile și ai dezvoltat ecuațiile ca și cum cele două situații ar fi avut loc simultan, O' fix, O' mobil simultan.
Greșesc?

În mesajul în care ai și dezvoltat până la factorul Lorentz restul mi se pare ok, doar asta cred eu că e greșeala.
În schimb, ciudățenia faptului că ai ajuns "galileean" la factorul Lorentz , din expunerea ta se poate "extrage" tocmai principiul relativității restrânse.
Interpretând altfel expunerea ta, dacă ai considera un reper, O' în cazul tău, simultan atât în mișcare, cât și în repaus, poți să ajungi la factorul Lorentz.
În schimb, în TRS, postulând că lumina are aceeași viteză indiferent de sistemul de referință, fie că se mișcă, fie că e în repaus, ai putea inversa asocierea exact cu ceea ce ai greșit tu, adică ai putea considera acel sistem de referință atât în repaus, cât și în mișcare simultan (raportat la constanta vitezei luminii).

Greșești. Raționamentul e alcătuit din doua părți pentru claritatea expunerii. De fapt prima parte – cea în care O’ se află la distanța fixă x₁ în raport cu O - nici nu e necesar să fie prezentată. Sper să-ți dai seama – în caz contrar, putem discuta mai pe larg despre acest aspect. În ce privește restul comentariilor, eu cred că ai să le reformulezi dacă vei vedea o variantă mai nouă a articolului (o pot prezenta și aici dar înțeleg că nu merg actualizările) – vezi prima postare a lui ilasus (adică a mea) din topicul ’relații ilasusiene’ pe scientia.ro: https://forum.scientia.ro/index.php/topic,5491.0.html

Măi ilasus, am recitit, am reanalizat și parcă tot mi se pare că ai încurcat "borcanele".
Sau mai bine zis le-ai amestecat.
S-o luăm pas cu pas.

Dacă x1=vt înseamnă că în momentul t=0, O coincide cu O', pentru că altfel, dacă în momentul t0 între O și O' este o distanță x'1, atunci ecuația completă ar fi x1=x'1 +vt.
Dacă nu l-ai luat în calcul pe x'1, înțeleg că O coincide cu O' la momentul t=0, iar cât timp t, corpul M parcurge distanța x, reperul O' parcurge distanța x1, ambele față de O.

Atunci, în situația cu O' mobil, t1 nu mai este același din situația cu O' fix la distanță x1 de O, t1 reprezentând timpul necesar lui M pentru a parcurge distanța dintre O și O'.
În acest caz, cu O' mobil, ai un alt timp t'1 necesar lui M pentru a parcurge distanța dintre O și O', care nu mai este x1, pentru că x1 este distanța dintre O și O' la momentul t.

În consecință, nu mi se pare corect să înlocuiești ulterior, în t2=t-t1, pe t1 cu x1/u.
Dacă procedezi așa înseamnă că t=t1.

Din acest motiv am zis că ai amestecat situațiile.
Corectează-mă dacă greșesc.

Ca să judeci corect, trebuie să ai în vedere că te afli în momentul t și analizezi două cazuri echivalente în legătură cu distanța x₁ parcursă de M cu viteza u în timpul t₁: 1) O’ a rămas în repaus în timpul t la distanța x₁ în raport cu O (x₁=ut₁) și 2) O’ s-a deplasat cu viteza v în timpul t pe distanța x₁ în raport cu O (x₁=vt). Deci în aceste cazuri vorbim de aceeași distanță x₁=ut₁=vt și de același timp t₁=x₁/u=vt/u. Mai poți remarca, dacă vrei, că pe de-o parte, M și O’ au parcurs aceeași distanță x₁ cu viteze diferite (u și respectiv v) în intervale de timp diferite (t₁ și respectiv t), și pe de altă parte, că în același timp t, M și O’ au parcurs distanțe diferite (x și respectiv x₁) cu viteze diferite (u și respectiv v).

Păi ia să vedem.
Am făcut și o animație, nu e prea clară dar ceva, ceva se distinge:



E ok, discutăm pe baza ei?

Mai întâi, hai să lămurim un lucru.
t₁ reprezintă timpul necesar lui M pentru a parcurge distanța echivalentă dintre O și O', corect?
Plecând de la asta, ne referim strict la distanța dintre O și O'.
În cazul 2, cu O' mobil, ceea ce ne interesează este momentul când distanța dintre O și O' este egală cu distanța parcursă de M.
Că notațiile t₁ și x₁ pe care le-ai folosit asta exprimă ele și despre asta vorbesc ele.
Și aici e problema, fie a mea, fie a ta, rămâne să lămurim.
Nu știu dacă înțelegi ce vreau să spun, dar discutăm.
Eventual și pe baza animației din mesajul anterior.

