Cea mai simplă demonstrație elementară a Marii Teoreme a lui Fermat

Rezumarea primului mesaj :

Ce nu-ți convine la demonstrația asta Dacule ?
Faptul că este plecată de la sistemul tău ?
Faptul că ai falsa părere că meritele tale nu ar mai fi la fel de mari ?
Greșești.
Acesta este un cont nou.
Vedeți voi (administratorii) care le eliminați.
Dacă vreți, puteți să le eliminați pe amândouă,
n-am nimic împotrivă.

În orice triunghi este adevărată relația :



și de asemenea





unde x, y, z sunt laturile triunghiului, iar cosB și cosC,
cosinusurile unghiurilor formate de laturile x și z, respectiv y și z.

Deci în orice triunghi este valabilă egalitatea (1):



Dacă între laturile x, y, z ale unui triunghi este adevărată și egalitatea :



rezultă că este adevărată și egalitatea (2):



Pentru că





atunci putem scrie





Înlocuind în egalitatea (2), ajungem să stabilim că dacă între laturile x, y, z ale unui triunghi este adevărată

egalitatea ,
atunci în acel tiunghi este adevărată egalitatea (3):



În concluzie, în triunghiul în care are loc și egalitatea , atunci în acel triunghi sunt simultan adevărate egalitățile (1)și

(3):





De unde rezultă că :



Pentru că din egalitatea de mai sus, în orice triunghi este adevărată relația



rezultă evident că pentru n diferit de 2, în același triunghi nu poate fi adevărată egalitatea :



Deși x, y, z nu pot fi laturile unui triunghi dacă x+y=z,
pentru n=1, ecuația are soluții reale.
Pentru că laturile x, y, z ale triunghiului pot fi oricare numere reale,
ce îndeplinesc condițiile x+y>z , y+z>x , x+z>y,
ecuația nu are soluții

reale pentru .

Q.E.D

Nu sunt suficiente condițiile y>x și ax=yb, pentru a rezulta că :



Condițiile complete sunt :
ax=yb și
y>x>a>b.
Știm că y>x, iar egalitatea

.

este adevărată doar dacă a>b, atât timp cât y>x, unde



Pentru că x>a, în prima egalitate de mai sus este îndeplinită și condiția y>x>a>b

Luăm un exemplu simplu :

Dacă x este 3 și y este 5 sau 9, nu are loc inegalitatea .
Dacă x este 5 și y 15 are loc inegalitatea , dar nu se respectă condiția ca 5 >9.
Se pare că aceste cazuri trebuiesc analizate ceva mai profund,
iar pentru a valida demonstrația de mai sus trebuie și o demonstrație pentru faptul că sunt suficiente condițiile
ax=yb și
y>x>a>b
pentru a rezulta sistemul



Oricum, aceste exprimări ale unei egalități prin raportarea produsului la sumă pot fi folositoare pentru a ajunge la anumite concluzii în ceea ce privește conjectura abc.
Cred că o voi analiza ceva mai profund după ce mă asigur că demonstrația elementară a teoremei lui Fermat este corectă și completă.

curiosul a scris:
Luăm un exemplu simplu :

Dacă x este 3 și y este 5 sau 9, nu are loc inegalitatea .
Dacă x este 5 și y 15 are loc inegalitatea , dar nu se respectă condiția ca 5 >9.

Am vrut să spun, dar nu am mai avut timp să editez (și aș ruga administratorul dacă poate mări cu vreo 5 minute timpul de editare) :

Luăm un exemplu simplu :

Dacă x este 3 și y este 5 sau 9, nu are loc inegalitatea .
Dacă x este 5 și y 15 are loc inegalitatea , dar nu se respectă condiția ca 5 >9.

Nici aceasta nu este o demonstrație corectă,
pentru că ar însemna că pentru orice x,a,y, b,
dacă y>x, a=b=0, iar acest lucru nu este generalizat pentru orice x, a, y, b.
Deci să vedem cum corectăm greșeala.

Iar greșeala din demonstrație este cea de mai jos :

Să presupunem că dacă y > x și ax = yb rezultă că y+b > x+a.
După care am separat termenii y și a de o parte și de alta a egalității și am înmulțit cu ab :
b-a > x-y
ab(b-a) > ab(x-y)
Firește, aceasta doar dacă considerăm ab diferit de 0.
Cazul A .
ab > 0

Pentru că y > x , termenul din dreapta este negativ.
Inegalitatea este corectă dacă :
1. b-a > 0
2. 0 > b-a și x-y > b-a
În cazul 2 sunt necesare ambele condiții pentru că valoarea negativă a lui b-a trebuie să fie mai mică în modul ca cea a valorii negative x-y în modul, pentru ca ab(b-a) > ab(x-y).
Dar inegalitatea x-y > b-a contrazice inegalitatea inițială y+b > x+a.
În cazul 1. dacă b-a > 0, atunci pentru că y > x, nu există egalitatea ax = yb.

Cazul B
0 > ab
În această situație situația este inversă celei din cazul A și se ajunge la aceleași concluzii.
Prin urmare trebuiesc analizate doar cazurile care nu contrazic
egalitatea inițială xa = yb și inegalitatea y+b > x+a.
Se pare că în orice demonstrație corectă la prima vedere, pot fi strecurate greșeli aproape insesizabile.

