Cercul si poligoanele regulate

...

Pe Wikipedia găseşti o mulţime de date interesante despre poligonul regulat. Încearcă să vezi acolo dacă găseşti ceea ce doreşti.

Ce este gresit in a folosi teorema lui Pitagora si a defini cercul ca multimea tuturor punctelor egal departate de un punct dat? Asta daca te referi la un spatiu euclidian, dar in functie de ce intelegi prin distanta poti folosi definitia aceasta in orice spatiu metric.

Rationamentul tau care leaga numarul de laturi ale unui poligon regulat cu numarul de drepte paralele care intrunesc conditiile cerute parte corect (stii sa existe o demonstratie riguroasa?), dar nu inteleg pasul in care folosesti trecerea la limita. Exista multimi infinite in care distanta dintre doua elemente apropiate ramane finita. In cazul dreptelor paralele, distanta dintre ele tinde intr-adevar la 0, dar nu inteleg unde contrazice asta definitia cercului, ca desi distanta tinde la 0, daca o integrezi intre doua puncte diametral opuse ale cercului obtii un rezultat finit, anume diametrul acestuia.

...

Înălţimea pe care o cauţi tu o poţi obţine din raza cercului circumscris în funcţie de latură sau de apotemă.

...

Din formula care ţi se dă acolo rezultă că raza este dată în funcţie de latura s şi de numărul de laturi n prin formula

,

iar apotema este, tot din acea formulă,

.

Aşadar, cum le ai pe amândouă în funcţie de latură şi de numărul de laturi, atunci şi suma lor va fi tot în funcţie de latură şi de numărul de laturi.

...

Vrei să spui că tu cauţi o formulă care să nu depindă de numărul de laturi? Atunci de unde să „ştie” înălţimea că face parte dintr-un pentagon, de exemplu, şi nu dintr-un triunghi, că doar ştim că formulele înălţimii diferă de la un pentagon la un triunghi?

...

Eu zic că este imposibil să dai o formulă generală a înălţimii (sau a ariei, de exemplu) şi care să nu depindă de numărul de laturi, ci doar de latura poligonului regulat. Iar această imposibilitate nu cred că arată slăbiciuni ale fundamentelor, căci oricum altfel am fundamenta matematica, nu am putea defini o înălţime (sau o arie) independentă de numărul de laturi. Dacă formula nu ar depinde de numărul de laturi, atunci ea ar arăta la fel pentru orice poligon.

Mai riguros, dacă pentru un poligon am avea că h=f(l), atunci şi pentru alt poligon am avea tot l=f(l). Iar de aici ar rezulta că înălţimea este egală pentru orice poligon, indiferent de numărul de laturi, ceea ce nu este adevărat.

Desigur, te gândeşti probabil la o formulare a funcţiilor care să „ştie” la câte laturi se referă ele. Dar o asemenea formulare nu face decât să aducă o altă variabilă în discuţie (numărul de laturi), caz în care funcţia se transformă dintr-una de o singură variabilă, într-una de două variabile, aşa cum e normal.

...

Curiosule,
Si eu inteleg unde bati!
Incerci sa elimini numarul irational ,,pi'' cum de altfel ai
mai incercat pe topicul ,,Mistere in matematica;banda lui Mobius,sticla lui Klein
Numarul de aur ,numarul ,,,pi'' ...
Daca reusesti sa faci acest lucru eu imi scot palaria in fata
ta ...si cred ca poti edita si matematica psihologiei...

...

curiosul a scris:In cazul in care nu latura ramane egala, ci inaltimea, respectand raportul c, un singur poligon are acel raport.

Deci, să revenim la presupunerea că h=f(l) atât pentru poligonul cu 3 laturi, cât şi pentru cel cu 5 laturi. Alegem două poligoane cu laturi de lungimi egale, de exemplu, 7 cm. După raţionamentul tău (aşa cum l-am înţeles eu), h3=f(7)=f(7)=h5. Deci, obţin că înălţimea este aceeaşi pentru cele două poligoane regulate dacă latura lor este de aceeaşi lungime. Dar asta este absurd, căci înalţimea triunghiului echilateral cu latura de 7 cm nu este egală cu înalţimea pentagonului regulat cu latura de 7 cm.