Cred totuși că e o problemă de context undeva și asta ne duce în eroare, fie pe mine, fie pe tine.
Ia să vedem!
Din modul în care ai folosit notațiile eu înțeleg așa:

t₁ este timpul necesar lui M pentru a parcurge o distanță x₁ , echivalentă cu distanța dintre O și O'

Iar problema de context apare în momentul în care O' este mobil la rândul lui pentru că între O și O' este o distanță care se modifică continuu, dar diferă momentul de timp în care distanța parcursă de M este echivalentă cu cea dintre O și O'.
Într-un singur moment de timp, t₁, vorbim de această distanță parcursă de M echivalentă cu cea dintre O și O', când O' este mobil, moment t₁ care corespunde atât în cronometrarea mișcării lui O', cât și a lui M, analizând mișcarea lor plecând de la același t=0.
Nu știu ce se înțelege din ce-am scris, în sfârșit...
Moment de timp t₁ care nu mai corespunde cu cel din situația în care O' AR FI fix, nu ESTE fix.
Aici este nedumerirea mea și dacă am dreptate, atunci aici este eroarea ta de raționament care te-a și condus la rezultatul și concluziile finale.
Pentru că ai "amestecat" situațiile.
Cred eu.

Încerc să stabilesc la ce te gândești tu ca să ma gândesc și eu la același lucru. Cred că te gândești la M care parcurge distanța dintre O și O’ în cele două cazuri notate de mine cu 1), când M parcurge distanța fixă x₁ dintre O și O’ și 2), când M parcurge distanța variabilă x₁ dintre O și O’ – parcursă de O’ în timpul t cu viteza v. Și probabil dorești să sugerezi prin intermediul animației că x₁ și t₁ în cele două cazuri ar fi diferite. Dacă e așa, atunci nu văd ce te face să crezi că x₁ și t₁ din aceste cazuri sunt într-adevăr diferite?

Pentru simplitate, am să consder un exemplu. Presupun că în timpul t=5s, M și O’ se deplasează cu vitezele u=5m/s și respectiv v=3m/s în raport cu O. Atunci x=25m, x₁=15m și x₂=10m, iar t₁=(v/u²)x=3s și t₂=2s. Deci în cazul 1), M a parcurs distanța fixă x₁=15m în timpul t₁=3s cu viteza u=5m/s, iar în cazul 2), caz în care O’ a parcurs distanța x₁=15m în timpul t=5s cu viteza v=3m/s, M a parcurs distanța variabilă x₁=15m în timpul t=3s cu viteza u=5m/s, ca și în cazul 1). Deci unde este diferența dintre cazurile 1) și 2) pe care o sugerează giful animat?

Facem altfel.
Hai să luăm în calcul doar cazul 2 când O' este în mișcare și să stabilim semnificația notațiilor.

x₁ este distanța parcursă de M echivalentă cu cea dintre O și O' la momentul t₁ sau la momentul t?
Dacă e la momentul t, ce reprezintă t₁ ?
Dacă e la momentul t₁ , cu t₁ mai mic decât t, atunci la momentul t ce distanță este între O și O'?

Repet, fă complet abstracție de cazul 1.

Citește doar cazul care te interesează.

Cazul 1). O’ se află la distanța x₁=15m față de O în tot timpul t=5s cât durează experimentul, adică din momentul inițial t=0s când e pornit cronometrul, moment în care M se află în același loc cu O, și până in momentul t=5s in care M ajunge la distanța x=ut=25m în raport cu O. Deci în acest caz, M a parcurs distanța x=ut=25m în timpul t=5s cât a durat experimentul, distanța x₁=ut₁=15m între O și O’ în timpul t₁=3s, și distanța x₂=ut₂=10m în raport cu O’ în timpul t₂=2s.

Cazul 2). M și O’ pornesc simultan din O în momentul t=0s de pe cronometru. După un timp t=3s, M ajunge la distanța x₁=ut₁=15m, iar O’ ajunge la distanța vt₁=9m în raport cu O. După încă două secunde, așadar după un timp t=5s de la start, M ajunge la distanța x=ut=25m, iar O’ ajunge la distanța x₁=vt=15m. Deci în acest caz, M a parcurs distanța x=ut=25m în timpul t=5s cât a durat experimentul, distanța x₁=ut₁=15m între O și O’ în timpul t₁=3s (în momentul t=5s, distanța x₁=ut₁=15m parcursă de M în timpul t₁=3s cu viteza u=5m/s este aceeași cu distanța x₁=vt=15m parcursă de O’ în raport cu O în timpul t=5s cu viteza v=3m/s), și respectiv distanța x₂=ut₂=10m în raport cu O’ în timpul t₂=2s.

Ok, am înțeles și unde îmi dădea mie cu virgulă.
Complicam eu lucrurile inutil ducându-mă în eroare acel "între O și O' ".

Dacă nu mai există și alte nedumeriri și consideri totul OK, atunci să revenim la întrebarea pusă. Deci tu ce părere ai, mobilul M se deplasează cu viteza u=5m/s în raport cu platforma, așa cum rezultă din relațiile (3) (și cum am precizat și în postarea precedentă), sau cu viteza u-v=3m/s, așa cum rezultă din transformearea Galilei exprimată în prima egalitate din (3) - și cum știe, de altfel, toată lumea?