Uraaaaa !!!
Gata, am găsit !
Acum se poate demonstra corect și făra greșeală că a=b=0,
pe baza raționamentului de mai sus.

Să mai analizăm o dată demonstrația.

Pentru ceea ce am scris mai jos mai trebuie adăugat ceva.

curiosul a scris:
Deci dacă într-un triunghi sunt adevărate relațiile din primul sistem de mai jos, sunt adevărate și relațiile din al doilea sistem de mai jos :

Corect, dar și cu condiția ca x>b.

Și într-adevăr, există o altă variantă cu un raționament mai eficient și mult mai ușor de verificat.
O mai analizez un pic să fiu sigur și o să o scriu mai târziu.

Iar greșeala din ultima demonstrație este aici:

curiosul a scris:

Pentru că dacă xa=yb și y>x, atunci a trebuie să fie mai mare ca b (a>b).
În citatul de mai sus, am simplificat cu (b-a), adică cu un număr negativ, iar asta schimbă sensul inegalității.
Aici este greșeala !
Să văd dacă noul raționament are și acest tip de greșeli mai greu de sesizat la prima vedere.

Gata, am găsit.
Dar scriu numai concluziile acum și voi scrie demonstrația completă mai târziu sau mâine dimineață.
Vă las până atunci să trageți concluziile :

Deci soluțiile x, y, z ale ecuației pot fi considerate laturile unui triunghi.

Presupunem adevărată egalitatea între laturile unui triunghi și putem așadar, construi sistemul :



unde unghiurile B și C sunt unghiurile formate de laturile x și z, respectiv y și z.

Înmulțim cu termenii celei de-a doua egalități a sistemului și ajungem la :







Soluțiile acestei ecuații sunt :









Ecuația nu poate avea alte soluții.
Demonstrația corectă și completă o s-o scriu mai târziu.
În sfârșit !!!

Sa-mi lasi si mie un pm cand te hotarasti in sfarsit care e demonstratia finala.

"Pentru n>2, ecuația nu are soluții întregi."

Stabilim în primul rând că valorile x, y, z trebuie să fie laturile unui triunghi.
Dacă ecuația are soluții, atunci (x+y)>z>y.
Condiția (x+y)>z>y este îndeplinită de laturile x, y, z ale unui triunghi, cu z>y>x.

Deci soluțiile x, y, z ale ecuației pot fi considerate laturile unui triunghi.

Presupunem adevărată egalitatea între laturile unui triunghi și putem așadar, construi sistemul :



unde unghiurile B și C sunt unghiurile formate de laturile x și z, respectiv y și z.

Înmulțim cu termenii celei de-a doua egalități a sistemului și ajungem la :









De aici putem forma sistemul :





Din cele două egalități ale sistemului rezultă egalitatea :



Dar din sistemul inițial rezultă că





și s-a ajuns la relațiile sistemului :



De aici rezultă evident că q este egal cu 1.
Revenind la sistemul soluțiilor ecuației pentru q=1 :



Dacă x , y sunt reale mai mari sau egale cu 1, ar însemna că în dreapta egalităților fie unul din cei doi termeni este negativ, deci și cosinusul respectiv, ceea ce este incorect, fie într-una din relații un termen este supraunitar, iar celălalt subunitar, de unde rezultă că sistemul, și implicit ecuația inițială, admite soluții doar pentru q=0 :





Egalitățile de mai sus sunt adevărate doar pentru n=2.

Dacă laturile x, y, z ale triunghiului sunt considerate oricare numere reale mai mari/egale cu 1
care îndeplinesc condițiile x+y>z , x+z>y și y+z>x,
putem afirma că pentru n diferit de 2,
între laturile unui triunghi nu poate fi adevărată egalitatea
și generalizat ecuația respectivă nu are soluții reale x, y, z, n pentru ,
deoarece ecuația are soluții reale și pentru n=1, deși x+y=z, nu pot fi laturile unui triunghi .


Observație
Analiza de mai sus este bazată pe observația utilizatorului Dacu, care a stabilit relația dintre laturile triunghiului și soluțiile ecuației din Marea teoremă a lui Fermat.

Nu e corectă nici asta :

curiosul a scris:


De aici rezultă evident că q este egal cu 1.

Prima este adevărată dacă a doua este adevărată.

Problema analizată prin prisma laturilor unui triunghi se reduce într-un fel sau altul, la a arăta că nu există niciun număr, chiar și real, astfel încât, adunat sau scăzut la un număr de forma :



să se obțină tot un număr de aceeași formă, dar la o putere diferită:



Dacă se arată că nu poate exista un asemenea număr este suficient să demonstreze teorema prin relaționarea soluțiilor ecuației la laturile unui triunghi.
Prin metode elementare de bază nu se poate.
Sau cel puțin eu nu am reușit până acum.
Dar probabil că o să mai încerc.

Citez :
" N-a fost un eșec, am reușit să dezvolt o multitudine de demonstrații greșite."

Mai am o variantă, "corectă", firește.
Dar acum am pățit ca în bancul cu lupul.
Vrea cineva să o scriu ?
Dacă v-ați săturat de atâtea demonstrații "corecte", vă înțeleg.
Dar dacă cineva mai este interesat de o altă versiune, o voi scrie și pe asta.
Are un cu totul alt raționament.