...

Într-adevăr, înălţimea este unică în funcţie de numărul de laturi, căci dacă h=f(n,1) atunci este suficient să inversă funcţia f ca să obşinem numărul de laturi când cunoaştem înălţimea. Iar funcţia care dă înălţimea când cunoaştem numărul de laturi este, aşa cum am văzut pe Wikipedia
.

Ori, această funcţie este inversabilă pentru unghiuri ascuţite, deci problema ridicată de tine are răspuns afirmativ.

Exprimarea fără funcţii trigonometrice este inutilă, căci complică lucrurile, în sensul că dacă nu am folosi formule trigonometrice, înălţimea ar avea o formă foarte complicată pe măsură ce măreşti numărul de laturi. Dealtfel, exprimarea prin formule trigonometrice are tocmai darul de a scrie simplificat o expresie foarte complexă.

Desigur, oricând doreşti poţi face trecerea de la forma trigonometrică la forma cu radicali ştiind că poţi descompune un unghi în sumă sau diferenţă de alte unghiuri şi aplicând formulele trigonometrice ale sumei şi diferenţei.

În schimb, pare să fie interesantă problema ridicată în legătură cu numerele prime. Chiar dacă nu voi mai interveni atât de des pe acest subiect, îţi voi urmări raţionamentele interesante pe marginea acestei probleme.

Pentru evitarea exprimarii lui ,,pi'' ar trebui plecat de la cele doua relatii matematice prezentate mai sus:
-raportul dintre circomferinta cercului si diametrul lui
-raportul dintre aria cercului si aria patratului delimitat de raza lui
Tinand cont ca matematica actuala a plecat de la Arhimede care l-a calculat pe ,,pi'' pornind de la poligoane regulate inscrise in cerc pana a ajuns la poligonul cu 96 de laturi ...si de acolo calculand ariile etc. a aflat diametrul cercului si implicit nr.,,pi'' cu aproximatie ...3,142857... un nr.irational ,este greu acum sa definim aria cercului sau functiile trigonometrice altfel decat in functie de ,,pi''!

O alta idee ar fi folosirea unei integrale pe contur...

...

Ca să mă înţelegi mai bine la ce fel de combinaţii m-am referit, te trimit iar pe Wikipedia unde vei găsi, de exemplu, că pentru pentagonul regulat te vei putea folosi de faptul că
.
Desigur, găseşti acolo multe alte combinaţii interesante pe care le vei putea folosi pentru orice poligon regulat.

...

Nu stiu daca te ajuta prea mult, pentru ca si radicalii
sunt tot numere irationale.
Forma ,,pi'' este o constanta si este mai scurta.
Asa ca este mai usor de lucrat cu ,,pi''.

In schimb asta :



te-ar putea ajuta, insa nu stiu daca stii sa o aplici?!

...

Curiosu,
Este chiar curios ce afirmi!
Suma unor numere irationale este un numar rational!?
Un numar irational este numarul care are un numar infinit de zecimale
neperiodice dupa virgula si poate fi exprimat ca o fractie zecimala.
Cum poate fi adunarea lor un numar rational?
Eu zic ca daca vrei sa calculezi circumferinta unui cerc sau aria lui fara ,,pi'',
ar fi interesant cum se poate exprima acest lucru cu integrala pe contur...
Oricum numai insist ,faci ce vrei (eu am dat o idee,pe care am sa incerc
sa o materializez luand in considerare raza)

Sunt absolut convins ca daca reusesc sa stabilesc relatia dintre inaltimea si latura unui poligon regulat cu un numar prim de laturi, pot sa exprim PI-ul si pot sa stabilesc o alta relatie de ordine intre numerele prime.