Exemplul tău numeric a fost destul de clarificator, iar ceea ce vrei tu să subliniezi prin întrebarea ta este faptul că prin metoda aceasta a ta de "segmentare în doi timpi" a mișcării, viteza lui M față de O' rezultă ca fiind aceeași, fie că O' este în repaus față de O, fie că O' este în mișcare față de O.

Ia să vedem.

În cazul 2, cu O' în mișcare față de O, prin metoda ta ai obținut distanța x₂ parcursă de M față de O' și (sau în) timpul t₂ .
Carevasăzică, în acest fel și în această situație cu O' mobil față de O, viteza lui M față de O' este x₂ / t₂ .

Înlocuind valorile respective, și anume,


și


înlocuindu-l pe t cu x/u ajungi la



Deci prin metoda ta, pentru cazul 2 când și O' este în mișcare față de O cu viteză v, viteza lui M față de O' este tot u, nu este u-v.
Este atât interesant, cât și întrebător, la modul că pe undeva este o greșeală de raționament.
Mai lasă-mă un pic să cântăresc situația.
Cred totuși că undeva ceva este greșit.
Nu în dezvoltarea ecuațiilor, ci mai degrabă în raționamentul pe care l-ai folosit pentru a le construi.
Revin.

Analizăm doar cazul 2 pentru că în această situație ceva dă cu virgulă și s-o luăm din aproape în aproape în sens invers, analizând distanța x₂ și timpul t₂, să vedem ce și unde nu se potrivește.

În mod evident, distanța parcursă de M față de O' în mișcare cu viteză v este x₂=x-vt.
Deci problema e undeva la numitor și ce îmi sare în ochi este pătratul lui "u" din expresia lui t₂.


Să vedem cum a apărut acel u pătrat și analizând ecuațiile și raționamentul în sens invers, se ajunge, de fapt, la expresia lui t₁ care conține acest pătrat.

Deci problema e undeva la t₁.
Aici s-a ajuns de la:



În continuare, reprezintă timpul în care M parcurge distanța x₁ dintre O și O'.
Și aici apare și problema pe care o și tot menționam eu, dar ori nu o înțelegeai tu, ori nu o explicam eu inteligibil și reformulez.

Când ai înlocuit x₁ cu vt apare contradicția cu semnificația notației x₁ la nivelul mișcării lui M, pe care ai "extras-o", ai "preluat-o" din primul caz, cel în care O' este fix.
Nu atât al lui x₁ , cât mai degrabă cu cea a lui t₁.
Pentru că în acest fel t₁ ar trebui să aibă valoarea lui t în al doilea caz cu O' mobil.
Pentru că dacă t₁ semnifică timpul necesar lui M pentru a parcurge distanța echivalentă cu cea dintre O și O', iar tu ai luat pentru asta în calcul distanța "finală" parcursă de O', cea tot de x₁, atunci timpul t₁ este timpul necesar lui O' pentru a parcurge distanța x₁, adică t.

Aici era problema de interpretare și cum îți spuneam, ai amestecat situațiile, ai preluat din cazul 1 aceeași distanță x₁ și pentru cazul 2 și bineînțeles, îți va rezulta același timp t₁.
Dacă apare același timp t₁ și aceeași distanță x₁, din t₂ = t- t₁  și x₂ = x-x₁, normal că obții aceeași viteză pentru M față de O' mobil ca și în cazul lui O' fix.
Înțelegi ce vreau să spun sau încerc să fiu mai clar?

Hai să mă exprim altfel, ilasus, poate un pic mai simplu și mai general.
Greșeala ta din cazul 2, foarte subtilă ce-i drept, s-a strecurat aici:

când ai înlocuit x₁ cu vt.

Pentru că în mișcarea lui M , x₁ este distanță corespondentă momentului de timp t₁, iar în mișcarea lui O' ,  x₁ este distanță corespondentă momentului de timp t, nu tot a momentului de timp t₁.

Înțelegi ce vreau să punctez?

În momentul prezent t, presupunînd că acesta e momentul  când se face analiza cazului 2, x₁ este o distanță fixă și este singura distanță pe care s-a deplasat atât M, în timpul t₁, cât și O’, însă în timpul t. Deci este vorba despre o distanță unică (x₁), parcursă de două obiecte diferite (mobilul M și reperul O’), în imtervale de timp diferite (t₁ și respectiv t), cu viteze diferite (u și respectiv v). De aici eu am tras concluzia că în momentul t, x₁=vt=ut₁ (momentul prezent t este ulterior momentului t₁, deci t₁<t atât ca momente de timp, cât și ca intervale de timp). Deocamdată tu vezi însă două distanțe x₁ (cum pot fi două dacă e una singură?), deoarece timpul în care e parcursă și viteza cu care e parcursă o distanță îi atribuie niște proprietăți speciale datorită cărora distanța respectivă se multiplică (!). Poate n-am înțeles eu bine, dar cam așa rezultă din comentariile tale. Poți să explici mai clar ce vrei să spui?