. Poate ca rezolvarea numerica, de care vorbeai, ar fi posibila daca "inversezi" problema. Inteleg prin inversarea ei sa se plece de la un segment de dreapta (latura poligonului= 2l) ales initial si o inaltime aleasa pe mediatoarea segmentului (H). Deci vom avea trei puncte, varfuri ale unui triunghi isoscel. Prin urmare se pleaca de la doua numere alese initial.
. Stiut fiind faptul ca prin trei puncte necoliniare trece un singur cerc (R), urmeaza a se determina raza cercului. Si se "confectioneaza" o formula, de exemplu:
R= (l²+ H²)/(2H)
Ramane sa se asigure conditia ca latura aleasa sa fie a unui poligon regulat (inchis). In acest sens, s-ar putea folosi un program de calcul iterativ. Respectiv o formula iterativa... Cu calculatorul din ziua de azi merge repede un calcul numeric.

. Am impresia ca se poate cauta o rezolvare si pe baza utilizarii suprafetei poligonului.

. In aceeasi logica, se aleg numarul de laturi si lungimea lor, asezate pe o dreapta si considerate mobile, articulate, in genul unei şenile. Se tine o latura fixa iar celelalte sunt deplasate si pozitionate pe rand astfel ca mediatoarele lor sa se intalneasca intr-un singur punct (centrul cercului) iar cele doua capete libere sa se uneasca . Aceasta "imagine" e sinonima cu prima propunere de rezolvare.

...

...

. Numarul irational este un rezultat al conventiei matematice al metricii pe o dreapta, conform careia intre doua puncte de pe dreapta, oricat de apropiate unul de celalalt, mai exista o "distanta" epsilon, mica, mica, mica dar mai mare decat zero. (Ceea ce este doar o presupunere teoretica.)
. In acest fel, numarul PI 3,1415926... (despre care stim ca are un numar infinit de zecimale in succesiune aleatorie) incearca sa precizeze un punct pe o dreapta dar nu reuseste totusi sa-l precizeze/pozitioneze. Intregului 3 i se adauga o prima zecimala (din cele 10 posibile intre intregul 3 si intregul 4), apoi la aceasta zecimala i se adauga 4 sutimi (din cele 10 sutimi posibile intre zecimea 1 si zecimea 2), apoi acestor 4 sutimi i se adauga o miime (din cele 10 diviziuni posibile intre sutimea 4 si sutimea 5), s.am.d.
. Rezulta de aici ca aceasta infinitate de cifre zecimale nu este un rezultat real (nu reprezinta o realitate neaparat) ci o incapacitate a metricii de a preciza pozitia punctului PI pe dreapta (abscisa). (In cazul de fata avem de-a face cu chiar imposibilitatea masurarii unui cerc cu o dreapta, ele fiind principial diferite.)

. De ce se intampla acest lucru? O explicatie (din mai multe), imediata si evidenta: cauza este caracterul discret al numerelor de pe o dreapta. Nu numai ca ele nu ocupa loc (punctul geometric nu are dimensiune) pe dreapta dar intre doua numere vecine exista totdeauna o distanta >0. Practic, intre doua puncte de pe dreapta exista (teoretic) un adevarat Hău, adica practic un infinit. Dar acest infinit este doar o presupunere de-a noastra care nu face decat sa ilustreze incapacitatea reprezentarilor noastre (metrica) de a exprima unele aspecte, ceva.

. Am mai afirmat si alta data ca infinitul nu exista cu adevarat ci este doar incapacitatea noastra de a exprima niste lucruri. Deocamdata. De aceea, se poate recomanda cercetatorilor entuziasti si bine intentionati sa nu absolutizeze nici o notiune caci toate au un domeniu limitat de (definire si) aplicare. Personal, am incasat-o de n ori, de fiecare data cand am avut incredere in formule, teorii si notiuni primite "de-a gata". In practica ele nu functionau (dupa asteptari) niciodata.